При помощи § 76 мы выводим формулы;
\[
\begin{array}{l}
V^{\prime}-V=\frac{1}{2} \sum_{r}\left(Q_{r}^{\prime}+Q_{r}\right)\left(q_{r}^{\prime}-q_{r}\right), \\
V^{\prime}-V=\frac{1}{2} \sum_{r}\left(Q_{r}^{\prime}-Q_{r}\left(q_{r}^{\prime}+q_{r}\right),\right.
\end{array}
\]

которые в силу теоремы взаимности, конечно, эквивалентны друг другу. Первая из них может быть получена и иначе, путем вычисления работы при изменении сил от $Q_{r}$ до $Q_{r}^{\prime}$, предполагая. что. в определенный момент процесса силы будут иметь величину
\[
Q_{r}+\theta\left(Q_{r}^{\prime}-Q_{r}\right) .
\]

Тогда соответствующие перемещения будут:
\[
q_{r}+\theta\left(q_{r}^{\prime}–q_{r}\right),
\]

следовательно, элементарная работа имеет величину:
\[
\left\{Q_{r}+\theta\left(Q_{r}^{\prime}-Q_{r}\right)\right\}\left(q_{r}^{\prime}-q_{r}\right) \delta \theta .
\]

Интегрируя это выражение от $\theta=0$ до $\theta=1$ и складывая результаты для сил разных типов, мы и получим формулу (1).

Теоремы, аналогичные теоремам Делоне и Кельвина ( $\$ 76$ ), объеди. няются в следующей формулировке.

Потенциальная энергия системы при ее деформации данными силами больше, а работа, требуемая для создания данной деформации, меньше, чем если бы свобода движения была ограничена путем наложения связей. Другими словами, эффект от наложения связей выражается в увеличении „жесткости“ системы. Нам нет необходимости давать этому доказательство, которое можно получить путем простой замены букв в формулах $\S 76$, если написать $Q_{r}$ вместо $p_{r}$ и $q_{r}$ вместо $\dot{q}_{r}$.

Следует заметить, что если в (1) сделать величину $q_{r}^{\prime}-q_{r}$ бесконечно малои, то мы получим формулу (1) § 87 .

Далее, если мы решім систему из $n$ уравнений типа (3) § 87 относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, выразив их через $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, и произведем подстановку в (4) того же параграфа, то мы можем выразить потенциальную энєргию как функцию сил $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$. Обозначая ее (в этом виде) через $V$, мы можем написать:
\[
2 V^{n}=C_{11} Q_{1}^{2}+C_{22} Q_{2}^{2}+\ldots+2 C_{12} Q_{1} Q_{2}+\ldots .
\]

Если в (2) мы сделаем разность $Q_{r}^{\prime}-Q_{r}$ бесконечно малой, то найдем:
\[
q_{r}=\frac{\partial V^{\dagger}}{\partial Q_{r}},
\]

или
\[
q_{r}=C_{1 r} Q_{1}+C_{2 r} Q_{2}+\ldots+C_{n r} Q_{n} .
\]

Эта формула дает перемещения, производимые заданными силами. Коэфициенты $C_{r r}, C_{r s}$ можко назвать \”коэфициентами податливости “ (coefficients of pliability).

Наконец, имеется аналогия и с выводами § 83. Если мы выделим частную группу координат, например $\chi, \chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}, \ldots$, и обозначим через $X, X^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$ соответствующие составляющие с ил, то как часть условий равновесия будем иметь:
\[
X=\frac{\partial V}{\partial \chi}, \quad X^{\prime}=\frac{\partial V}{\partial \chi^{\prime}}, X^{\prime \prime}=\frac{\partial V}{\partial \chi^{\prime \prime}}, \ldots
\]

Эти соотношения дают нам возможность выразить $\chi, \chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}, \ldots$ как линейные функции от остальных координат, которые мы обозначим через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ и сил $X, X^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$ Если эти значения подставить в функцию
\[
W=V-X \chi-X^{\prime} \chi^{\prime}-X^{\prime \prime} \chi^{\prime \prime}-\ldots,
\]

то в точности, как в § 83, найдем, что
\[
Q_{r}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}}
\]

и что
\[
\chi=-\frac{\partial W}{\partial X}, \chi^{\prime}=-\frac{\partial W}{\partial X^{\prime}}, \chi^{\prime \prime}=-\frac{\partial W}{\partial X^{\prime \prime}}+\cdots
\]

Так как на основании (7) и (9)
\[
V=W-\left(X \frac{\partial W}{\partial X}+X^{\prime} \frac{\partial W}{\partial X^{\prime}}+X^{\prime \prime} \frac{\partial W}{\partial X^{\prime \prime}}: \cdots\right),
\]

то потенциальная энергия, будучи выражена аналогичным образом, приводится к сумме двух однородных квадратичных функций, а именно: функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ и функции от $X, X^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$, потому что члены с произведениями величин разного рода прокадут.

Выражение $W$ можно интерпретировать следующим образом. Мы можем рассматривать $V$ как внутреннюю упругую энергию системы, а остальные члены в (7) как энергию, связанную с полем постоянных внешних сил $X$, $X^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$ Тогда формула (7) дает полную энергию.

Предположим сперва, что заданы значения координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ и для осуществления такой конфигурации приложены надлежащие силы соответстьующих типов, причем силы $X, X^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$ равны нулю. Задание этих сил можно рассматривать, как наложениє определенной геометрической связи на систему. Координаты $\chi, \chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}, \ldots$ примут при этом определенные значения. Затем пусть будут приложены силы $X, X^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$, постепенно увеличивающиеся в одной и той же пропорции до тех пор, пока они не достигнут своих конечных значений, причем перемещения $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{m}$ остаются без изменения. Дополнительные изменения координат $\%, \chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}, \ldots$ а следовательно, работа, совершенная этими силами при увеличении упругой энергии системы, будут, очевидно, одними и теми же, какова бы ни была частная конфигурация с наложенными связями, исходя из которой было начато движение. Мы имеем, таким образом, физическое доказательство теоремы, уже доказанной аналитически, что $V$ можно разложить на сумиу функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ и функции от $X, X^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$

Интереснее и яснее случай бесконечного числа степеней свободы, например случай горизонтальной балки, лежащей на двух опорах, или случай консольной балки. Предположим сперва, что в точке $P$ поддерживается заданный прогиб $у$.при помощи силы, приложенной в этой же точке. Выражение получающейся упругой энергии имеет вид $\frac{1}{2}$ ву2. Далее, пусть нагрузка приложена к другой точке $Q$, причем она постепенно увеличивается от нуля до своего конечного значения $w$. Если положение точки $P$ оставить без изменения, то дополнительный прогиб $z$ в точке $Q$, произведенный нагрузкой, здесь будет такой же, как если бы было фиксировано нулевое положение точки $P$, например, при помощи подпорки. Следовательно, работа нагрузки и последующее увеличение упругой энергии балки будет составлять $\frac{1}{2} w z$ или $\frac{1}{2} \frac{w^{2}}{C}$, где $w=C z$.
Таким образом
\[
V=\frac{1}{2} B y^{2}+\frac{1}{2} \frac{w^{2}}{C} .
\]