Мы можем применить главную функцию Гамильтона для вывода замечательных формул, связывающих два незначительных возмущения естественного движения системы. Если воспользоваться символами $\delta$ и $\Delta$ для обозначения значений соответствующих вариаций в момент времени $t$, то теорема, данная Лагранжем в \»Mе́саnique Analytique), выразится равенством:
\[
\frac{d}{d t} \sum_{r}\left(\delta p_{r} \cdot \Delta q_{r}-\Delta p_{r} \cdot \delta q_{r}\right)=0,
\]

где суммирование производится по всем степеням свободы. Если проинтегрировать от $t$ до $t^{\prime}$, то получится эквивалентная форма:
\[
\sum_{r}\left(\delta p_{r}^{\prime} \cdot \Delta q_{r}^{\prime}-\Delta p_{r}^{\prime} \cdot \delta q_{r}^{\prime}\right)=\sum_{r}\left(\delta p_{r} \cdot \Delta q_{r}-\Delta p_{r} \cdot \delta q_{r}\right) .
\]

Введем для краткости обозначения:
\[
\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{r} \partial q_{s}}=(r, s), \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{r} \partial q_{s}^{\prime}}=\left(r, s^{\prime}\right),
\]

где $S$ — „гләвная функция“ Гамильтона. Следовательно, на основании (6) $\S 107$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta p_{r}=-\sum_{s}(r, s) \delta q_{s}-\sum_{s}\left(r, s^{\prime}\right) \delta q_{s}^{\prime}, \\
\Delta p_{r}=-\sum_{s}(r, s) \Delta q_{s}-\sum_{s}\left(r, s^{\prime}\right) \Delta q_{s}^{\prime} .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом правая часть равенства (2) прин:мает вид:
\[
\sum_{r} \sum_{s}\left(r, s^{\prime}\right)\left\{\delta q_{r} \cdot \Delta q_{s}{ }^{\prime}-\Delta q_{r} \cdot \delta q_{s}{ }^{\prime}\right\} \cdot
\]

Совершенно тождественное выражение получается аналогично и для левой части равенства (2). Отсюда и вытекает соответствующая теорема.

Координаты, применєнные в обеих частях равенства (2), необязательно должны быть одного и того же типа. Это вытекает из замечания, сделанного в § 107 .

Из формулы (2) можно вывести ${ }^{1}$ ) некоторые замечательные теоремы взаимности, впервые полученные разными способами Гельмгольцем (1886).

Рассмотрим естественное движение консервативной системы в пределах между двумя конфигурациями $O$ и $O^{\prime}$, которые система принимает соответственно в моменты времени $t$ и $t^{\prime}$, и пусть $t^{\prime}-t=\tau$. Пусть в момент прохождения системы через положение $O$ к ней приложен небольшой импульс $\delta p_{r}$, причем соответствующее изменение координаты $q_{s}$ по истечении промежутка времени $\tau$ пусть будет $\delta q_{s}^{\prime}$. Наряду с этим рассмотрим обращенное движение системы, при котором система, при отсутствии возмущения переходила бы из $O^{\prime}$ в $O$ за этот же промежуток времени $\tau$. Пусть в момент прохождения через голожение $O^{\prime}$ к системе приложен небольшой импульс $\delta p_{s}^{\prime}$ и пусть последующее изменение координаты $q_{r}$ по истечении времени $\tau$ будет $\delta q_{r}$. Первая теорема Гельмгольца утверждает, что
\[
\delta q_{r}: \delta p_{s}^{\prime}=\delta q_{s}^{\prime}: \delta p_{r} .
\]

Чтобы доказать ее, предположим, что в равенстве (2) все варицции $\delta q$ обратились в нуль, а также обратились в нуль и все $\delta p$ за исключением $\delta p_{r}$. Далее предположим, что обратллись в нуль также все $\Delta q^{\prime}$ и все $\Delta p^{\prime}$ за исключением $\Delta p_{s}^{\prime}$. Тогда формула (2) дает
\[
\delta p_{r} \cdot \Delta q_{r}=-\Delta p_{s}^{\prime} \cdot \delta q_{s}^{\prime} .
\]

Эта формула эквивалентна формуле (6), так как мы можем предположить, что символ $\Delta$ относится к обращенному движению, где изменен на обратный знак у $\Delta p$.

