Когда моменты внешних сил равны нулю, мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}=(B-C) q r \\
B \frac{d q}{d t}=(C-A) r p \\
C \frac{d r}{d t}=(A-B) q p
\end{array}\right\}
\]

Умножая соответственно на $p, q, r$ и складывая, мы получим:
\[
A p \frac{d p}{d t}+B q \frac{d q}{d t}+C r \frac{d r}{d t}=0 .
\]
1) Несколько иной вывод этих уравнений дается в § 62 .

Умножая же на $A p, B q, C r$ и складывая, будем иметь:
\[
A^{2} p \frac{d p}{d t}+A^{2} q \frac{d q}{d t}+C^{2} r \frac{d r}{d t}=0 .
\]

А так как при обозначениях, употребленных выше,
\[
\begin{array}{l}
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}=2 T, \\
A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}=H^{2},
\end{array}
\]

то мы убеждаемся в том, что кинетическая энергия $T$ и главный момент $H$ количеств движения постоянны. Построение Пуансо и было основано на этом обстоятельстве и на неизменности направления вектора $H$ (§ 46$)$.

Уравнения (4) и (5) могут рассматриваться, как два интеграла диференциальных уравнений с произвольными постоянными $T$ и $H^{2}$. Чтобы найти зависимость $p, q, r$ от времени $t$, необходимо еще третье соотношение. В общем случае это приводит к введению эллиптических функций (§52).

Однако в случае симметрии относительно какой-либо оси вычислеления производятся просто. Если мы положим в третьем уравнении (1) $A=B$, то найдем, что угловая скорость $r$ вращения вокруг оси симметрии постоянна.

Если мы обозначим ее через $n$, то можно пе, еписать два другие уравнения в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}=-(C-A) n q, \\
A \frac{d q}{d t}=(C-A) n p .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения объединяются в одно
\[
A \frac{d}{d t}(p+i q)=i n(C-A)(p+i q) .
\]

Следовательно, вводя обозначение
\[
\lambda=\frac{C-A}{A} n,
\]

мы получим:
\[
p+i q=K e^{i(0 . t+\varepsilon)}
\]

с произвольной постожнной интегрирования Ke $^{\text {ів }}$. В вещественном виде имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
p=K \cos (\lambda t+\varepsilon), \\
q=K \sin (\lambda t+\varepsilon) .
\end{array}\right\}
\]

Конус полодии является таким образом прямым круглым конусом. Он описывается в период времени, равный
\[
\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{A}{C-A} \cdot \frac{2 \pi}{n},
\]

как уже было найдено в § 47.