Раус осгроумно скомбинировал методы Лагранжа и Гамильтона ${}^2$ ).

Вместо того, чтобы выражать кинетическую энергию для данной конфигурации через одни скорости или одни обобщенные количества движения, мы можем выразить еә через скорости, соответствующие определенной группе координат, например $q_1,q_2,\dots ,q_n$, и через обобщенные количества движения, соответствующие остальным $n-m$ кофрдинатам, которые для отличия мы обозначим через $\chi ,{\chi }^{\prime };{\chi }^{\prime \prime },\dots$ Этот метод особенно удобен при рассмотрении ( $\mathrm{\$}84$ ) систем со „скрытым\» движением (с циклическими координатами).

Обобщенные количества движения $x,x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$, соответствующие координатам $\chi ,{\chi }^{\prime },{\chi }^{\prime \prime }$, определяются соотношениями:
$$\frac{\partial T}{\partial \dot{\chi }}=x,\frac{\partial T}{\partial {\dot{\chi }}^{\prime }}=x^{\prime },\frac{\partial T}{\partial {\dot{\chi }}^{\prime \prime }}=x^{\prime \prime },\dots$$

Видоизменяя метод Гамильтона ( $\mathrm{\S }$ 8), Раус вводит функцию
$$R=T-\dot{x}-x^{\prime }{\dot{\chi }}^{\prime }-x^{\prime \prime }{\dot{\chi }}^{\prime \prime }-\dots ,$$

где по предположению энергия $T$ пока выражена через первоначальные координаты $q_1,q_2,\dots ,q_m,\chi ,{\chi }^{\prime },{\chi }^{\prime \prime },\dots$, и через соответствующие $$
1) Вывод, как известно, остается даже и в том случае, если соответствующие силы не консервативны, если только они обладают силовой функцией, хотя бы и содержашей явно время. Прим. ред.
2). Treatise on stability of Motion“, 1877.

скорости. Следовательно, обозначив через $\delta$ полную бесконечно малую вариацию, будем иметь:
$$\delta R=\sum (\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\dot{\partial }\dot{q}+\frac{\partial T}{\partial q}\delta q+\frac{\partial T}{\partial \dot{\chi }}\delta \dot{\chi }+\frac{\partial T}{\partial \chi }\delta \chi -\chi \dot{\delta }\dot{\chi }-\dot{\overline{\chi }}\delta \mathrm{x}),$$

где суммирование распространяется на все степени свободы. Опуская члены, пропадающие на основании (1), будем иметь:
$$\delta R=\sum (\frac{\partial T}{\partial q}\dot{\delta }\dot{q}+\frac{\partial T}{\partial q}\delta q+\frac{\partial T}{\partial \chi }\delta \chi -\dot{\chi }\delta x).$$

Если теперь выписать уравнения (1) полностью, то они могут служить для определения $\dot{\chi },{\dot{\chi }}^{\prime },{\dot{\chi }}^{\prime \prime },\dots$, как линейных функций от обобщенных скоростей ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$ и обобщенных количеств движения $х$, $x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$, а если выполнить эти подстановки в (2), то $R$ получится в виде однородной квадратичной функции от этих двух грипп переменных с коэфициентами, зависящими от конфигурации системы. Благодаря этому вариации $\delta {\dot{q}}_r,\delta q_r,\delta \chi ,\delta \chi$ в (4) независимы. Следовательно, мы получаем $2m$ соотношений типа:
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}=\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_r},\frac{\partial T}{\partial q_r}=\frac{\partial R}{\partial q_r},$$

и $2(n-m)$ соотношений вида:
$$\dot{\chi }=-\frac{\partial R}{\partial \chi },\frac{\partial T}{\partial \chi }=\frac{\partial R}{\partial \chi }.$$

Формулу (2) теперь можно написать в виде:
$$T=R-x\frac{\partial R}{\partial x}-x^{\prime }\frac{\partial R}{\partial x^{\prime }}-x^{\prime \prime }\frac{\partial R}{\partial x^{\prime \prime }}-\cdots .$$

Эта формула дает выражение $T$ через новые переменные. Очевидно, что в $R$ члены билинейные относительно двух групп переменных ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$ и $x,x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$ в правой части формулы пропадут. Следовательно, окончательно получим:
$$T=\mathfrak{T}+\mathrm{K},$$

где $\mathfrak{T}$ представляет однородную квадратичную функцию одних скоростей ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$, а $\mathrm{K}$ — аналогичную функцию обобщенных количеств движения $x,x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$

Формула (8) приводит к непосредственному доказательству теорем Делоне и Кельвина, формулированных в § 76. Предположим сперва, что система начала двигаться из состояния покоя (т. е. без начальных скоростей) под действием данных импульсов определенных типов, в других же отношениях система является совершенно свободной.

Первая из названных теорем утверждает, что при этом движении кинетическая энергия больше, чем если бы импульсы остальных типов принуждали систему двигаться по другим путям. Мы можем представить себе координаты выбранными таким образом, чтобы рассматриваемая связь (принуждение) выражалась в обращении в нуль скоростей ${\dot{q}}_1$, ${\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$, в то время как данные импульсы были $x,x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$ Следовательно, энергия действительного движения больше, чем в принужденном движении, на величину $\mathfrak{I}$.

Далее, предположим, что под действием надлежащих импульсов соответствующих типов система, свободная в остальных отношениях, начала двигаться с заданными скоростями ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$, так что при действительном движении мы имеем: $x=0,x^{\prime }=0,x^{\prime \prime }=0,\dots$ и потому $\mathrm{K}=0$. Следовательно, энергия меньше, чем при любом другом движении с заданными начальными скоростями, на значение, принимаемое величиной $K$, когда $x,x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$ представляют импульсы, обусловленные связями. В этом заключается теорема Кельвина.