При выводе уравнений Лагранжа было предположено, что форма геометрических соотношений, определяющих абсолютнсе положение данной точки системы через обобщенные координаты, не изменяется. Но Вией [Vielle (1849)] показал, что при непрерывном изменении рассматриваемых соотношении в зависимости от времени, выражаемом уравнениями типа:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=f\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right), \\
y=g\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right), \\
z=h\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right),
\end{array}\right\}
\]
уравнения Лагранжа сохраняют свою форму. Конечно, функции (1) различны для разных точек.
1) Если $\alpha, \beta, \gamma$ обозначают корни кубического уравнения
\[
x^{3}+p_{1} x^{2}+p_{2} x+p_{3}=0,
\]
то мы имеем:
\[
(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(x+\beta)=p_{3}-p_{1} p_{2} .
\]
Следовательно, если все корни отрицательны, мы имеем $p_{1} p_{2}>p_{3}$.
Если же корни будут вида $-\lambda, \mu \pm i v$, то мы имеем:
\[
2 \mu\left\{(\mu-\lambda)^{2}+
u^{2}\right\}=p_{3}-p_{1} p_{2},
\]
н условие, необходимое для того, чтобы $\mu$ было отрицательным, будет $p_{1} p_{2}>p_{8}$. Наоборот, если $p_{1} p_{2}<p_{3}$, мы не можєм иметь комплексных корней с действительной положительной частью, в то время как возможность существования положительных корней исключена, если все коэфициенты кубического уравнения положительны.
Вместо (1) $\S 73$ мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial x}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial x}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial x}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}, \\
\dot{y}=\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial y}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial y}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial y}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}, \\
\dot{z}=\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial z}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial z}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n} .
\end{array}\right\}
\]
Следовательно,
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 T & =\sum m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)= \\
& =2 T_{0}+2\left(\alpha_{1} \dot{q}_{1}+\alpha_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \dot{q}_{n}\right)+ \\
& +a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\ldots+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\ldots,
\end{array}\right\}
\]
где
\[
\begin{aligned}
2 T_{0} & =\sum m\left\{\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)^{2}\right\}, \\
\alpha_{r} & =\sum m\left(\frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\frac{\partial z}{\partial t} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right),
\end{aligned}
\]
а коэфициенты $a_{r r}, a_{r s}$ имеют такую же алгебраическую форму, как и в (3) $\S 73$, но теперь они зависят как от координат, так и от времени. Положим, также, что
\[
p_{r}=\sum m\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\dot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\dot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)=\alpha_{r}+a_{1 r} \dot{q}_{1}+a_{2 r} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{n r} \dot{q}_{n},
\]
откуда
\[
p_{r}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} .
\]
Далее имеем:
\[
{ }_{d t}^{d}\left(\frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right)=\frac{\partial^{2} x}{\partial t \partial q_{r}}+\frac{\partial^{2} x}{\partial q_{1} \partial q_{r}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial^{2} x}{\partial q_{2} \partial q_{r}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial^{2} x}{\partial q_{n} \partial q_{r}} \dot{q}_{n},
\]
или на основании (2)
\[
\frac{\omega}{d t}\left(\frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right)=\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_{r}} .
\]
Поступая так же, как и с уравнением (3) § 77, без каких бы то ни было изменений, мы, как и прежде, покажем, что
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=P_{r}
\]
—————————————————————-
0099_teor_meh_book13_no_photo_page-0198.jpg.txt
$\S 79]$
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СВЯЗИ
197
Следует замечить, однако, что формулы (11) и (13) § 77 уже не имеют больше места. В частности энергия консервативной системы уже не постоянна.
Хейворд (Hayward) указал, что рассматриваемый случай можно подвести под случай, рассмотренный Лагранжем, если ввести новую координату $\varphi$ вместо $t$ там, где $t$ входит явно в (1) и в формулах, выведенных из нее. Полагая
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha_{0}=\Sigma m\left\{\left(\frac{\partial x}{\partial \varphi}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial \varphi}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial \varphi}\right)^{2}\right\}, \\
\alpha_{r}=\Sigma m\left(\frac{\partial x}{\partial \varphi} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\frac{\partial y}{\partial \varphi} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right),
\end{array}\right\}
\]
мы имеем:
\[
\begin{aligned}
2 T=\alpha_{0} \dot{\varphi}^{2} & +2\left(\alpha_{1} \dot{q}_{1}+\alpha_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \dot{q}_{n}\right) \dot{\varphi}+ \\
& +a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{3}^{2}+\ldots+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\ldots .
