1. Рама из шести стержней, образующих ребра правильного тетраэдра, покоится на гладкой горизонтальной пискости. Груз $W$ подвешен к верхней вершине. Определить напряжения в различных стержнях рамы.
2. Однородная треугольная пластинка подвешена к неподвижиой точке на трех нитях, закрепленных в углах пластинки. Доказать, что натяження нитех пропорциональны их длинам.
3. Гладкий шар установлен на трех остриях, расположенных в горизонтальной плоскости. Найти давление на каждое острие.
4. Гладкий шар покоится на те егольной горизонтальной раме, образованной из трех стержней. Определить давление, испытываемое каждым стержнем.
5. Три гладких шара равного радијса $a$ находятся внутри гладкой сферической чаши с радиусом $b$. На эти шары сверху положен симметрично четвертый шар той же величины. Показать, что нижние шары могут продолжать соприкасаться друг с другом только при условии, чтобы $\frac{b}{a}<7,63$.
6. Однородная треугольная пластинка со сторонами, равными $a, b$ и $c$, покоится внутри сферической чаши радиуса $r$. Показать, что угол $\theta$ наклона к горизонтальной плоскости определяется равенством
\[
\left(r^{2}-R^{2}\right) \operatorname{tg}^{2} \theta=R^{2}-\frac{1}{9}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right),
\]

где $R$ есть радиус окружности, описанной около пластинки.
7. Шар покоится на трех шероховатых горизонтальных стержнях, образующих треугольник. Определить пару, необходимую для поворота шара вокруг его вертикального диаметра, еспи дан коэфициент трения между шаром и стержнями.
8. Три одинаковые шара, лежащие на шероховатой горизонтальной плоскости, касаются друг друга, четвертый такой же шар кладется на них сверху. Определить наименьший коэфициент трения между верхним шаром и тремя нижними, при котором равновесие шаров сохраняется.
\[
[\mu=0,32]
\]
9. Однородный сплошной шар лежит на столе. По вертикальным плоскостям, проходящим через вертикальныи диаметр, шар рззрезан на двугранные тонкие д!ли, которые связаны вдоль большого горизонтального круга нитью, лежащєй в выемке очень малого сечения. Показать, что натяжение нити должно быть не меньше $3 / 32$ полного веса шара.
10. Горизонгальный стержень $W$ подвешен двумя вертикальными нитями длины $l$, привязанными в двух точках на расстоянии $a$ от его центра тяжести каждая. Показать, что момент пары, необходимый для поворота стержня иа угол $\varphi$ гокруг вертикали, равен
\[
\frac{W a^{5} \sin \varphi}{\sqrt{l^{2}-4 a^{2} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}} .
\]
11. Прямая, проходящая через петли двери, наклонена к вертикали пэд углом $\alpha$. Доказать, что момент, необходимый для того, чтобы повернуть дверь на угол $\theta$, считаемый от положения равновесия двери, равен
\[
W a \sin \alpha \sin \theta,
\]

где $W$ – вес двери и $a$ – расстояние ее центра тяжести от линии, проходящей через петли двери.
12. Твердое тело, нижняя поверхность которого есть параболсид вращения, покоится в равновесии на горизонтальной плоскости, касаясь ее вершиною параболоида.

Доказать, что равновесне будет устойчивым, если центр тяжести совнадает с центром кривизны в этой точке.
13. Доказать, что однородный эллипсоид может находиться в равновесии, опираясь на три гладких колышка, расположенных в горизонтальной плоскости, если огоры помещаются на концах сопряженных диаметров.

Доказать, что давления, испытываємые опорами, пропорциональны площадям сопряженных диаметральмых сечений эллипсоида.

14. Получить нижеследующие уравнения равновесия гибкой цепи, в которых $X, Y$ и $Z$ означают составляющие внецних сил на единицу длины вдоль осей координат:
\[
\frac{d}{d s}\left(T \frac{d x}{d s}\right)+X=0, \quad \frac{d}{d s}\left(T \frac{d y}{d s}\right)+Y=0, \quad \frac{d}{d s}\left(T \frac{d z}{d s}\right)+Z=0 .
\]
15. На основании этих уравнений доказать, что равнодействующая внешних сил лежит в соприкасающейся плоєкости кривой.

