Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено (§ 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции $OA,OB,OC$, относящиеся к неподвижной точке $O$. Пусть $Ox$, $Oy,Oz$ — система осей, неподвижных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент $t$ времени совпадают соответственно с осями $OA,OB$ и $OC$. Через промежуток времени $\delta t$ положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов $p\delta t,q\delta t,r\delta t$, соответственно, вокруг осей $OX,OY,OZ$. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг $Oy$ не изменит положения $OB$, но поворот вокруг $Oz$ повернет $OB$ в сторону от оси $Ox$ на угол rôt. Поворот же вокруг $Ox$ не изменит угла между $OB$ и $Ox$. Таким образом косинус угла между $OB$ и $Ox$ станет равен теперь-r $t$. Далее поворот около $Oz$ не изменит положения $OC$, а поворот вокруг $Oy$ приблизит $OC$ к $Ox$ на угол $q\delta t$. Косинус угла между $OC$ и $OX$ станет теперь равен $+q\delta t$. Наконец, угол между $OA$ и $OX$ бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями $OA,OB$ и $OC$ с осью $Ox$, будут соответственно равны
$$1,-r\delta t,q\delta \hat{\delta }\text{, }$$

с точностью до малых первого порядка.
Составляющие момента количеств движения тела относительно осей $OA,OB$ и $OC$ в их новом положении будут в момент времени $t+\delta t$ равны:
$$A(p+\delta p),B(q+\delta q),C(r+\delta r),$$

а составляющая момента относительно оси $Ox$ будет равна
$$A(p+\delta p)+B(q+\delta q)(-r\delta t)+C(r+\delta r)q\delta t.$$

Если $L,M,N$ — моменты внешних сил относительно $Ox,Oy$ и $Oz$, то написанное выражение должно равняться $Ap+L\delta t$.

Следовательно, пренебрегая малыми второго порядка и переходя к пределу, мы и получим первое уравнение из следующей системы Эилера
$$\begin{array}{l}A\frac{dp}{dt}-(B-C)qr=L\\ B\frac{dq}{dt}-(C-A)rq=M,\\ C\frac{dr}{dt}-(A-B)pq=A.\end{array}\}$$

Это те уравнения Эйлера, о которых мы говорили ${}^1$ ). Умножая эти уравнения соответственно на $p,q,r$ и складывая, мы получим
$$\frac{d}{dt}\cdot \frac{1}{2}(A{p}^2+B{q}^2+C{r}^2)=Lp+Mq+Nr,$$
т. е. уравнение эннергии.
Пуансо дал следующее истолкование уравнений (1). Рассматриваем
$$A\frac{dp}{dt},B\frac{dq}{dt},C\frac{dr}{dt},$$

как кажущиеся скорости изменения моментов количества движения тела относительно главных осей и переносим члены $(B-C)qr,(C-A)rp,(A-B)pq$ во вторые части уравнений; эти члены имеют вид моментов воображаемой \»центробежной пары“, действующей на тело. В действительности они представляют моменты пары сил, с которыми тело действовало бы на опоры, если бы оно было принуждено вращаться с углозой скоростью ( $p,q,r)$ вокруг неподвижной оси (см. § 37, пример 2).