1. Материальная точка удерживаегся гладкой прямой трубой, вращающейся с постоянной угловой скоростью ю около оси, не лежащей в одной плоскости с трубой. Доказать, что дзижение материальной точки относительно трубы будет таким же, как если бы труба находилась в покое, а точка отталкивалась от положения относительного равновесия с силой, пропорциональной расстоянию.
2. Приливная волна бежит к северу по каналу шириной $b$, находящемуся на широте $\lambda$. Доказать, что высота прилива на восточном берегу превосходит высоту прнлива на западном на $2 b v \omega \frac{\sin \lambda}{g}$, где $v$ означает скорость воды, а ш угловую скорость Зємли.

Вычислить результаты для случая южного Ирландского канала, приняв b $=89$ к. $, v=3,2$ узла, $\lambda=52^{\circ}$. $[1,7 \boldsymbol{M}]$
3. Снаряд выпущен из орудия к востоку на широте $60^{\circ}$ со скоростью $300 \mathrm{~N} /$ сек под углом $20^{\circ}$ к горизонту. Найти отклонение, производимое вращением Земли, пренебрегая сопротивлением воздуха. $[7,4$ ж/сек.]
4. Материальная точка брошена в пустоте вертикально вверх со скоростью $v$. Доказать, что после обратного возвращения на землю юолучится отклонение
\[
\frac{\frac{4}{3} \omega v^{3} \cos \lambda}{g^{2}}
\]

к западу.
(Лаплас).
5. Материальная точка брошена со скоростью $V$ вдоль гладкой горизонтальной плоскости. Доказать, что всдедствие вращения Земли она опишет дугу круга радиуса $\frac{V}{2 \omega \sin \lambda}$ с постоянной скоростью.
6. Вывести, пользуясь методом подвижных осей, формулы для составляюиних ускорения в сферических полярных координатах (§ 34 ).
7. Применить метод подвижных осей к выводу формул, написанных ниже, в которых $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ означают направляющие косинусы касательной к кривой (но отношению к неподвижным осям), $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ – то же главной нормали, $l_{3}$, $m_{3} n_{3}$ – то же бинормали, а $\rho$ и $\sigma$ соответственно радиусы кривизны и кручения:
\[
\frac{d l_{1}}{d s}=\frac{l_{2}}{\rho}, \frac{d l_{2}}{d s}=\frac{l_{3}}{\sigma}-\frac{l_{1}}{\rho}, \frac{d l_{3}}{d s}=-\frac{l_{2}}{\sigma},
\]

и аналогичные формулы для $\frac{d m_{1}}{d s}, \frac{d n_{1}}{d s}$ и т. д.
(Принять за подвижные оси координат касательную, главную нормаль и бинормаль.)
8. Материальная точка находится внутри гладкой жесткой трубки, имеющцй форму плоской кривой и вращаюшейся в своей плоскости около начала коордннат $O$ с угловой скоростью $\omega$. Доказать, что касательное и нормальное ускорения точки будут выражаться соогветственно формулами
\[
v \frac{d v}{d s}-\omega^{2} r \frac{d r}{d s}+\dot{\omega} p, \quad \frac{v^{2}}{p}+2 \omega v+\omega^{2} p+\dot{\omega} r \frac{d r}{d s},
\]

ғде $v$ означает скорость по отношению к трубке, $r$ – радиус-вектор, а $p-$ длину перпендикуляра, опущенного из начала коирдинат на касательную.
9. Круглый диск приведен во вращение с угловой скоростью $\omega$ около вертикального диаметра на гладкой горизонтальной поскости; доказать, что условнем устойчивости будет
\[
\omega^{2}>\frac{M g a}{A},
\]

