Представляет интерес общая форма уравнений движения динамической системы относительно фсей, вращающихся с постоянной угловой скоростью. Эти уравнения, рассматриваются при изучении таких вопросов, как теория приливов на вращающейся планете.

Приняв ось вращения за ось $z$, будем иметь:
\[
\begin{aligned}
2 T & =\sum m\left\{(\dot{x}-\omega y)^{2}+(\dot{y}+\omega x)^{2}+\dot{z}^{2}\right\}= \\
& =2 T_{0}+2 \omega \sum m(x \dot{y}-y \dot{x})+2 \mathfrak{T},
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
2 T_{0}=\sum m\left(x^{2}+y^{2}\right) \omega^{2}, \\
{ }^{2} \mathfrak{T}=\sum m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Если относительная конфигурация определяется обобщенными координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, то $\mathfrak{T}$ будет представлять однородную квадратичную функцию соответствующих скоростей, а именно:
\[
2 \mathfrak{T}=a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\ldots+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\ldots,
\]

где коэфнциенты $a_{r r}, a_{r s}$ имеют такую же форму, как и в (3) $\S 73$. Действительно, $\mathfrak{T}$ означает кинетическую энергию, которой система обладала бы при отсутствии вращения $\omega$. С другой стороны, $T_{0}$ означает энергию вращающейся системы, находящейся в состоянии относительного покоя при заданной конфигурации; $T_{0}$ заключает в себе только относительные координаты и не содержит соответствующих скоростен. Энергия $T_{0}$ представляет то, что можно назвать центробежной энергией. Что касается остальных членов в (1), то мы имеем:
\[
\omega \sum m(x \dot{y}-y \dot{x})=\alpha_{1} \dot{q}_{1}+\alpha_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \dot{q}_{n},
\]

где
\[
\alpha_{r}=\omega \sum m\left(x \frac{\partial y}{\partial q_{r}}-y \frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} & =\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial \dot{q}_{r}}+\alpha_{r}\right)= \\
& =\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathscr{T}}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial \alpha_{r}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \alpha_{r}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial \alpha_{r}}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}, \\
\frac{\partial T}{\partial q_{r}} & =\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_{r}}+\frac{\partial \alpha_{1}}{\partial q_{r}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \alpha_{2}}{\partial q_{r}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial \alpha_{n}}{\partial q_{r}} \dot{q}_{n}+\frac{\partial T_{0}}{\partial q_{r}} .
\end{aligned}
\]

Таким образом типичные уравненмя движения (10) § 79 прииимают вид:
\[
\left.\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_{r}}+(r, 1) \dot{q}_{1}+(r, 2) \dot{q}_{2}+\ldots+(r, n) \dot{q}_{n}-\frac{\partial T_{0}}{\partial q_{r}}=P_{r},{ }^{1}\right)(9)
\]

где
\[
(r, s)=\frac{\partial \alpha_{r}}{\partial q_{s}}-\frac{\partial \alpha_{s}}{\partial q_{r}}=2 \omega \sum m \frac{\partial(x, y)}{\partial\left(q_{s}, q_{r}\right)} .
\]
1) Thoms on and Tait, 2-е изд, $\S 319$.

В частности, следует заметить, что
\[
(r, r)=0,(r, s)=-(s, r) .
\]

Полученную формулу можно вывести также из (23) § 79 при помощи метода, изложенного в $\S 77$.
На основании только что указанных уравнений имеем:
\[
\begin{array}{r}
\sum m(\ddot{x} \ddot{x}+\ddot{y} y+\ddot{z} \ddot{z})-\omega^{2} \sum m(x \dot{x}+y \dot{y})= \\
=\sum(X \dot{x}+Y \dot{y}+Z \dot{z}),
\end{array}
\]

или в обобщенных координатах
\[
\frac{d}{d t}\left(\mathfrak{T}-T_{0}\right)=P_{1} \dot{q}_{1}+P_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+P_{n} \dot{q}_{n} .
\]

В случае консервативной системы при отсутствии внешних возмущений полученное уравнение приводит к следующему результату
\[
\mathfrak{I}+V-T_{0}=\text { const. }
\]

который заменяет уравнение энергии. Член $-T_{0}$ можно назвать потенциальной энергией центробежной силы.

Формулу (13) можно также вывести, исходя и из уравнений типа (9) (§77). Она вытекает также и из рассмотрения скорости изменения работы сил связи ( $\S 79$ ).