Если координаты $q_{r}, q_{s}$ имеют один и тот же геометрический характер, то формулу (6) можно упростить, положив $\delta p_{s}^{\prime}=\delta p_{r}$, откуда
\[
\delta q_{r}=\delta q_{s}^{\prime} .
\]

Пример 1. Если материальной точке, движущейся по эллипсу около некоторого центра, сообщить незначительную скорость $\grave{v}$ в направлении нормали в тот момент, когда она проходит через один из концов большой оси, то легко найти, что тангенциальная девиация по истечении четверти периода будет равна $\frac{\hat{\delta} v}{\sqrt{\mu}}$, где $\mu-{ }_{n}$ абсолютное ускорение. Легко проверить, что если точке, во время прохождения ее через конец малой оси, сообщить тангенциальную скорость $\hat{v}$, то по истечении четверти периода получится нормальная девиация $\frac{\hat{
u} v}{\sqrt{\mu}}$ в соответствии с (8).
1) Proc, Lond. Math. Soc., т. XIX; cтp. 144, 1888 ,

ПРимер 2. Пусть $O, O^{\prime}$ будут два положения на траектории материальной точки, движущейся в консервативном силовом поле.

Предположим сперва, что силовое поле симметрично относительно некоторой оси и что точки $O, O^{\prime}$ расположены на этой оси, причем соответствующие скорости пусть будут $v, v^{\prime}$. Пусть в точке $O$ под прямым углом к оси приложен такой импульс $v \hat{\theta} \theta$, что угол отюлонения оси составит $\pi \theta$, а последуюшая поперечная девиация в точке $O^{\prime}$ составит $\beta^{\prime}$. Точно так же пусть при обращенном движении поперечный импульс $v^{\prime} \hat{\jmath} \theta^{\prime}$, приложенный в точке $O^{\prime}$, производит поперечную девиацию $\beta$ в точке $O$. Теорема, выражающаяск формулой (6), утверждает, что
\[
\frac{\partial^{\prime}}{v^{\prime} \delta \theta^{\prime}}=\frac{\beta^{\prime}}{v \delta \theta} \text {. }
\]

Эта формула имеет определенную интерпретацию в корпускулярной теории света. Предмет ширины $\beta^{\prime}$, помещентый в точке $O^{\prime}$, виден в точке $O$ под углом вө. Если бы скорость света была постоянна и, следовательно, все траек-

тории были прямолинейны, то мы имели бы $\beta^{\prime}=l \hat{\imath} \theta$, где $l$ означает расстояние $O O^{\prime}$. В данном случае отношение $\frac{\beta^{\prime}}{\delta \theta}$ называется ,кажущимся расстоянием“ $O^{\prime}$ от $O$. Теорема, выражающаяся формулой (11), соответственно утверждает, что кажущееся расстояние от $O^{\prime}$ до $O$ относится к кажущемуся расстоянию от $O$ до $O^{\prime}$, как $v$ к $v^{\prime}$, т. е. как показатель преломления в точке $O^{\prime}$. К показателю преломления в точке $O^{\prime}$. Если показатели преломления в точках $O$ и $O^{\prime}$ одинаковы, то кажущиеся расстояния равны ${ }^{1}$ ).

Если осевой симметрии нет, то удобнее принять независимые системы координат в $O$ и $O^{\prime}$. Приняв каждую из этих точек за начало прямоугольной системы координат и направив оси $z, z^{\prime}$ по касательным к храектории, мы для поперечных девиаций в точке $O^{\prime}$, создаваемых небольшими импульсами $\dot{x}, \dot{y}$, приложенными к точке $O$, получим равенства следующего вида:
\[
x^{\prime}=A \dot{x}+B \dot{y}, \quad y^{\prime}=C \dot{x}+D \dot{y} .
\]

Теорема взаимности (6) показывает, что смещения $x$, $y$ в точке $O$, произведенные импульсами $\dot{x}^{\prime}, \dot{y^{\prime}}$, приложенными в точке $O^{\prime}$, будут выражаться формулами:
\[
x=A \dot{x}^{\prime}+C \dot{y}^{\prime}, \quad y=B \dot{x}^{\prime}+D \dot{y}^{\prime} .
\]

