Применение уравнений Лагранжа можно показать на примере двух задач, уже решенных другим путем.
1. Чтобы составить уравнення двнжения материальной точки в сферических полярных координатах, воспользуемся уравнениями (8) § 74 .
\[
\frac{\partial T}{\partial r}=m\left(r \dot{\theta}^{2}+r \sin ^{2} \theta \dot{\psi} 2\right), \quad \frac{\partial T}{\partial \theta}=m r^{2} \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}, \quad \frac{\partial T}{\partial \psi}=0 .
\]

Следовательно, уравнения движения булут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{r}
m\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{3}-r \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}\right)=R, \\
\frac{d}{d t}\left(m r^{2} \dot{\theta}\right)-m r^{2} \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{3}=\theta, \\
\frac{d}{d t}\left(m r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right)=\Psi
\end{array}\right\}
\]

где $R, \theta, \Psi$ – обобщенные силы.
Определение этих велнчин вытекает из требования, чтобы выражение
\[
R \delta_{r}+\theta 8 \theta+\Psi 8 \psi
\]

было равно работе на произвольном бесконечно малом перемещении. Таким образом $R$ представляет радиальную составляющую обыкновенной силы, действующую на точку, $\boldsymbol{\theta}$-момент той же силы относительно оси, проходящей через $O$ перпендикулярно к плоскости $\theta$, а $\Psi$ – момент относительно $O Z$.
В случае сферического маятника мы имеем
\[
r=l, \quad \Theta=-m g l \sin \theta, \quad \Psi=0 .
\]

В этом случае второе и третье из уравнений (2) принимают вид:
\[
\ddot{\theta}-\sin \theta \cos \theta \dot{\psi}{ }^{2}=-\frac{g}{l} \sin \theta, \quad \sin ^{2} \theta \dot{\psi}=h .
\]

Это обычный вид уравненић рассматриваемой задачи (\”Динамика\”, $\S 103$ ). Первое из уравнений (2) определяет натяжение ( $m g \cos \theta-R$ ) нити.
2. В случае волчка мы на основании (6) § 33 , имеем:
\[
\begin{array}{c}
2 T=A\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right)+C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\varphi})^{2}, \\
V=M g h \cos \theta .
\end{array}
\]

Составляющие момента количеств движения $\lambda, \mu,
u$ будут выражаться фориулами:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\lambda=\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=A \dot{\theta}, \quad \mu & =\frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+C \cos \theta(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi}), \\

u & =\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi}) .
\end{array}\right\}
\]

Состав.яяющая $\lambda$ является моментом количеств движения относительно оси, проходящей через $O$ и перпендикулярной к плоскости $\theta$; далее $\mu$-момент количеств движения относительно вертикали, проходящей через $O$, а $\vee$-момент относительно оси симметрин.

Далее мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial \theta}=A \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}-C(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta) \sin \theta \dot{\psi}, \\
\frac{\partial T}{\partial \psi}=0, \\
\frac{\partial T}{\partial \rho}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Формулы (14) $\S 77$ соответственно қают:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A \ddot{\varphi}-A \sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}+C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi}) \dot{\psi} \sin \theta & =M g n \sin \theta, \\
\frac{d}{d t}\left\{A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi}) \cos \theta\right\} & =0, \\
\frac{d}{d t} C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi}) & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Последние два уравнения выражают постоянство составляющих $\mu,
u$ момента количества движения. Следовательно,
\[
\left.\begin{array}{c}
A \ddot{\theta}-A \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}+v \sin \theta \dot{\psi}=M g h \sin \theta, \\
A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+v \cos \theta=\mu .
\end{array}\right\}
\]

На основании этих уравнений теория волчка была построена -нами раньше в § 57; для сравнения с § 58 мы можем привести следующие выводы для случая почти вертикального волчха.
Мы можем в этом случае триближенно положить
\[
\sin \theta=\theta, \quad \cos \theta=1-\frac{1}{2} \theta^{2} .
\]