\end{aligned}
\]
Тогда уравнения Лагранжа (§ 77) приведутся к форме (10) с добавочным уравнением
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \dot{\rho}}=\Phi
\]
где $\Phi$ – обобщенная сила, соответствующая координате 甲. Мы можем предположить, что Ф выбрано так, чтобы было $\dot{\varphi}=1$, и, если написать $t$ вместо $\varphi$ до диференцирования, а не после него, то в предыдущих уравнениях ничего не изменится.
Теперь причина недействительности обычной формулы для энергии ясна. В формуле (11) § 77 мы должны добавить член Фі्.. Этот член представляет работу в единицу времени сил связи, требуемых и для сохранения постоянства величины $\dot{\varphi}$.
Пример 1. Материальная точка движется внутри гладкой трубы круглого сечения, которая может вращаться свободно около вертикального диаметра.
Если обозначим через $\theta$ угловое расстояние точки от наинизшего положения, а через $\psi$-азимут трубы, то будем иметь:
\[
2 T=m a^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\psi^{2}}\right)+l \dot{\psi}^{2},
\]
где $a$ означает радиус, а $I$ – момент инериии трубы относительно вертикального диаметра. Следовательно, уравнения движения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
m a^{2}\left(\ddot{\theta}-\sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}\right) & =\theta \\
\frac{d}{d t}\left(I+m a^{2} \sin ^{2} \theta\right) \dot{\psi}^{2} & =\Psi .
\end{array}\right\}
\]
Теперь предположим, что труба вращается с постоянной угловой скоростью ш. Последнее уравнение примет вид:
\[
\Psi=2 m a^{\rho} \omega \sin \theta \cos \theta \dot{\theta} .
\]
—————————————————————-
0099_teor_meh_book13_no_photo_page-0199.jpg.txt
198
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ
[гл. $\mathrm{x}$
Эта формула дает пару с переменным моментом, который должен быть приложен к трубе для поддержания постоянной угловой скорости.
Первое уравнение
\[
m a^{2}\left(\ddot{\theta}-\omega^{2} \sin \theta \cos \theta\right)=\theta
\]
имеет такой же вид, как если бы труба была в покое, а на точку действовала центробежная сила $m \omega^{2} a \sin \theta$, проходящая через ось вращения. Это можно получить сразу, если для составления выражения кинетической энергии материальной точки применить теорему Виейя:
\[
2 T_{1}=m a^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\omega^{2} \sin ^{2} \theta\right) .
\]
Так как потенциальная энергия выражается формулой
\[
V=-m g a \cos \theta,
\]
то мы можем убедиться, что равенство
\[
\frac{d}{d t}\left(T_{1}+V\right)=\Psi \omega
\]
выполняется в соответствии с замечанием, сделанным выше.
ПРимеР 2. Составить общие уравнения движения материальной точки, отнесенные к осям, вращающимся около неподвижной линии.
Если относительные координаты обозначим через $x, y, z$, причем осью вращения пусть будет ось $z$, то будем иметь:
\[
2 T=m\left\{(\dot{x}-\omega y)^{2}+(\dot{y}+\omega x)^{2}+\dot{z}^{2}\right\},
\]
где $\omega$ – угловая скорость. Следовательно,
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d}{d t} m(\dot{x}-\omega y)-\omega(\dot{y}+\omega x) & =X, \\
\frac{d}{d t} m(\dot{y}+\omega x)+\omega(\dot{x}-\omega y) & =Y, \\
\frac{d}{d t} m \dot{z} & =Z .
\end{array}\right\}
\]
Эти уравнения приводятся к хорошо известным формам. В частности, если угловая скорость ш постоянна, то первые два уравнения принимают вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
m\left(\ddot{x}-2 \omega \dot{y}-\omega^{2} x\right)=X, \\
m\left(\ddot{y}+2 \omega \dot{x}-\omega^{2} y\right)=Y .
\end{array}\right\}
\]
Пример 3. Исследовать движение математического маятника, длива которого изменяется по произвольному закону.
Если через $r$ обозначим переменную длину нити, а через $\theta$ – угол наклона к вертикали, то будем иметь:
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 T & =m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}\right), \\
V & =-m g r \cos \theta .
\end{array}\right\}
\]
Уравнение Лагранжа дает
\[
\frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\theta}\right)+g r \sin \theta=0,
\]
как это, очевидно, получается, если приравнять нулю сумму моментов всех сил Относительно точки подвеса.
—————————————————————-
0099_teor_meh_book13_no_photo_page-0200.jpg.txt
$\S 79]$
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СВЯЗИ
199
Если длина изменяется с постоянной скоростью и колебания имеют небольшую амплитуду, то исследование иожно продолжить дальше 1). Положив $\dot{r}=c$ и приняв $r$ за независимую переменную, мы получим:
\[
\frac{d^{2}}{a r^{2}}(r \theta)+k \theta=0,
\]
где $k=\frac{g}{c^{2}}$. Это уравнение приводится к нормальной форме, если положить
\[
x^{2}=4 k r, y=x \theta
\]
Мы получим тогда уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}+\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) y=0,
\]
решение которого при обычных обозначениях бесселевых функций имеет вид
\[
y=A J_{1}(x)+B Y_{1}(x) .
