Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Применение уравнений Лагранжа можно показать на примере двух задач, уже решенных другим путем. Следовательно, уравнения движения булут иметь вид: где $R, \theta, \Psi$ — обобщенные силы. было равно работе на произвольном бесконечно малом перемещении. Таким образом $R$ представляет радиальную составляющую обыкновенной силы, действующую на точку, $\boldsymbol{\theta}$-момент той же силы относительно оси, проходящей через $O$ перпендикулярно к плоскости $\theta$, а $\Psi$ — момент относительно $O Z$. В этом случае второе и третье из уравнений (2) принимают вид: Это обычный вид уравненић рассматриваемой задачи (\»Динамика\», $\S 103$ ). Первое из уравнений (2) определяет натяжение ( $m g \cos \theta-R$ ) нити. Составляющие момента количеств движения $\lambda, \mu, u & =\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi}) . Состав.яяющая $\lambda$ является моментом количеств движения относительно оси, проходящей через $O$ и перпендикулярной к плоскости $\theta$; далее $\mu$-момент количеств движения относительно вертикали, проходящей через $O$, а $\vee$-момент относительно оси симметрин. Далее мы имеем: Формулы (14) $\S 77$ соответственно қают: Последние два уравнения выражают постоянство составляющих $\mu, На основании этих уравнений теория волчка была построена -нами раньше в § 57; для сравнения с § 58 мы можем привести следующие выводы для случая почти вертикального волчха. Получтющиеся уравнения можно написать в виде: Мы можем рассматривать $\theta, \chi$ как полярные координаты горизонтальной проекции точки оси волчка относительно начальной линии, вращающейся с угловсй скоростью $\frac{1}{2} \frac{ причем должно удовлетворяться обычное условие $\mathrm{v}^{2}>4 A M g h$. При обозначениях (3) и (4) § 33 иы имеем: Если работу на бесконечно малом перемещении обозначить через то из фиг. 32 ясно, что $\Phi$ представляет момент внешних сил относительно оси $O C$, обычно обозначаемый через $N$. принимает вид: Так как безразлично, какую из главных осей, проходящих через неподвижную точку, мы обозначим через $O C$, то так же получаются и остальные два уравнения Эйлера. ПРимеР 2. Мощность, развиваемая паровой машиной обычно регулируется при помощи „центробежных регуляторов \» разных типов. Первоначальный тип, введенный Уаттом (Watt) показан на фиг. 59. Ось, к которой подвешены дза рычага, несущие, как грузы, шары, вращается со скоростью, пропорциональной скорости машины. Если это вращение равномерное, то грузы (шары) под действием своего яеса и центробежной силы занимают определенное положение \»равновесия\», зависящее от скорости.1! Если скорость увеличивается, то шары расходятся, поднимая муфту $c$, с которой соединены нижние рычаги, и таким образом приводят в деижение систему рычагов, повертывающую клапан так, чтобы уменьшить расход пара. Если обозначить через $\theta$ угол наклона верхних рычагов к оси, а чєрез — угловую скорость около вертикали, то выражение для кинетическои энергии будет иметь вид: где $A$ и $I$ являются функциями от $\theta$. Предполагается, что коэфициент $I$ заключает в себе как член, представляющий инерцию паровой машины, так и член, выражакций инерцию всех механизмов, приводимых машиной в движение. Уравнения Лагранжа дают и где $V$ означает потенциальную энергию регулятора, а $\Psi$ — разность между силой, приводящей механизм в движение, и сопротивлением. Если эта разность при некотором положении клапана $\theta=\alpha$, обращается в-нуль, то мы можем приближенно написать: При установившемся движении мы должны иметь $\theta=\alpha, \bar{\psi}=\omega$, прнчем $\omega$ определяется равенством Так как это равенство заключает в себе указанное значение $\theta$, то скорость $\omega$ будет изменяться при всяком длительном изменении мощности, отдаваемой машиной. Следовательно, механизм не будет сохранять постоянную угловую скорость независимо от изменений мощности; Максвелл указвл, что собственно этот механизм скорее следует назвать \»модератором“, чем „регулятором“. Чтобы исследовать влияние случайных возмущений на установившееся движение, положим: и будем считать $x$ и $y$ малыми. Если вычеркнуть члены, относящиеся к установившемуся движению, то уравнения (22) и (23) примут вид: где штрихи обозначают диференцирование по $\theta$; кроме того, предполагается, что коэфициенты имеют значения, соответствующие значению $\theta=\alpha$, и, следовательно, постоянны. Предположнв, что $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ изменяются пропорционально величине $e^{\lambda t}$ мы найдем: Конечно, существенно, чтобы регулятор был устойчив, когда скорость $\omega$ сохраняет постоянное значение. Условне необходимое для этого, имеет вид ${ }^{3}$ ): Если зто условие выполняется, то все коэфициенты в равенстве (29) положительны. Следовательно, имеется один отрицательный корень, а положи- и, следовательно, в положении относигельного равновесия где $\cos \theta=\frac{g}{\omega^{2} a}$. Полную аналогию с условиями работы регулятора Уатта дает пример 4 в $\S 79$. тельных корней нет. Так как сумма корней равна нулю, то остальные корни должны быть комплексными с положительными вещественными частями. Следовательно, полное решение уразнений (27) и (28) состоит из членов типа $e^{-2 \mu t}, e^{\mu t} \cos v t, e^{\mu t} \sin v t$. Последние два представляют колебания, с непрерывно увеличивающимися амплитудами. Эта неустойнивость в известной сгепени уменьшается благодаря неизбежному трению между разными частями механизма; с целью ее исключения иногда нарочно вводится вязкое сопротивление, протиро:оложное изменениям $\theta$. Эго можно выразить путем введения в правую сторону уравнения (22) члена $-\gamma \frac{a^{\prime} \theta}{d t}$, а следовательно, и члена $\gamma \dot{x}$ в (27). Для $\lambda$ получится следующее уравнение: Здесь, очевидно, один корень, как и прежде, отрицательный. Условие, необходимое для того, чтобы остальные корни были отрицательными или комплексными с отрицательной вещественной частью имеет вид ${ }^{1}$ ): которое удовлетворяется при достаточно большом коэфициенте вязкого трения $\gamma$.
|
1 |
Оглавление
|