В дальнейшем нам понадобятся некоторые положения из кинематики и динамики точки.

Составляющие скорости вдоль прямоугольных өсей материальной точки, движущейся в пространстве, равны $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, а соответствующие составляющие ускорений $\ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z}$.

В „цилиндрических“ координатах положение точки $P$ определяется ее расстоянием $\rho$ от неподвижной определенной оси $O Z$, углом $\psi$, который составляет плоскость $Z O P$ с какой-либо неподвижной плоскостью, проходящей через $O Z$, и расстоянием $z$ точки $P$ от какой-либо неподвижной плоскости, проходяцей через точку $O$ нормально к оси $O Z$.

Эти координаты связаны с негодвижной прямоугольной системой координат соотношениями:
\[
x=\rho \cos \psi, \quad y=p \sin \psi, \quad z=z .
\]

Как и в случае плоского движения скорости $\dot{x}, \dot{y}$ равносильны скоростям $\dot{\rho}$ и $\rho \dot{\psi}$ соответственно в направлениях радиуса $\rho$ и в нормальном к плоскости $Z O P$. Ускорения $\ddot{x}$ и $\ddot{y}$ равносильны ускорениям:
\[
\ddot{\rho}-\rho \dot{\psi}^{2}, \quad \frac{1}{\rho} \frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \dot{\psi}\right)
\]

вдоль тех же направнений. Третья составляющая, разумеется, равна $\ddot{z}$.
В полярных сферических коФиг. 35. ординатах положение точки $P$ (фиг. 35) определяется расстоянием $r$ от неподвижного начала $O$ координат и двумя углами: углом $\theta$, который $O P$ составляет с неподвижной осью $O Z$, и углом $\psi$, образуемым плоскостью $Z O P$ с неподвижной плоскостью, проходяще через ось $O Z$.

Эти координаты связаны с соответствующими цилиндрическими координатами соотношениями:
\[
p=r \sin \theta, z=r \cos \theta .
\]

Скорости $\dot{z}$ и $\dot{p}$ равносильны скорости $\dot{r}$ в направлении радиуса $r$ и скорости $r \dot{\theta}$ в нормальном к $r$ направлении в плоскости угла $\theta$ (положительное направление скорости $r \dot{j}$ идет в сторону возрастания 0 ).
Мы имеем таким образом три составляющих скорости:
\[
\dot{r}, r \dot{\theta}, r \sin \theta \dot{\psi}
\]

соответственно вдоль $O P$, под прямым углом к $O P$ в плоскости $Z O P$ и в нормальном к ней направлении.

Обращаясь к выражениям (2), мы видим, что ускорение $\ddot{p}$ в направлении $\rho$ и ускорение $\ddot{z}$ равноскльны ускорениям
\[
\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2} \text { и } \frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\theta}\right)
\]

соответственно вдоль $O P$ и под прямым углом к $O P$ в плоскости 0 . Таким образом, разлагая ускорение – í $^{2}$ на два: вдоль $O P$ и под прямым углом к $O P$, мы получим формулы:
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha=\ddot{r}-r()^{2}-r \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}, \\
\beta=\frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\theta}\right)-r \sin ^{2} \theta \cos \theta \dot{\dot{\psi}} 2, \\
\gamma=\frac{1}{r \sin 0} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right),
\end{array}\right\}
\]

где $\alpha$-радиальное ускорение, $\beta$-ускорение в плоскости угла $\theta$, перпендикулярное к радиусу, и наконец $\gamma$-ускорение перпендикулярное к этой плоскэсти ‘и к радиусу.