Чтобы вывести общие уравнения движения системы, мы будем исходить из уравнений движения материальной точки, а именно:
$$m\ddot{x}=X,m\ddot{y}=Y,m\ddot{z}=Z^1)$$

Умножив их соответственно на $\frac{\partial x}{\partial q_r},\frac{\partial y}{\partial q_r},\frac{\partial z}{\partial q_{\mathrm{r}}}$, сложив и просуммировав результат по всем точкам системы, получим:
$$\sum m(\ddot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}+\ddot{y}\frac{\partial y}{\partial q_r}+\ddot{z}\frac{\partial z}{\partial q_r})=\sum (X\frac{\partial x}{\partial q_r}+Y\frac{\partial y}{\partial q_r}+Z\frac{\partial z}{\partial q_r}).$$

На основании (1), § 73 , имеем:
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial x}{\partial q_r}\right)& =\frac{{\partial }^{2}x}{\partial q_1\partial q_r}{\dot{q}}_1+\frac{{\partial }^{2}x}{\partial q_2\partial q_r}{\dot{q}}_2+\dots +\frac{{\partial }^{2}x}{\partial q_n{}^2\partial q_r}{\dot{q}}_n=\\ & =\frac{\partial }{\partial q_r}(\frac{\partial x}{\partial q_1}{\dot{q}}_1+\frac{\partial x}{\partial q_2}{\dot{q}}_2+\dots +\frac{\partial x}{\partial q_n}{\dot{q}}_n)=\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_r}\end{array}$$

где производные по $t$ означают „полные“ производные. Следовательно имеем:
$$\ddot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}=\frac{d}{dt}\left(\dot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}\right)-\dot{x}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial x}{\partial q_r}\right)=\frac{d}{dt}\left(\dot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}\right)-\dot{x}\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_r}$$

и т. д. Таким образом на основанин (3) $\mathrm{\S }74$.
$$\begin{array}{c}\sum m(\ddot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}+\ddot{y}\frac{\partial y}{\partial q_r}+\ddot{z}\frac{\partial z}{\partial q_r})=\\ =\frac{d}{dt}\sum m(\dot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}+\dot{y}\frac{\partial y}{\partial q_r}+\dot{z}\frac{\partial z}{\partial q_r})-\sum m(\dot{x}\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_r}+\dot{y}\frac{\partial \dot{y}}{\partial q_r}+\dot{z}\frac{\partial \dot{z}}{\partial q_r})=\\ =\frac{d{p}_r}{dt}-\frac{\partial r}{\partial q_r}.\end{array}$$

Если мы вычислим работу сил, приложенных к системе, при бесконечно малом изменении конфигурацни, то найдем выражение
$$\mathrm{\Sigma }(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z)=P_1\delta q_1+P_2\delta q_2+\dots +P_n\delta q_n,$$

где
$$P_r=\sum (X\frac{\partial x}{\partial q_r}+Y\frac{\partial y}{\partial q_r}+Z\frac{\partial z}{\partial q_r})\text{. }$$
1) Так как в состав сйы ( $X,Y,Z$ ) тут входят все силы, действующие на точку, в том числе и склы реакции, то уравнения (1) представляют самую общую форму уравнений движен:я материальной точки. Прим. ред.

Эти количества $P_r$ называются , обобщенными составляющими сил \» 1 ) системы. Предполагается, что символы $X,Y,Z$ в (1) включают в себя все силы, действуюцие на точку $m$, независимо от их происхождения, но при вычислении значения обобщенной силы $P_r$ мы можем, конечно, не обращать внимания на внутренние силы, действующие между частицами твердого тела, или реакции гладких соприкасающихся поверхностей, так как эти силы не производят работы.
Уравнения (2) можно написать теперь в виде:
$$\frac{d{p}_r}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_r}=P_r$$

или
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}=P_r.$$

Если в них положить последовательно $r=1,2,3,\dots ,n$, то получим $n$ независимых уравнений движения системы в форме, данной Лагранжем, который, повидимому, первый дал постановку, а также математическую формулировку общего метода динамики, применимого ко всем системам с конечным числом степеней свободы ${}^2$ ).

Чтобы проверить правильность соотношения между кинетической энергией и работой, производимой силами, поступим так. На основаніии (7) § 74 имеем:
$$2T=\sum _r{p}_r{\dot{q}}_r,$$

где $\sum _{\text{r }}$ как и прежде означает суммипование по всем координатам. Следовательно:
$$2\frac{dT}{dt}=\sum _r({\dot{p}}_r{\dot{q}}_r+p_r{\ddot{q}}_r)=\sum _r(\frac{\partial T}{\partial q_r}{\dot{q}}_r+\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}{\ddot{q}}_r+P_r{\dot{q}}_r)=\frac{dT}{dt}+\sum \left(P_r{\dot{q}}_r\right),$$

или
$$\frac{dT}{dt}=P_1{\dot{q}}_1+P_2{\dot{q}}_2+\cdots +P_n{\dot{q}}_n.$$

Это равенство выражает, что кинетическая энергия увеличивается со скоростью, равной работе, производимой силами в единицу времени. При малом изменении конфигурации „консервативной“ системы, на которую никакие внешние силы не действуют, имеем:
$$\mathrm{\Sigma }(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z)=-\delta V,$$

где $V$— потенциальная энергия. Следовательно,; в этом случае
$$P_r=-\frac{\partial V}{\partial q_r}$$
1) Или просто побобщенными силами“. Пр им. перев.
2) \»Mécanique Analytique\», 1-е изд., 1788. Первоначальное изложение Лaгранжа воспроизведено ниже в §102. Доказательство, приведенное в тексте, хано Гамильтоном (Phil. Trans, стр. 96, 1835), и впоследствии независимо от него Акоби в его, „Vorlesungen über Dynamik\», (1842), Бертраном в примечаниях к его изданию сочинений Лаграшжа (1853), в гакже Томсоном и Тэтом (2-е нзд. 1879).

и уравнения Лагранжа принимают вид:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}=-\frac{\partial V}{\partial q_r},$$

или
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_r}=0,$$

где
$$L=T-V.$$

функция $L$ называется „функцией Лагранжа“. Та же функция, но с обратным знаком названа Гельмгольцем „кинетическим потенциалом\».

Если сделаем подстановку из (13) в (11), то мы получим уравнение энергии:
$$\frac{dT}{dt}=-\frac{dV}{dt}\text{ или }T+V=\text{ const }.$$

Проинтегрировав уравнение (8) от $t=0$ н $t=\tau$, мы получим:
$$\left[p_r\right]={\int }_0^{\tau }\frac{\partial T}{\partial q_r}dt+{\int }_0^{\tau }{P}_{r}dt,$$

где квадратные скобки показывают, что берется разность между конечным и начальным значениями величины, заключенной в скобки. В случае мгновенного возникновения движения из состояния покоя первый интеграл пропадает, так как $\frac{\partial T}{\partial q_{\text{r }}}$ выражается только через координаты и скорости и, следовательно, является существенно конечной величиной. Таким образом
$$p_r=P_r^{\prime }$$

где
$$P_r^{\prime }={\int }_0^{\tau }{P}_{r}dt=\mathrm{\Sigma }(X^{\prime }\frac{\partial x}{\partial q_r}+Y^{\prime }\frac{\partial y}{\partial q_r}+Z^{\prime }\frac{\partial z}{\partial q_r})$$

как и в § 74 .