Следовательно, если с $^{\prime}$ означает площадь сечения, проведенного в точке $O^{\prime}$, узкого потока частиц, испускаемого из $O$ и образующего телесный угол $\omega$, и если $\sigma$, $\omega^{\prime}$ имеют подобный же смыся по отношению к потоку, исходящему из $O^{\prime}$, то будем иметь:
\[
\left.\frac{\sigma^{\prime}}{v^{2} \omega}=\frac{\partial\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)}{\partial(\dot{x}, \dot{y})}=A D-B C^{2}\right) .
\]
1) Теорема и термин \»кажущеесн расстолние\» принадлежат P. Смиту (R. Smith, Optics, Cambridge 1738).
2) Если вокруг какой-либо точки, как около центра, описать сферу радиуса $v$, то площадь части этой сферы, заключенная внутри конуса с телесным утлом क

То же значение получается для $\frac{\sigma}{v^{\prime 2} \omega^{\prime}}$, так что
\[
\frac{\sigma^{\prime}}{\omega}=\frac{\sigma}{\omega^{\prime}}=v^{2}: v^{\prime 2}=\mu^{2}: \mu^{\prime 2},
\]

где $\mu, \mu^{\prime}$ в оптической аналогии суэь коэфициенты преломления. Эrо дает теорему о „кажущемся расстоянии “ вбобщенном виде.

Пример З. В самом общем случае движения волчка предполагают, что небольшая импульсивная пара, произзодящая вращение около вертикали, по истечении промежутка в ремєни $\tau$ изменяет угол наклона оси на $\delta \theta$. Доказанная теорема утверждает, что при обращенном движении 1) одинаковая импульсивная пара сил, приложенных в плоскости $\theta$, изменит азимут оси на угол бџ, равный углу 8 . Конечно, подразумевается, что пары не имеют никаких других составляющих (в обобщенном смысле), кроме составляющих указанных типов, например, пара может состолть в каждом из этих случаев из силы, приложенной к волчку в точке его оси, и из соответствующей реакции, приложенной к острию волчка.

В динамике большая часть теорем о взаимности является частным случаем теоремы (6).

Так, если система первоначально была в покое и если промежуток времени $\tau$ бесконечно мал, мы можәм положить:
\[
\delta q_{s}^{\prime}=\dot{q}_{s}^{\prime} \cdot \tau
\]

и, благодаря линейному характеру соотношений между импульсами и скоростями, ограничение о бесконечной малости импульсов $\delta p_{\tau}$ можно отбросить. Следовательно, скорость типа $s$, создаваемая импульсом типа $r$, равна скорости типа $r$, создавдемой равным импульсом типа $s(\$ 75)$.

Дагее, применяя теорему к случаю малых периодических возмущений, приложенных к конфигурации, соответствующей равновесию, мы придем к теореме взаимности, о которой сказано в $\S 96$.

Во второй теореме взаимности, также принадлежащей l ельмгольцу, конфигурация $O$ подвергается незначительной вариации путем изменения одной из координат на величину $\delta q_{r}$, причем все импульсы остаются без изменения, тогда по истечении промежутка времени $\tau$ получатся изменения импульсов; пусть один из них изменился на величину $\delta p_{s}^{\prime}$. Аналогично в обращенном движении изменение координаты $\delta q_{s}^{\prime}$ по истечении промежутка $\tau$ произведет изменение импульса на $\delta p_{r}$. Вторая теорема взаимности выражается формулой:
\[
\delta p_{s}{ }^{\prime}: \delta q_{r}=\delta p_{r}: \delta q_{s} .
\]

Эта формула получается из (2), если предположить, что все $\delta p$ обрацаются в нуль и аналогично обращаются в нуль все $\delta q$, за исключением $\delta q_{r}$, а затем предположить, что обращаются в нуль все $\Delta p$ и все $\Delta q^{\prime}$, за исключением $\Delta q_{s}{ }^{\prime}$.

