Раньше, чем исследовать общий случай, мы рассмотрим очень важный случай, когда два из главных моментов инерции, относящихся к центру врацения $O$, равны, например, $A=B$ : эллипсоид инерции в таком случае является эллипсоидом вращения. Конусы полодии и герполодии в этом случае круглые и угловая скорость ю постоянна. Движение поэтому относится к типу, называемому прецессионным (§29).

Обозначим через $\beta$ половину угла у вершины конуса полодии, а через $\alpha$ угол, образуемый осью ( $O C$ ) кинетической симметрии с направлением неизменяемой прямой $O Z$. Определяя моменты количеств движения относительно $O C$ и относительно перпендикулярной к ней оси в плоскости $Z O C$, получим:
\[
C \omega \cos \beta=H \cos \alpha, A \omega \sin \beta=H \sin \alpha,
\]

откуда
\[
\operatorname{tg} \alpha=\frac{A}{C} \operatorname{tg} \beta \text {. }
\]
1) Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Paris 1834.
2) $O J$ имеет, очевидно, наибольшее и наименьшее значения; поэтому герполодия касается попеременно двух окружностей, между которыми она проходит. Де-Спарp (de Sparre), Дарбу и др. показали, что герполодия не имеет точек перегиба, вопреки представлению Пуансо. Доказательство этого основано на том, что сумма двух главных моментов инерции больше третьего (§25).

Следовательно, $\alpha \geqq \beta$ в зависимости от знака неравенства $A \geqslant C$. Оба случая изображены на фиг. 39 и 40.

Взаимное расположение обоих конусов представлено соответственно на фиг. (27) и (28).
Фиг. 39.
Фиг. 40.
Если $\dot{\psi}$-скорость вращения плоскости $Z O C$ вокруг $O Z$, а $\dot{\chi}$ – скорость, с которой точка $J$ описывает окружность полодии в теле, то по § 29 получим:
\[
\dot{\psi}=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \omega, \dot{\chi}=-\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin \alpha} \omega .
\]

Обозначая через $n$ постоянную угловую скорость вращения тела вокруг оси симметрии, т. е. полагая
\[
n=\omega \cos \beta \text {, }
\]

получим из равенства (1):
\[
\dot{\psi}=\frac{H}{A}=\frac{C n}{A \cos \alpha}
\]

и
\[
\dot{\chi}=\frac{\operatorname{tg} \beta-\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} n=\frac{C-A}{A} n .
\]

Точка $J$ описывает полную окружность полодии в период времени, равный $\frac{2 \pi}{\dot{\chi}}$.

Если мгновенная ось вращения лишь немного отклоняется от оси симметрии, то $\alpha$ и $\beta$ малы, и мы приближенно имеем:
\[
\frac{\alpha}{\beta}=\frac{A}{C}
\]

и, следовательно,
\[
\dot{\psi}=\frac{C}{A} \omega, \dot{\chi}=\frac{C-A}{A} \omega:
\]

Для земного шара из явления прецессии (предварения равноденствий) выведено приблизительно:
\[
\frac{C-A}{A}=0,00327 .
\]

Следовательно, если ось вращения Земли, предполагаемой абсолютно твердой не совпадает вполне с осью симметрии, то ось вращения должна описывать вокруг оси симметрии конус в 306 звездных суток ${ }^{1}$ ).
Фиг. 41.
Вследствие того, что $C>A$, мы имеем случай, изображенный на фиг. 28 и 40, с той только разницей, что угол $\beta$ – $\alpha$ конуса герполодии очень мал по сравнению с углом $\beta$ полодии.

Прилагаемая фиг. 41 имеет целью показать пересечение конуса полодии с небесной сферой в двух противоположных положениях (разумеется, при этом невозможно воспроизвести истинные пропорции).

Точка $S$ представляет околополярную звезду, $V_{1}$ и $V_{2}$ положения зенита наблюдателя: в ближайшем расстоянии зенита от $S$ и наиболее удаленном. Среднее двух зенитных расстояний $V_{1} S$ и $V_{2} S$ принимается обыкновенно за полярное расстояние местности, хотя в действительности оно дает расстояние зенита от неизменяемой линии $O Z$. Так как эта прямая описывает в теле Земли конус вокруг ее оси симметрии с указанным периодом, то несовпадение осей вращения и симметрии влечет за собою периодическое изменение широты, наблюдаемой на поверхности Земли.

Действительно, имеются указания на слабое периодическое изменение широты, чрезвычайно незначительное (около 0,2 сек.), но период этого изменения, наиболее согласующийс с наблюдениями, равен повидимому 427 дням $^{2}$ ).
Несовпадение объясняется недостаточной твердостью Земли (см. § 71).