Получтющиеся уравнения можно написать в виде:
\[
\left.\begin{array}{c}
\ddot{\theta}-\theta \dot{\chi}^{2}=-\frac{2^{2}-4 A M g h}{4 A^{2}} \theta, \\
\theta^{2} \dot{\gamma}=\text { const., }
\end{array}\right\}
\]
rie
\[
\chi=\psi-\frac{1}{2} \frac{y t}{A} .
\]

Мы можем рассматривать $\theta, \chi$ как полярные координаты горизонтальной проекции точки оси волчка относительно начальной линии, вращающейся с угловсй скоростью $\frac{1}{2} \frac{
u}{A}$. Следовательно, относительное движение такой точки будет гармоническим эллиптическим с периодом
\[
\frac{4 \pi A}{\sqrt{v^{2}-4 A M g h}},
\]

причем должно удовлетворяться обычное условие $\mathrm{v}^{2}>4 A M g h$.
Дадим дополнительно еще несколько примеров.
ПримЕР 1. Вывести уравнения Эилера для движения твердого тела около нептодвжной точки.

При обозначениях (3) и (4) § 33 иы имеем:
$p=\dot{\theta} \sin \varphi-\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi, \quad q=\dot{\theta} \cos \varphi+\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi, \quad r=\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta$.
Так как
то мы имеем:
\[
2 T=A p^{2}+B q^{2}+C r^{3},
\]
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T}{\partial \varphi}=C r \frac{\partial r}{\partial \dot{\varphi}}=C r_{4} \\
\frac{\partial T}{\partial \varphi}=A p \frac{\partial p}{\partial \varphi}+B q \frac{\partial q}{\partial \varphi}=(A-B) p q .
\end{array}
\]

Если работу на бесконечно малом перемещении обозначить через

то из фиг. 32 ясно, что $\Phi$ представляет момент внешних сил относительно оси $O C$, обычно обозначаемый через $N$.
Таким образом уравнение Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=\Phi .
\]

принимает вид:
\[
C \frac{d r}{d t}-(A-B) p q=N \text {. }
\]

Так как безразлично, какую из главных осей, проходящих через неподвижную точку, мы обозначим через $O C$, то так же получаются и остальные два уравнения Эйлера.

ПРимеР 2. Мощность, развиваемая паровой машиной обычно регулируется при помощи „центробежных регуляторов \” разных типов. Первоначальный тип, введенный Уаттом (Watt) показан на фиг. 59. Ось, к которой подвешены дза рычага, несущие, как грузы, шары, вращается со скоростью, пропорциональной скорости машины. Если это вращение равномерное, то грузы (шары) под действием своего яеса и центробежной силы занимают определенное положение \”равновесия\”, зависящее от скорости.1! Если скорость увеличивается, то шары расходятся, поднимая муфту $c$, с которой соединены нижние рычаги, и таким образом приводят в деижение систему рычагов, повертывающую клапан так, чтобы уменьшить расход пара.
Наоборот, если скорость уменьшается, то муфта
Фиг. 59. опускается и расход пара увеличивается.

Если обозначить через $\theta$ угол наклона верхних рычагов к оси, а чєрез – угловую скорость около вертикали, то выражение для кинетическои энергии будет иметь вид:
\[
2 T=A \dot{\theta}^{2}+I \dot{\psi}^{2},
\]

где $A$ и $I$ являются функциями от $\theta$. Предполагается, что коэфициент $I$ заключает в себе как член, представляющий инерцию паровой машины, так и член, выражакций инерцию всех механизмов, приводимых машиной в движение. Уравнения Лагранжа дают
\[
\frac{d}{d t}(A \dot{\theta})-\frac{1}{2} \frac{\partial A}{\partial \theta} \dot{\theta}^{2}-\frac{1}{2} \frac{\partial I}{\partial \theta} \dot{\psi}^{2}=-\frac{\partial V}{\partial \theta}
\]
1) Относительное равновесие. Пр им. ред.

