Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Предыдущие методы дают нам выводы, применимые к динамической системе в любой заданный момент ее движения. Мы теперь перейдем к доказательству ряда теорем, говорящих об определенных характеристиках поведения системы, как целого, в пределах между двумя выбранными конфигурациями, принимаемыми ею. Мы сравним денствительное движение ${ }^{1}$ ) c другими воображаемыми (хотя и не обязательно естественными) ${ }^{1}$ ) путями перехода, соединяющими те же две конфигурации и отличающимися бесконечно мало от действительного пути. Как и в § 101 символ $\delta$, стоящий перед координатой или перед скоростью, мы будем употреблять для обозначения разности между значениями этой координаты или этой скорости, в один и тот же момент времени $t$, соответственно для варьированного (измененного) и естественного ${ }^{2}$ ) движения системы. Мы видели, что при этом предположении операции $\delta$ и $\frac{d}{d t}$ коммутативны. Кроме того, мы будем пользоваться символом $\Delta$ для обозначения изменения величины, характеризующей какое-либо свойство поведения системы, как це лого. Наиболее известной, хотя и не наиболее простой теоремой рассматриваемого типа является теорема о „наименьшем действии “, обязанная своим происхождением Мопертюи (Moupertuis) ${ }^{3}$ ), но впервые приведенная в определенную форму Лагранжем и Якоби. „Действие\” одной материальной точки при переходе по данной траектории от одного положения к другому можно определить, как интеграл по пути от количества движения. В соответствии с этим действие динамической системы, т. е. сумма действий отдельных точек ее, выражается формулои: где $v$ означает скорость материальной точки $m$, а $d s$-элемент ее траектории. Мы можем также на основании (7) § 102 написать: но, в расчет, так что соответствующие обобщенные координаты представляют некоторую совокупность независимых параметров Лагранжа. Такие движения носят всюду здесь названние \”свободных\”, в прогивоположность, принужденным“ движениям при наличии каких-либо новых дополнительных (ср. § 103 ) связен, если бы такие были еще наложены. Прим. ред. Так как $d s=v d t$, то мы имеем равносильное определение действия как интеграла по времени от удвоенной кинетической энергии. Таким образом где $\tau$-продолжительность перехода из одного положения в другое. при условии, что полная энергия имеет одинаковое постоянное зна. чение в варьированном и в действительном движении. Например, в случае одной материальной точки, движущейся в данном силовом поле, мы можем представить себе, что точка начала двигаться с такой же скоростью, как и в естественном движении, в гладкой трубке, начинающейся и кончающейся в тех же самых двух конечных положениях, но отклоняющейся незначительно от свободной траектории. Так как, вообще говоря, время перехода в варьированном движении изменяется, то мы имеем: где $T^{\prime}$ в первом члене означает конечное значение кинетической энергии. Здесь мы пренебрегли членами второго порядка малости. После интегрирования по частям на основании (3) § 101 получим: Следовательно, формулу (5) можно написать в виде: По предположению мы имеем $i(T+V)=0$. Далее мы приняли, что варьированное и деиствительное движения начались ири одной и той же конфигурации, так что $\delta x, \delta y, \delta z$ при $t=0$ обращаются в нуль. В момент времени $t=\tau$ система при варьированном движении еще не достигнет конечной конфигурации: она достигнет ее лишь по истечении дополнительного (положительного или отрицательного) промежутка времени. В конце этого промежутка времени мы должны положить: Тогда в (7) последний и первый члены взаимно уничтожаются, следовательно, $\Delta A=0$, что и требовалось доказать. Следует заметить, что равенство (4) выражает лишь то, что ва. риация количества $A$ обращается в нуль с точностью до величин первого порядка малости. Поэтому был предложен термин „стационарное (экстремальное) действие\”, как указывающий более точно, что этот термин устанавливает. Действие в пределах между двумя конфигурациями на свободной траектории на самом деле не всегда является минимумом, и даже если является таковым, то не обязательно должно быть наименьшим из возможных, если предположить подчинение заданному условию. Хорошую иллюстрацию дает случай одной материальной точки. Например, материальная точка, движущаяся вдоль гладкой поверхности и подверженная действию только реакции поверхности, будет иметь постоянную скорость. Следовательно, теорема сводится к утверждению, что Пусть мы имеем более общий случан, когда поверхность имеет любую форму, и пусть точка $P$ движется вдоль геодезической линии, начав свое движение из точки $O$. Эта геодезическая линия будет кратчайшим путем от $O$ до $P$ до тех пор, пока $P$ не перейдет за некоторую точку $O^{\prime}$ (если такая существует), представляющую точку пересечения с соседней геодезической линией, проходящей также через $O$. За этой точкой минимальное свонство нарушается. На антикластической поверхности (на которой главные кривизны имеют противоположные знаки) две геодезических линии не могут пересекаться более одного раза, и, следовательно, каждая геодезическая линия является кратчайшим путем между двумя любыми своими точками. Общий критерий, применимый ко всем динамическим системам, заключается в следующем. Пусть $O$ и $P$ озғачают две конфигурации на естественной траекторин ${ }^{1}$ ) системы. Если это – единственная свободная траєктория, ндущая от $O$ до $P$, с заданной полной энергией, то действие от $O$ до $P$ будет мини- мумом. Пусть теперь существует несколько разных траекторий, соединяющих $O$ с $O^{\prime}$. Будем изменять конфигурацию $P$, перемещая ее соответственно вдоль одной и той же такой траектории, начиная от совпадения с конфигурациен $O$, действие перестанет быть минимумом, когда система примет такую конфигурацию, что две из возможных траекторий, соединяющих $O$ с $O^{\prime}$, совпадут. Например, если $O$ и $P$ означают положение снаряда, движущегося под действием силы тяжести по параболической траекгории, то существует вторая траектория (с одинаковой энергией и, следовательно, с одинаковой начальной скоростью в точке $O$ ); эти две траектории совпадают, когда $P$ находится на другом конце $\left(O^{\prime}\right)$ фокальной хорды, проходящей через $O$. Следовательно, действие в пределах от $O$ до $O^{\prime}$ будет наименьшим для всех положений $P$, более близких, чем $O^{\prime}$ 1). Конфигурации, стоящие в таком же соответствии, как $O$ с $O^{\prime}$ в предыдущем изложении, называются сопряженымми пкинетическими фокусами“. В случае движения материальной точки в консервативном силовом поле с заданной энергией принцип наименьшего действия записывается в виде: Например, по корпускулярной теории света скорость корпускул в какой-либо среде зависит только от их положения и пропорциональна соответствующему значению показателя преломления $\mu$. Следовательно,
|
1 |
Оглавление
|