Предыдущие методы дают нам выводы, применимые к динамической системе в любой заданный момент ее движения. Мы теперь перейдем к доказательству ряда теорем, говорящих об определенных характеристиках поведения системы, как целого, в пределах между двумя выбранными конфигурациями, принимаемыми ею. Мы сравним денствительное движение ${}^1$ )
1) Автор в этом и следующих параграфах рассматривает движения голономных систем, причем для удобства все связи собственно уже приняты, где нуж-

c другими воображаемыми (хотя и не обязательно естественными) ${}^1$ ) путями перехода, соединяющими те же две конфигурации и отличающимися бесконечно мало от действительного пути.

Как и в § 101 символ $\delta$, стоящий перед координатой или перед скоростью, мы будем употреблять для обозначения разности между значениями этой координаты или этой скорости, в один и тот же момент времени $t$, соответственно для варьированного (измененного) и естественного ${}^2$ ) движения системы. Мы видели, что при этом предположении операции $\delta$ и $\frac{d}{dt}$ коммутативны.

Кроме того, мы будем пользоваться символом $\mathrm{\Delta }$ для обозначения изменения величины, характеризующей какое-либо свойство поведения системы, как це лого.

Наиболее известной, хотя и не наиболее простой теоремой рассматриваемого типа является теорема о „наименьшем действии “, обязанная своим происхождением Мопертюи (Moupertuis) ${}^3$ ), но впервые приведенная в определенную форму Лагранжем и Якоби. „Действие\» одной материальной точки при переходе по данной траектории от одного положения к другому можно определить, как интеграл по пути от количества движения. В соответствии с этим действие динамической системы, т. е. сумма действий отдельных точек ее, выражается формулои:
$$A=\mathrm{\Sigma }\int mvds,$$

где $v$ означает скорость материальной точки $m$, а $ds$-элемент ее траектории. Мы можем также на основании (7) § 102 написать:
$$A=\mathrm{\Sigma }\int m(\dot{x}dx+\dot{y}dy+\dot{z}dz)=\sum _r\int p_{r}d{q}_r.$$

но, в расчет, так что соответствующие обобщенные координаты представляют некоторую совокупность независимых параметров Лагранжа. Такие движения носят всюду здесь названние \»свободных\», в прогивоположность, принужденным“ движениям при наличии каких-либо новых дополнительных (ср. § 103 ) связен, если бы такие были еще наложены. Прим. ред.
1) Здесь и далее в $\mathrm{\S }104,105$ и начале 106 , где речь идет о „стационарности действия “, различаются, „естественные и воображаемые\», тоже тут привлекаемые для сравнения движения, понимая под первыми (в согласии с некоторыми другими авторами) всегда такие, законы которых и здесь выражаются лагранжевыми диференциа 1ьным уравненнями в их форме для независимых параметров, так что все естестьенные движения здесь тоже „свободные “. Прим. ред.
2) Если для заданной начальной конфигурации системы можно подыскать тольюо одну совокупность начальных скоростєй, при которой в конце движеу ия получается опять некоторая заданная конфигурация и соответственно сохраняется или заданная величина энергии, или заднное время перехода, то всюду далше термины „естественное“ и „действительное“ движение вполне покрывают друг дпуга, чего нет при многозначности решения задачи о требуемых начальных скоростях. Прим. ред.
3) P. L. M. de Maupertuis (16y8-1759) — первый француз, последователь Ньютона.

Так как $ds=vdt$, то мы имеем равносильное определение действия как интеграла по времени от удвоенной кинетической энергии. Таким образом
$$A=\mathrm{\Sigma }{\int }_0^{\tau }m{v}^{2}dt=2{\int }_0^{\tau }Tdt$$

где $\tau$-продолжительность перехода из одного положения в другое.
Доказываемая теорема утверждает, что свободное (естественное) движение консервативной системы между двумя любыми выделенными конфигурациями характеризуется свойством
$$\mathrm{\Delta }A=0,$$

при условии, что полная энергия имеет одинаковое постоянное зна. чение в варьированном и в действительном движении. Например, в случае одной материальной точки, движущейся в данном силовом поле, мы можем представить себе, что точка начала двигаться с такой же скоростью, как и в естественном движении, в гладкой трубке, начинающейся и кончающейся в тех же самых двух конечных положениях, но отклоняющейся незначительно от свободной траектории.

Так как, вообще говоря, время перехода в варьированном движении изменяется, то мы имеем:
$$\mathrm{\Delta }A=2{\int }_0^{\tau +\mathrm{\Delta }t}(T+\delta T)dt-2{\int }_0^{\circ }Tdt=2T^{\prime }\mathrm{\Delta }\tau +2{\int }_0\delta Tdt,$$

где $T^{\prime }$ в первом члене означает конечное значение кинетической энергии. Здесь мы пренебрегли членами второго порядка малости. После интегрирования по частям на основании (3) § 101 получим:
$$\begin{array}{l}{\int }_0^{\tau }\delta Tdt=\sum m{\int }_0^5(\dot{x}\delta \dot{x}+\dot{y}\dot{y}+\dot{z}\delta \dot{z})dt=\\ =[\mathrm{\Sigma }m(\dot{x}\delta x+\dot{y}\partial y+\dot{z}\delta z){]}_0^{\tau }-\\ -\mathrm{\Sigma }m{\int }_0^{\tau }(\ddot{x}\delta x+\ddot{y}\delta y+\ddot{z}\delta z)dt=\\ =[\mathrm{\Sigma }m(\dot{x}\delta x+\dot{y}\delta y+\dot{z}\delta z){]}_0^{\tau }+{\int }_0^{\tau }\delta Vdt.\end{array}$$

