Кинетическая энергия (которую мы обозначим через $T$ ) твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, выражается формулой
\[
I=\frac{1}{2} I \omega^{2},
\]

где $\omega$ есть угловая скорость, а $I$ момект инерции относительно мгновенной оси вращения. Действительно, если $P N$ есть перпендикуляр, опущенный на мгновенную ось вращения из положения $P$ материальной точки массы $m$, то ясно, что скорость этой точки равна ю.PN. Следовательно, кинетическая энергия равняется:
\[
T=\frac{1}{2} \sum\left(m P N^{2} \cdot \omega^{2}\right)=\frac{1}{2} I \omega^{2} .
\]

Если $l, m, n$ обозначают направляющие косинусы мгновенной оси вращения относительно осей координат, проходящих через неподвижную точку, то мы имеем согласно равенству (3) § 25:
\[
I=A l^{2}+B m^{2}+C n^{2}-2 F m n-2 G n l-2 H l m .
\]

Отсюда следует, что кинетическая энергия равна выражению:
\[
2 T=A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}-2 F q r-2 G r p-2 H p q .
\]

Мы получаем, как всегда, однородную квадратичную функцию параметров, выражающих скорости системы.

При осях координат, совпадающих с главными осями инерции выражение это принимает вид:
\[
2 T=A p^{2}+B q^{2}+C r^{2} .
\]

Равенство (3) $\S 30$ показывает, что составляющие главного момента количеств движения представляют собою частные производные по $p, q, r$ от энергии $T$, а именно:
\[
\lambda=\frac{\partial T}{\partial p}, \mu=\frac{\partial T}{\partial q},
u=\frac{\partial T}{\partial r} .
\]

Для получения выражения кинетической энергии в более общем случае мы пользуемся следующей теоремой. Кинетическая энергия любой системы равна сумме кинетической энергии всей массы, сосредоточенной в центре масс и двигающейся с этой точкой, и кинетичесқой энеггии относительного двияения относительно центра масс.
Аналитическое доказательство теоремы следующее:
При принятых выше обозначениях мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{1}{2} \sum m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right) & =\frac{1}{2} \sum m\left\{\left(\frac{d \bar{x}}{d t}+\dot{\alpha}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{y}}{d t}+\dot{\beta}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{z}}{d t}+\dot{\gamma}\right)^{2}\right\}= \\
= & \frac{1}{2} \sum m\left\{\left(\frac{d \bar{x}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{y}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \bar{z}}{d t}\right)^{2}\right\}+ \\
& +\frac{1}{2} \sum m\left(\dot{\alpha}^{2}+\dot{\beta}^{2}+\dot{\gamma}^{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

так как
\[
\left.\Sigma(m \dot{\alpha})=0, \Sigma(m \dot{\beta})=0, \Sigma(m \dot{\gamma})=0^{1}\right) .
\]

В случае твердого тела последнее слагаемое выражается формулой (3), где коэфициенты инерции относятся к осям, проходящим через центр масс. Таким образом, если ( $u, v, w$ ) скорости центра масс, то полное выражение кинетической энергии твердого тела принимает вид
\[
2 T=M\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}-2 F q r-2 G r p-2 H p q .
\]