1. Показать, что если мгновенная ось врацения неподвижна в пространстве, то она неподвижна и в теле, и обратно.
2. Вывести из формул (5) § 28 выражение
\[
2 T=A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}-2 F q r-2 G r p-2 H p q
\]

кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
3. Шар зажат между двумя параллельными досками, которые вращаются с постоянными угловыми скоростями $\omega$ и $\omega^{\prime}$ вокруг неподвижных осей, нормальных к их плоскостям. Доказать, что центр шара будет описывать окружность ‘вокруг оси, лежащей в плоскости, проходящей через оси вращения досок, причем расстояния этой оси от осей вращения досок относятся как $\omega^{\prime} \mathrm{K} \omega$.
4. Две концентрические сферические поверхности с радиусами $a$ и $b$ вращаются соответственно с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ вокруг диаметров, составляющих между собою угол $\alpha$. Между ними катается шар, касающийся обеих поверхностей. Доказать, что центр этого шара описывает окружность с угловой скоростью, равной
5. Круговой конус с углом $2 \alpha$ в осевом сечении при вершине катится по горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega$. Показать, что ось конуса обращается вокруг вертикали, проходящей через вершину, с угловой скоростью, равной $\omega \operatorname{tg} \alpha$.
6. Подвижная система прямоугольных осей координат $O x^{\prime}, O y^{\prime}, O z^{\prime}$ отнесена к неподвижной системе $O x, O y, O z$. Пусть $\left(l_{1}, m_{1}, n_{1}\right),\left(l_{2}, m_{2}, n_{2}\right)$, $\left(l_{3}, m_{3}, n_{3}\right)$ — соответствующие направляющие косинусы осей $O x^{\prime}, O_{y^{\prime}}, \mathrm{Oz}^{\prime}$ относительно неподвижных осей.

Доказать, что составляющие угловой скорости подвижной системы относительно осей неподвижной равны:
\[
p=m_{1} \frac{d n_{1}}{d t}+m_{2} \frac{d n_{2}}{d t}+m_{3} \frac{d n_{3}}{d t}=-\left(n_{1} \frac{d m_{1}}{d t}+n_{2} \frac{d m_{2}}{d t}+n_{2} \frac{d m_{3}}{d t}\right) \text { и т. д. }
\]

Составляющие же вдоль осей самой подвижной системы равны:
\[
p^{\prime}=l_{3} \frac{d l_{2}}{d t}+m_{3} \frac{d m_{2}}{d t}+n_{3} \frac{d n_{2}}{d t}=-\left(l_{2} \frac{d l_{3}}{d t}+m_{2} \frac{d m_{3}}{d t}+n_{2} \frac{d n_{3}}{d t}\right) \text { и т. д. }
\]
7. Плоскость, представляемая ураввением
\[
A x+B y+C z=1,
\]

уеподвижна в пространстве, но прямоугольная система координат, к которой она отнесена, вращается с угловой скоростью ( $p, q, r)$. Показать, что имеют место равенства
\[
\frac{d A}{d t}=B r-C q \text { и т. д. }
\]
8. Твердое тело вращается околс начала координат с угловой скоростью $(p, q, r)$, величины $A, B, C, F, G, H$ означают мгновенные значенчя моментөв и произведений инерции относительно (неподвижных) осей координат.

Доюказать, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d A}{d t}=2(H r-G q) \text { ит. д., } \\
\frac{d F}{d t}=(C-B) p-H q+G r \text { ит. д. }
\end{array}
\]
9. Недеформирующаяся поверхность второго порядка вращается с угловой скоростью ( $p, q, r$ ) вокруг начала неподвижной системы координаг, относительно которой ее уравнение имеет в каждое мгнозение следующий вид;
\[
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=1 .
\]

Показать, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=2(g q-h r \text { и т. д., } \\
\frac{d f}{d t}=(b-c) p+g r-h q \text { и т. д. }
\end{array}
\]

Вывести условия, необходимые для того, чтобы поверхность была поверхностью вращения.

Если ни один из коэфициентов $f, g, h$ не разен нулю, эти условия следующие:
\[
a-\frac{g h}{f}=b-\frac{h f}{g}=c-\frac{f g}{h} \text {. }
\]

Если один гз коэфициентов равен нулю, то одновременно должен равняться нулю один из двух других коэфициентов. Если $g=0$ и $h=0$, то условие сводится к равенству
\[
(a-b)(a-c)=f^{a} .
\]
10. Твердое тело катится по неподвижной плоскости, оставаясь в соприкосновении с нею. Пусть составляющие угловой скорости вдоль касательных к линиям кривизны поверхности, ограничивающей тело, и -вдоль нормали в точке касания будут соответственно равны $p, q, r$. Показагь, что составляющие вдоль тех же осей ускорения точки тела, касающенся плоскости, равны:
\[
-p r \rho_{2},-q \rho_{1},-p^{2} \rho_{2}+q^{2} \rho_{1},
\]

где $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ — главные радиусы кривизны поверхности в точке касания.
11. Колесо имеет массу $M$, радиус $a$, радиус инерции относительно своей оси $k$. Оно катится под постоянным углом $\alpha$ наклона по поверхности земли, причем его центр описывает окружность радиуса $C$ с постоянной скоростью $v$. Показать, что кинетическая энергия колеса равна:
\[
\frac{1}{2} M v^{2}\left(1+\frac{k^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{2} \frac{k^{2}}{c^{2}} \sin ^{2} \alpha\right) .
\]
12. Два одинаковых колеса радиуса $a$ мотут независиил вращаться вокруг сбщей нормальной к ним оси длиюй $l$. Масса каждого колеса равна $M$, момент инерции относительно оси равен $C$, а относительно диаметра равен $A$. Оба колеса катятся по горизонтальной плоскости соответственно с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Показать, чго кинетическая энергия обоих колес равна (если пренебречь массой общей оси):
\[
\frac{1}{2} C\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2} A \frac{a^{2}}{l^{2}}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2} M\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right) a^{2} .
\]

13. Показать, что в случае фиг. 32 угловые скорости тела около осей $O X$, $O Y$ и $O Z$, из которых $O X$ проведена в плоскости $\psi=0$, а $O Y$ в плоскости $\psi=\frac{\pi}{2}$ нормально к $O Z$, будут иметь следующие выражения:
\[
\begin{array}{c}
-\dot{\theta} \sin \psi+\dot{\varphi} \sin \theta \cos \psi \\
\dot{0} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \theta \sin \psi \\
\dot{\psi}+\cos \theta \dot{\varphi} .
\end{array}
\]

Показать связь этих выражений с формулами (3) и (4) § 33.