Следовательно, формулу (5) можно написать в виде:
$$\mathrm{\Delta }A=2T^{\prime }\mathrm{\Delta }\tau +{\int }_0^{\tau }\delta (T+V)dt+[\mathrm{\Sigma }m(\dot{x}\delta \dot{x}+\dot{y}\delta y+\dot{z}\delta z){]}_0^{\tau }.$$

По предположению мы имеем $i(T+V)=0$. Далее мы приняли, что варьированное и деиствительное движения начались ири одной и той же конфигурации, так что $\delta x,\delta y,\delta z$ при $t=0$ обращаются в нуль. В момент времени $t=\tau$ система при варьированном движении еще не достигнет конечной конфигурации: она достигнет ее лишь по истечении дополнительного (положительного или отрицательного) промежутка времени. В конце этого промежутка времени мы должны положить:
$$\delta x=-\dot{x}\mathrm{\Delta }\tau ,\delta y=-\dot{y}\mathrm{\Delta }\tau ,\delta z=-\dot{z}\mathrm{\Delta }\tau .$$

Тогда в (7) последний и первый члены взаимно уничтожаются, следовательно, $\mathrm{\Delta }A=0$, что и требовалось доказать.

Следует заметить, что равенство (4) выражает лишь то, что ва. риация количества $A$ обращается в нуль с точностью до величин первого порядка малости. Поэтому был предложен термин „стационарное (экстремальное) действие\», как указывающий более точно, что этот термин устанавливает. Действие в пределах между двумя конфигурациями на свободной траектории на самом деле не всегда является минимумом, и даже если является таковым, то не обязательно должно быть наименьшим из возможных, если предположить подчинение заданному условию.

Хорошую иллюстрацию дает случай одной материальной точки. Например, материальная точка, движущаяся вдоль гладкой поверхности и подверженная действию только реакции поверхности, будет иметь постоянную скорость. Следовательно, теорема сводится к утверждению, что
$$\mathrm{\Delta }\int ds=0,$$
т. е. траектория является \»геодезической“ или „наикратчайшей “ линией. Но геодезическая линия не обязательно будет наикратчайшим путем между двумя данными ее точками. Например, на сфере дуга большого круга перестает быть кратчайшим путем между своими концами, если она превышает ${180}^{\circ }$.

Пусть мы имеем более общий случан, когда поверхность имеет любую форму, и пусть точка $P$ движется вдоль геодезической линии, начав свое движение из точки $O$. Эта геодезическая линия будет кратчайшим путем от $O$ до $P$ до тех пор, пока $P$ не перейдет за некоторую точку $O^{\prime }$ (если такая существует), представляющую точку пересечения с соседней геодезической линией, проходящей также через $O$. За этой точкой минимальное свонство нарушается. На антикластической поверхности (на которой главные кривизны имеют противоположные знаки) две геодезических линии не могут пересекаться более одного раза, и, следовательно, каждая геодезическая линия является кратчайшим путем между двумя любыми своими точками.

Общий критерий, применимый ко всем динамическим системам, заключается в следующем. Пусть $O$ и $P$ озғачают две конфигурации на естественной траекторин ${}^1$ ) системы. Если это — единственная свободная траєктория, ндущая от $O$ до $P$, с заданной полной энергией, то действие от $O$ до $P$ будет мини-
1) Под „траекторией“ здесь подразумевается непрерывная последовательность конфигураций, которые система принимает.

мумом. Пусть теперь существует несколько разных траекторий, соединяющих $O$ с $O^{\prime }$. Будем изменять конфигурацию $P$, перемещая ее соответственно вдоль одной и той же такой траектории, начиная от совпадения с конфигурациен $O$, действие перестанет быть минимумом, когда система примет такую конфигурацию, что две из возможных траекторий, соединяющих $O$ с $O^{\prime }$, совпадут. Например, если $O$ и $P$ означают положение снаряда, движущегося под действием силы тяжести по параболической траекгории, то существует вторая траектория (с одинаковой энергией и, следовательно, с одинаковой начальной скоростью в точке $O$ ); эти две траектории совпадают, когда $P$ находится на другом конце $\left(O^{\prime }\right)$ фокальной хорды, проходящей через $O$. Следовательно, действие в пределах от $O$ до $O^{\prime }$ будет наименьшим для всех положений $P$, более близких, чем $O^{\prime }$ 1). Конфигурации, стоящие в таком же соответствии, как $O$ с $O^{\prime }$ в предыдущем изложении, называются сопряженымми пкинетическими фокусами“.

В случае движения материальной точки в консервативном силовом поле с заданной энергией принцип наименьшего действия записывается в виде:
$$\mathrm{\Delta }\int vds=0.$$

Например, по корпускулярной теории света скорость корпускул в какой-либо среде зависит только от их положения и пропорциональна соответствующему значению показателя преломления $\mu$. Следовательно,
$$\mathrm{\Delta }\int \mu ds=0.$$
расстоянием\» между двумя точками луча.