Показать также, что если цепь лежиг на гладкой поверхности вращения с вертикальной осью, то при обозначениях § 24 мы имеем:
\[
T \cdot r \cos q=\text { const. }
\]
16. Доказать, что гибкая нить, вращающаяся вокруг прямой, может принять при отсутствии внешних сил форму винтовой линии, ось которой совпадает с осью вращения. Показать, что сила натяжения равна $\frac{\mu \omega^{2} a^{2}}{\sin ^{2} \alpha}$, где $\mu$ есть линейная плотность (масса на единицу длины), $\omega$ – угловая скорость, $a$ радиус цилиндрической поверхности, на которой расположена винтовая линия, и $\alpha$ – угол наклона винтовой линии.
17. Однородная цепьлежнт на гладком круглом конусе с вертикальной осью. Доказать, что при развертывании боковой поверхности конуса на плоскость тангенциальное поллрное уравнение кривой изгиба нити имеет вид:
\[
p(r+a)=\text { const. }
\]
18. С гладкого шара свешивается цепь. Через верхнюю точку шара и любую точку $P$ линии изгиба цепи проводим плоскость, перпендикулярную плоскости большого круга, касательного в точке $P$ к линии изгиба. Пусть $p-$ длина дуги пересечения этой плоскости и шара от точки $P$ до верхней точки шара. Считая высоту $z$ точки $P$ от некоторого горизонтального уровня, показать, что имеет место равенство:
\[
z \sin p=\text { const. }
\]

Примеры $\mathrm{V}$
(большей частью геометрические).
1. К точке приложены силы $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$. Через ( $P_{r} P_{s}$ ) обозначим угол между направлениями сил $P_{q}$ и $P_{s}$. Показать, что квадрат равнодействующей сил равен
\[
\sum\left(P_{r}^{2}\right)+2 \sum\left\{P_{r} P_{s} \cos \left(P_{r} P_{s}\right)\right\}
\]
2. Материальная точка находится под действием силового поля, составляющие которого вдоль осей координат $X, Y, Z$ выражены в виде функций от координат точки $x, y, z$. Точка вынуждена оставаться на гладкой поверхности, уравнение которой дано в виде:
\[
\varphi(x, y, z)=0 .
\]

Показать, что положения равновесия точки определяются уравнениями:
\[
X=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad Y=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad Z=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z},
\]

с неопределенным множителем $\lambda$. Показать его значение.
При каких условиях точка может находиться в равновесии при всяком положении на поверхности?
3. Показать, что если материальная точка должна оставаться на кривой данной уравнениями
\[
\phi(x, y, z)=0 \quad \text { н } \quad \chi(x, y, z)=0 \text {, }
\]

то положения равновесия определяются уравнениями:
\[
X=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\mu \frac{\partial \chi}{\partial x}, \quad Y=\lambda \frac{\partial p}{\partial y}+\mu \frac{\partial \chi}{\partial y}, \quad Z=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z}+\mu \frac{\partial \chi}{\partial z}
\]

с двумя неәпределенными множителями $\lambda$ и $\mu$.
4. Доказать, что четыре силы, нормальные к граням тетраэдра, направленные все внутрь теграэдра или все наружу и приложенные к центрам описанных около граней кругов, будут находиться в равновесии лишь при том условии, если они пропорциональны площадям соответствующих граней.
5. К центрам тяжести граней ппрамиды приложены силы, нормальные к плоскостям граней и пропорциональные плоцадям граней. Доказать, что если силы направлены внутрь пирамиды, то они будут в равновесии.
6. Доказать, что в пространственной раме, имеющей 5 узлов $A, B, C$, $D, E$ и 10 соединительных стержней, стержни могут испытывать напряжения без приложения внешних сил.

