Чтобы вывести общие уравнения движения системы, мы будем исходить из уравнений движения материальной точки, а именно:
\[
\left.m \ddot{x}=X, \quad m \ddot{y}=Y, \quad m \ddot{z}=Z^{1}\right)
\]

Умножив их соответственно на $\frac{\partial x}{\partial q_{r}}, \frac{\partial y}{\partial q_{r}}, \frac{\partial z}{\partial q_{\mathrm{r}}}$, сложив и просуммировав результат по всем точкам системы, получим:
\[
\sum m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)=\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+Y \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+Z \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right) .
\]

На основании (1), § 73 , имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right) & =\frac{\partial^{2} x}{\partial q_{1} \partial q_{r}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial^{2} x}{\partial q_{2} \partial q_{r}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial^{2} x}{\partial q_{n}{ }^{2} \partial q_{r}} \dot{q}_{n}= \\
& =\frac{\partial}{\partial q_{r}}\left(\frac{\partial x}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial x}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial x}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}\right)=\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_{r}}
\end{aligned}
\]

где производные по $t$ означают „полные“ производные. Следовательно имеем:
\[
\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}=\frac{d}{d t}\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right)-\dot{x} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right)=\frac{d}{d t}\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right)-\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial q_{r}}
\]

и т. д. Таким образом на основанин (3) $\S 74$.
\[
\begin{array}{c}
\sum m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)= \\
=\frac{d}{d t} \sum m\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\dot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\dot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)-\sum m\left(\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial q_{r}}+\dot{y} \frac{\partial \dot{y}}{\partial q_{r}}+\dot{z} \frac{\partial \dot{z}}{\partial q_{r}}\right)= \\
=\frac{d p_{r}}{d t}-\frac{\partial r}{\partial q_{r}} .
\end{array}
\]

Если мы вычислим работу сил, приложенных к системе, при бесконечно малом изменении конфигурацни, то найдем выражение
\[
\Sigma(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)=P_{1} \delta q_{1}+P_{2} \delta q_{2}+\ldots+P_{n} \delta q_{n},
\]

где
\[
P_{r}=\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+Y \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+Z \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right) \text {. }
\]
1) Так как в состав сйы ( $X, Y, Z$ ) тут входят все силы, действующие на точку, в том числе и склы реакции, то уравнения (1) представляют самую общую форму уравнений движен:я материальной точки. Прим. ред.

Эти количества $P_{r}$ называются , обобщенными составляющими сил \» 1 ) системы. Предполагается, что символы $X, Y, Z$ в (1) включают в себя все силы, действуюцие на точку $m$, независимо от их происхождения, но при вычислении значения обобщенной силы $P_{r}$ мы можем, конечно, не обращать внимания на внутренние силы, действующие между частицами твердого тела, или реакции гладких соприкасающихся поверхностей, так как эти силы не производят работы.
Уравнения (2) можно написать теперь в виде:
\[
\frac{d p_{r}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=P_{r}
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=P_{r} .
\]

Если в них положить последовательно $r=1,2,3, \ldots, n$, то получим $n$ независимых уравнений движения системы в форме, данной Лагранжем, который, повидимому, первый дал постановку, а также математическую формулировку общего метода динамики, применимого ко всем системам с конечным числом степеней свободы ${ }^{2}$ ).

Чтобы проверить правильность соотношения между кинетической энергией и работой, производимой силами, поступим так. На основаніии (7) § 74 имеем:
\[
2 T=\sum_{r} p_{r} \dot{q}_{r},
\]

где $\sum_{\text {r }}$ как и прежде означает суммипование по всем координатам. Следовательно:
\[
2 \frac{d T}{d t}=\sum_{r}\left(\dot{p}_{r} \dot{q}_{r}+p_{r} \ddot{q}_{r}\right)=\sum_{r}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{r}} \dot{q}_{r}+\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} \ddot{q}_{r}+P_{r} \dot{q}_{r}\right)=\frac{d T}{d t}+\sum\left(P_{r} \dot{q}_{r}\right),
\]

или
\[
\frac{d T}{d t}=P_{1} \dot{q}_{1}+P_{2} \dot{q}_{2}+\cdots+P_{n} \dot{q}_{n} .
\]

Это равенство выражает, что кинетическая энергия увеличивается со скоростью, равной работе, производимой силами в единицу времени. При малом изменении конфигурации „консервативной“ системы, на которую никакие внешние силы не действуют, имеем:
\[
\Sigma(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)=-\delta V,
\]

где $V$— потенциальная энергия. Следовательно,; в этом случае
\[
P_{r}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}}
\]
1) Или просто побобщенными силами“. Пр им. перев.
2) \»Mécanique Analytique\», 1-е изд., 1788. Первоначальное изложение Лaгранжа воспроизведено ниже в §102. Доказательство, приведенное в тексте, хано Гамильтоном (Phil. Trans, стр. 96, 1835), и впоследствии независимо от него Акоби в его, „Vorlesungen über Dynamik\», (1842), Бертраном в примечаниях к его изданию сочинений Лаграшжа (1853), в гакже Томсоном и Тэтом (2-е нзд. 1879).

и уравнения Лагранжа принимают вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}},
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0,
\]

где
\[
L=T-V .
\]

функция $L$ называется „функцией Лагранжа“. Та же функция, но с обратным знаком названа Гельмгольцем „кинетическим потенциалом\».

Если сделаем подстановку из (13) в (11), то мы получим уравнение энергии:
\[
\frac{d T}{d t}=-\frac{d V}{d t} \text { или } T+V=\text { const } .
\]

Проинтегрировав уравнение (8) от $t=0$ н $t=\tau$, мы получим:
\[
\left[p_{r}\right]=\int_{0}^{\tau} \frac{\partial T}{\partial q_{r}} d t+\int_{0}^{\tau} P_{r} d t,
\]

где квадратные скобки показывают, что берется разность между конечным и начальным значениями величины, заключенной в скобки. В случае мгновенного возникновения движения из состояния покоя первый интеграл пропадает, так как $\frac{\partial T}{\partial q_{\text {r }}}$ выражается только через координаты и скорости и, следовательно, является существенно конечной величиной. Таким образом
\[
p_{r}=P_{r}^{\prime}
\]

где
\[
P_{r}^{\prime}=\int_{0}^{\tau} P_{r} d t=\Sigma\left(X^{\prime} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+Y^{\prime} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+Z^{\prime} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)
\]

как и в § 74 .