и
\[
\frac{d}{d t}(I)=\Psi
\]

где $V$ означает потенциальную энергию регулятора, а $\Psi$ – разность между силой, приводящей механизм в движение, и сопротивлением. Если эта разность при некотором положении клапана $\theta=\alpha$, обращается в-нуль, то мы можем приближенно написать:
\[
\Psi=-\beta(\theta-\alpha) .
\]

При установившемся движении мы должны иметь $\theta=\alpha, \bar{\psi}=\omega$, прнчем $\omega$ определяется равенством
\[
\frac{1}{2} \frac{\partial I}{\partial \theta} \omega^{2}=\frac{\partial V}{\partial \theta} .
\]

Так как это равенство заключает в себе указанное значение $\theta$, то скорость $\omega$ будет изменяться при всяком длительном изменении мощности, отдаваемой машиной. Следовательно, механизм не будет сохранять постоянную угловую скорость независимо от изменений мощности; Максвелл указвл, что собственно этот механизм скорее следует назвать \”модератором“, чем „регулятором“.

Чтобы исследовать влияние случайных возмущений на установившееся движение, положим:
\[
\theta=\alpha+x, \quad \dot{\psi}=\omega+y,
\]

и будем считать $x$ и $y$ малыми. Если вычеркнуть члены, относящиеся к установившемуся движению, то уравнения (22) и (23) примут вид:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{A x}-\frac{1}{2} I^{\prime \prime} \omega^{2} x-I^{\prime} \omega y+V^{\prime \prime} x=0 . \\
I \dot{y}+I^{\prime} \omega \dot{x}+\beta x=0,
\end{array}
\]

где штрихи обозначают диференцирование по $\theta$; кроме того, предполагается, что коэфициенты имеют значения, соответствующие значению $\theta=\alpha$, и, следовательно, постоянны. Предположнв, что $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ изменяются пропорционально величине $e^{\lambda t}$ мы найдем:
\[
A I \lambda^{3}+\left\{\left(J V^{\prime \prime}-\frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{2}\right)+I^{\prime 2} \omega^{2}\right\} \lambda+I^{\prime} \beta \omega=0 .
\]

Конечно, существенно, чтобы регулятор был устойчив, когда скорость $\omega$ сохраняет постоянное значение. Условне необходимое для этого, имеет вид ${ }^{3}$ ):
\[
V^{t}-\frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{2}>0 .
\]

Если зто условие выполняется, то все коэфициенты в равенстве (29) положительны. Следовательно, имеется один отрицательный корень, а положи-
1) В примере I § 79 мы имеем:
\[
V=-m g a \cos \theta, \quad I=m a^{2} \sin ^{2} \theta
\]

и, следовательно, в положении относигельного равновесия
\[
V^{u}-\frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{2}=m \omega^{2} a \sin ^{2} \theta
\]

где $\cos \theta=\frac{g}{\omega^{2} a}$. Полную аналогию с условиями работы регулятора Уатта дает пример 4 в $\S 79$.

тельных корней нет. Так как сумма корней равна нулю, то остальные корни должны быть комплексными с положительными вещественными частями. Следовательно, полное решение уразнений (27) и (28) состоит из членов типа $e^{-2 \mu t}, e^{\mu t} \cos v t, e^{\mu t} \sin v t$. Последние два представляют колебания, с непрерывно увеличивающимися амплитудами.

Эта неустойнивость в известной сгепени уменьшается благодаря неизбежному трению между разными частями механизма; с целью ее исключения иногда нарочно вводится вязкое сопротивление, протиро:оложное изменениям $\theta$. Эго можно выразить путем введения в правую сторону уравнения (22) члена $-\gamma \frac{a^{\prime} \theta}{d t}$, а следовательно, и члена $\gamma \dot{x}$ в (27). Для $\lambda$ получится следующее уравнение:
\[
A I \lambda^{3}+\gamma I \lambda^{2}+\left\{I\left(V^{\prime \prime}-\frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{2}\right)+I^{\prime 2} \omega^{2}\right\} \lambda+I^{\prime} \beta \omega=0 .
\]

Здесь, очевидно, один корень, как и прежде, отрицательный. Условие, необходимое для того, чтобы остальные корни были отрицательными или комплексными с отрицательной вещественной частью имеет вид ${ }^{1}$ ):
\[
\gamma I\left\{I\left(V^{\prime \prime}-\frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{2}\right)+I^{\prime 2} \omega^{2}\right\}>A I I^{\prime} \beta \omega,
\]

которое удовлетворяется при достаточно большом коэфициенте вязкого трения $\gamma$.