Далее, если $A^{\prime}$ центр сферы, описанной около тетраэдра $B, C, D, E$ и т. д. в циклическом порядке, то сила напряжения в стержне $A B$, будет пропорииональна площади треугольника $C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime}$ и т. д.
(Рэнкин).
7. Найти условия того, чтобы силн, дейсгвующие в напразлении четирех образующих параболоида, принадлежащих к одной и той же системе, бъли в равновесии.
8. Если силы $P, Q, R$ действуют вдоль ребер $O A, O B, O C$ тетраэдра $O A B C$, а силы $P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}$ направлены соответственно вдоль ребер $B C, C A, A B$, то си’ стема этих сил приводится к одной сияе, если имеет месго равенство
\[
\frac{P \cdot P^{\prime}}{O A \cdot B C}+\frac{Q \cdot Q^{\prime}}{O B \cdot C A}+\frac{R \cdot R^{\prime}}{O C \cdot A B}=0 .
\]
9. Дан четырехугольник $O A B C$ в трехмерном пространстве. Вдоль сторон ero, в направлении порядка следования их, приложены силы, пропорциональные соответственно длинам сторон. Доказать, что эти силы эквивалентны паре, плоскость которой параллельна плоскости параллелограма, образованного отрезками, соединяющими середины сторон четырехугольника, и что момент пары равен учетверенной плоцади параллелограма.
10. Система сил может быть представлена сторонами пространственного многоугольника, причем силы действурт в направлении следования этих сторон. Доказать, что момент эквивалентной пары относительно любой оси пропорционален нлощади ортогональной проэкции многоугольника на плоскость, нормальную к этой оси.
11. В плоскостях граней любого многогранника приложены пары сил с моментами, пропорциональными площадям соответствующих граней. Оси пар все направлены или внутрь многогранника или наружу. Доказать, \”то система этих пар находится в равновесии.
(Мебиус).
12. Доказать, исходя из осяовных положений, что любая система сил в пространстве может быть приведена бесконечным числом способов к двум силам, направленным по двум, взаимно перпендикулярным, но не пересекающимся прямым.
(Монж).
13. Доказать, что динамический винт эквивалентен двум силам, из которых одна приложена к заданной точке, а другая лежит на заданной плоскости.
14. $G$ есть средний центр $n$ точек $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, а $H$ – средний центр $n$ точек $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$. Доказать, что центральная ось системы сил
\[
P_{1} Q_{1}, P_{2} Q_{9}, \ldots, P_{n} Q_{n}
\]

параллельна отрезку $G H$.
15. Доказать, что система сил находится в равновесии, если суима их моментов относительно каждого из шести ребер тетраэдра равна нулю.
16. Пусть $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ – любя система сил, находящихся в равновесии, а $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}$ – моменты другой силы (или системы сил) относительно прямых, по которым направлены силы $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$. Показать, что
\[
P_{1} M_{1}+P_{2} M_{2}+\ldots+P_{x 4} M_{n}=0 .
\]

Примеры VI
(ан алитические).
1. На основании аналитических формул § 19 показать, что равномерное гидростатическое давление на любую замкнутую поверхность представляет уравновешивающуюся систему сил.
2. Доказать, что равномерное гидростатическое давление на октант поверхности эллипсоида эквивалентно одной силе.

Найти точки пересечения линий действия этой силы с главными диаметральными плоскостями эллипсоида.
3. Доказать, что апалитические условия равновесия \& 19 сохраняют свой вид и при переходе к косоугольной системе координат.
4. Твердое тело, притягиваемое отдаленной точкой $P$, может вращаться вокруг неподвижной точки $O$. Доказать, что, если главные моменты инерции относительно $O$ не равны, то единственным положением устойчивого равновесия будет то, при котором ось с наименьшим моментом инерции направлена вдоль $O P$.
5. Принимая для земного шара $C-A=0,00109 E a^{2}$, где $E$ – масса Земли и $a$ – средний радиус, доказать, что линия притяжения Луны не может отклоняться от центра тяжести Земли более, чем на 0,0000225 радиуса, т. е. приблизительно на 145 м.
(При этом принимается, что расстояние Луны равно 60 радиусам Земли и что наибольшее склонение равно $28^{\circ}$.)
6. Силы $X, Y, Z$ приложены к ребрам параллелепипеда через одно; длины ребер соответственно равны $a, b$, c. Дсказать, что силы эквнвалентны одной равнодействующей, если имеет место равенство
\[
\frac{a}{X}+\frac{b}{Y}+\frac{c}{Z}=0 .
\]
7. Даны пары сил с моментами $L, M, N$ в координатных плоскостях косоугольной системы координат с углами $\alpha, \beta, \gamma$ между соответствующими осями. Показать, что нлоскость одной пары, к которой приводятся заданные, определяется уравнением:
\[
\frac{L x}{\sin \alpha}+\frac{M y}{\sin \varphi}+\frac{N z}{\sin \gamma}=0 .
\]
8. Ось динамического винта с параметром о принята за ось $O z$. Уравнением нулевой плоскости относительно точки ( $x, y, z)$ будет:
\[
x y_{1}-y x_{1}=\omega\left(z-z_{1}\right),
\]

а нулевая точка плоскости
имеет координаты
\[
\begin{array}{c}
z=m x+n y+c \\
(-n \tilde{\omega}, m \tilde{\omega}, c) .
\end{array}
\]