где $A$ означает момент инерции относительно диаметра.
10. Шар, центр масс которого совпадает с геометрическим центром шара, но главные моменты которого в этой точке будут $A, A, C$, катится вдоль горизонтальной плоскости с угловой скоростью ш в направлении под прямым углом к оси момента $C$, которая горизонтальна. Доказать, что если в этом установившемся состоянии будет произведено незначительное возмущение, то нериод малых колебаний около установившегося состояния будет
\[
\sqrt{\frac{A\left(A+M a^{2}\right)}{C\left(C+M a^{2}\right)}} \cdot \frac{2 \pi}{\omega},
\]

где $M$ означает массу, и $a$-радиус.
11. Тело вращения, симметричное относительно своен экваториальной плоскости, катится по горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega$, врашаясь около своей оси, занимающєй горизонтальное положение. Движение является установившимся. Если внести незначительное возмущение, то период мальх колебаний будет $\frac{2 \pi}{\sigma}$, где
\[
\sigma^{2}=\frac{l C C^{\prime} \omega^{2}-M g(a-\beta) A}{A A^{\prime}},
\]
$a$-радиус экваториального круга, $p$ – радиус кривнзны меридиана на экваторе и $A^{\prime}=A+M a^{2}, C^{\prime}=C+M a^{2}$.
12. Тело вращения с вертикальной осью помещено на шероховатую горизонтальную плоскость; высота $h$ центра тяжести над плоскостью больше радиуса кривизны $\rho$ в точке касания, так что при отсутствии вращения положение неустойчиво. Доказать, что если привєсти тело во вращение около вертикальной оси и с угловой скоростью $\omega$, то условием устойчивости будет:
\[
\omega^{2}>\frac{4 A^{\prime} M g(h-p)}{(C+M h \rho)^{2}},
\]

где $A^{\prime}, A^{\prime}, C$ будут главными моментами инерции для точки касания.
13. Если в примере 12 плоскость гладкая, то условием устойчивости будет:
\[
\omega^{2}>\frac{4 A M g(h-\rho)}{C^{2}} .
\]

где $A, A, C$-главные моменты инерции для центра масс.
14. Исследовать небольшие колебания катящегося колеса около состояаня установившегося движения в двух случаях § 69 , пользуясь уравнениями $\S 55$ в естественных координатах.
15. В твердом теле имеются врацающиеся маховики, оси которых занимают неизменное положение по отношению к телу.
Доказать, что видоизмененные уравнения Эйлера имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}-(B-C) q r=L+\beta r-\gamma q, \\
B \frac{d q}{d t}-(C-A) r p=M+\gamma p-\alpha r, \\
C \frac{d r}{d t}-(A-B) p q=N+a q-\beta p .
\end{array}
\]

Дать точное определение ведичин $A, B, C, a, \beta, \gamma$.
(Вольтерра).

16. Система материальных точек движется произвольным образом, а оси $G x, G y, G z$ движутся около центра масс так, что они всегда совпадают с главными осями инерции, проведенными через эту точку. Доказать, что необходимые угловые скорости имеют величины:
\[
\frac{\sum m(y w+z v)}{C-B}, \frac{\sum m(z u+x w)}{A-C}, \frac{\sum m(x v+y u)}{B-A},
\]

где вектор ( $u, v, w$ ) представляет скорость точки $m$ с координатами $x, y, z$, а $A, B, C$-мгновенные значения главных моментов инәрции.
Доказать, что имеют место равенства:
\[
\frac{d A}{d t}=2 \sum m(y v+z w), \text { и т. д. }
\]
17. Доказать, что в случае фиг. $50 \S 59$ ускорение полюса $C$ гироскопа вдоль меридиана составляет
\[
\ddot{\theta}-\omega^{2} \sin \theta \cos \theta .
\]

Точно так же доказать, что в случаг фиг. 51 ускорение точки $C$ в горизонтальной плоскости будет выражаться формулой
\[
\ddot{\varphi}-\omega^{2} \cos ^{2} \lambda \sin \varphi \cos \varphi+\omega^{2} \sin \lambda \cos \lambda \cos ^{2} \varphi \text {. }
\]