будет равна $v^{2} \omega$. Рассматривая $\dot{x}, \dot{y}$ как координаты точки на контуре этой площади, мы найдем, чго отношением соответствующих площадей на плоскости $x y$ и на сфере будет:
\[
\frac{\partial\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)}{\partial(\dot{x}, \dot{y})} .
\]
1) Сюда включается и обращение наравления вращения волчка.

Пример 4. Пусть $O, O^{\prime}$ будут некоторые точки, а $F, F^{\prime}$-главные фокусы оптической системы, симметричной относительно оси. Частица света входит в систему параллельно оси и на коротком расстоянии от нее выход’т через $F^{\prime}$. Рассматривая незначительное возмущение прямолинейной траектории $O O^{\prime}$, мы можем написать:
\[
\hat{\delta} q_{r}=\beta, \quad \hat{\delta} p_{\beta}^{\prime}=-\boldsymbol{v}^{\prime} \hat{\delta} \theta^{\prime} .
\]

Для частицы света, входящей в противоположуом направлении, будем имєть:
\[
\delta q_{s}{ }^{\prime}=\beta^{\prime}, \quad j p_{r}=-v \hat{\theta}
\]

Фиг. 64.
Так как $\beta=\beta^{\prime}$, то на основании (14) получим:
\[
v \hat{\jmath} \theta=v^{\prime} \hat{\partial} \theta^{\prime} .
\]

Обозначив глґвные фокусные расстсяния через $f, f^{\prime}$, будем иметь:

откуда
\[
\begin{array}{c}
\beta=f \hat{\theta} \theta=f^{\prime} \hat{\theta} \theta^{\prime}, \\
\frac{f}{f^{\prime}}=\frac{v}{v^{\prime}}=\frac{\mu}{\mu^{\prime}},
\end{array}
\]

важный резульат, приналлежащий Гауссу.
Пример 5. Пусть $O, O^{\prime}$ будут сопряженные фокусы на оси симметричного оптического инструмента. Предположим, что все $\hat{\delta} q$ и $\delta q^{\prime}$ и аналогично
Фиг. 65.

гсе $\delta p$ и $\hat{p} p^{\prime}$, за исключением имеющих индекс $r$, обращаются в нуль. Тогда формула Лагранжа (2) прингмает вид:
Написав
\[
\hat{\delta} p_{r} \Delta q_{r}=\delta p_{r}{ }^{\prime} \Delta q_{r}{ }^{\prime} .
\]
\[
\hat{\circ} p_{r}=v \hat{\imath} \theta, \quad \delta p_{\mathrm{r}}{ }^{\prime}=v^{\prime} \hat{\partial} \theta^{\prime}, \quad \Delta q_{r}=\beta, \cdot \Delta q_{r}{ }^{\prime}=\beta^{\prime},
\]

где $\hat{\delta} \theta$ и $8 \theta^{\prime}$ представляют углы отклонения в точках $O$ и $O^{\prime}$ луча, проходящего через эти точки, а $\beta, \beta^{\prime}$ — размеры сопряженных изображений, имеем:
\[
v \hat{\delta} \theta \cdot \beta=v^{\prime} \hat{\theta} \theta^{\prime} \cdot \beta^{\prime}
\]

или
\[
\mu \beta 8 \theta=\mu^{\prime} \beta^{\prime} \delta \theta^{\prime} .
\]

Этот важный закон, связывающий относительные размеры сопряженных изображений с относительными отклоне:иями соответствующих лучей, пғ мнздлежит Лагранжу.

В изложенных здесь теоремах взаимности предположено, что обращение системы полное, распространяющееся на все скорости системы.

Например, в циклической системе мы должжны предположить, что циклические движения обращаются вместе с остальными. Яркий пример, когда теорема вследствие неполной обратимости неприменима, дает теория распространения звука при наличии ветра.

Следует, однако, указать, чтб́ в первоначальной формуле Лагранжа таких ограничений нет. В применении к циклическим системам мы можем предположить, что координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ являются так называемыми позиционными координатами и что циклические обобщенные импульсы не изменяются. Тогда, как и прежде, можно вывести ряд частных заключении, но интерпретация их вследствие необратимости движения получается менее простои.