Показать, что ортогональные проекции на плоскость, нормальную к оси $\mathrm{Oz}$, двух прямых: линии пересечення двух любых плоскостей и прямой, соедингющей нулевые точки этих плоскостей, – параллельны между собою.
9. Момент динамического винта $(P, Q, R, L, M, N)$ относительно оси с линейными координатами ( $l, m, n, p, q, r$ ) равен
\[
\frac{L p+M q+N r+P l+Q m+R n}{\omega},
\]
rде
\[
\omega=\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}} .
\]
10. Доказать, что уравнение нулевой плоскости точки $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right.$ ) относительно динамического винта $(P, Q, R, L, M, N)$ будет иметь вид:
\[
7\left(x-x_{1}\right)+M\left(y-y_{1}\right)+N\left(z-z_{1}\right)=P\left(y z_{1}-z y_{1}\right)+Q\left(z x_{1}-x z_{1}\right)+R\left(x y_{1}-y x_{1}\right) \cdot
\]

11. Показать, что координаты нулевой точки плоскости

будут
\[
\begin{array}{c}
A x+B y+C z=1 \\
\frac{P+B N-C M, \quad Q+C L-A N, \quad R+A M-B L}{A P+B Q+C R} .
\end{array}
\]
12. Пусть $(l, m, n, p, q, r)$-шесть координат прямой. Найти координаты сопряженной прямой ७относительно динамического винта $(P, Q, R, L, M, N)$. Доказать, что если динамический винт привести к двум силам, действующим вдоль данной прямой и ее сопряженषой, то сила, действующая в направлении данной прямой, будет равна
\[
\frac{(L P+M Q+N R)}{L p+M q+N r+P e+Q m+R n}
\]

где
\[
\omega=\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}} \text {. }
\]
13. Показать, что условие, необходюмое для того, чтобы оси двух динамических винтов пересекались, выражается равенством:
\[
L^{\prime} P+M^{\prime} Q+N^{\prime} R+L P^{\prime}+M Q^{\prime}+N R^{\prime}=\left(\tilde{\omega}+\tilde{\omega}^{\prime}\right)\left(P P^{\prime}+Q Q^{\prime}+R R^{\prime}\right),
\]

где $\tilde{\omega}$ и $\tilde{\omega}^{\prime}$ – параметры двух винтов.
14. По данному многограннику строим другой, ребра которого образованы прямыми, сопряженными с ребрами данного относительно параболоида
\[
2 c z=x^{2}+y^{2} .
\]

Доказать, что проекции этих фигур на плоскость $z=0$ взаимны однако с тем, отличием, что соответствующие прямые взаимно перпенднкулярны, а не параллельны.
(Максвелл).
15. Доказать, что прямые, проходяшие через данную точку и перпендикулярные к своим сопряженным, образуют конус второго порядка.
16. Доказать преобразованием прямоугольных координат, что выражение
\[
l p^{\prime}+m q^{\prime}+n r^{\prime}-p l^{\prime}+q m^{\prime}+r n^{\prime}
\]

виртуального коэфициента двух винтов есть абсолютный инвариант.
17. Доказать, что два винта, связанғые с одним и тем же цилиндроидом, взаимны, если их оси паралнельны двум сопряженным диаметрам индикатрисы параметра винтов.
18. Если тело имеет три степени свободы, то оси трех каких-либо взаимных винтов параллельны сопряженным диаметрам поверхности второго порядка, служащей индикатрисой параметра винтов.
19. Доказать, что в общем случае динамический винт с силовой составляющей $S$ и параметром $\tilde{\omega}$ эквивалентен шести динамическим винтам, оси которых совпадают с шестью данными осями. Если эти винты обоюдно взаимны, то соответствующие силы опрсделяютсл вығажениями вида
\[
S_{r}=\frac{\tilde{\omega}_{0 r} S}{2 \tilde{\omega}_{r}},
\]

где $\tilde{\omega}_{r}$ – параметр одного ( $r$ – го) из шести винтов, а $\tilde{\omega}_{0 r}$ – его виртуальный коэфициент относительно первоначально заданного винта.
Вывести огсюда равенство:
\[
\tilde{\omega} S^{2}=\tilde{\omega}_{1} S^{2}+\omega_{2}^{2}+\cdots+\tilde{\omega}_{6} S_{6}^{2} .
\]