\]
Когда величина $i$ значительна, т. е. когда длина $r$ велика в сравнении с $\frac{c^{2}}{g}$, то известные асимптотические выражения этих функций приводят к результату
\[
\theta=\frac{1}{r^{\frac{3}{4}}}\left\{A^{\prime} \cos \frac{2 \sqrt{g r}}{c}+B^{\prime} \sin \frac{2 \sqrt{g r}}{c}\right\} .
\]
Эта формула показывает, что прохождение нити через вертикаль в одном и том же направлении происходит, ногда $\sqrt{g r}$ увеличивается на $\pi с$. Если интервал времени между двумя. такими последовательными прохождениями обозначим через $\tau$, а значения $r$ в начале и в конце этого интервала через $r_{1}, r_{2}$, то получим:
\[
\sqrt{g}\left(\sqrt{r_{2}}-\sqrt{r_{1}}\right)=\pi c=\pi\left(r_{2}-r_{1}\right) \frac{1}{\tau},
\]
и, следовательно,
\[
\tau=\frac{\pi\left(\sqrt{r_{2}}+\sqrt{r_{1}}\right)}{\sqrt{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
\]
где
\[
\sqrt{l}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{r_{2}}+\sqrt{r_{1}}\right) \text {. }
\]
Амплитуда угла изменяется пропорционально $\frac{1}{r^{\frac{8}{4}}}$. Амплитуда же лине йных колебаний изменяется пропорционально $r^{\frac{1}{4}}$.
Пример 4. Твердое тело свободно качается около горизонтальной оси $C O C^{\prime}$, причем тело симметрично относительно плоскости, пересекающей эту ось в точке $O$ под прямым углом. Ось эта вращается около вертикали, проходящей через точку $O$, с постоянной угловой скоростью ш. Предполагается, что линия, соединяющая $O$ с центром масс $G$, является главной осью для точки $O$. $y_{\text {гловые скорости }}$ сколо главных осей, проходящих через $O$, найдутся, если положить $\theta=\frac{1}{2} \pi, \psi=\omega t$ в (3) и (4) $\S 33$. Это дает:
\[
2 T=A \omega^{2} \sin ^{2} \varphi+B \omega^{2} \cos ^{2} \varphi+C \dot{\varphi}^{2},
\]
1) Le c ornu, Dynamique appliquée, Paris 1925.
—————————————————————-
0099_teor_meh_book13_no_photo_page-0201.jpg.txt
200
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ
[гл. $\mathrm{x}$
где $C$ означает момент инерции относительно $C O C^{\prime}, B$ – то же относительно $O G$, $A$-момент инерции относительно нормали, проведенной в точке $O$ к плоскости $G C C^{\prime}$, а $\varphi$ – угол, составляемый линией $O G$ с вертикальным направлением вниз. Если обозначим $O G$ через $h$, то будем иметь:
\[
V=-M g h \cos \varphi \text {. }
\]
Тогда уравнение Лагранжа примет вид;
\[
\ddot{C} \varphi-(A-B) \omega^{2} \sin \varphi \cos \varphi=-M g h \sin \varphi .
\]
Установившиеся движения возможны при $\varphi=0, \varphi=\pi$ и
\[
\cos \varphi=\frac{M g h}{(A-B) \omega^{2}},
\]
но последний случай может иметь месго лишь при выполнении условпя
\[
|A-B| \alpha^{2}>|M g h| \text {. }
\]
Для читателя будет интересным упражнением исследование устойчивости разных случаев установившегося движения.
ПРимеР 5. Маятник, симметричный относительно своей осн, подвешен к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью ш, при помощи универсального гибкого шарнира.
При обозначениях § 33 , пример 3 , имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 T & =A\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \dot{\dot{\theta}^{2}}\right)+C\{\omega-(1-\cos \theta) \dot{\psi}\}^{2}, \\
V & =-M g h \cos \theta,
\end{array}\right\}
\]
где $h$ означает расстояние центра масс от точки подвеса при вертикальном положєнии маятника.
Теперь можно написать уравнения Лагранжа, но мы рассмотрим только случай малых колебаний относительно вертикали. Положим:
\[
x=\sin \theta \cos \psi, y=\sin \theta \sin \psi,
\]
гак что $x$; $y$ представляют горизонтальные координаты точки оси, тогда
\[
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=\cos ^{2} \theta \dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\dot{\psi}^{2}} ; \quad x \dot{y}-y \dot{x}=\sin ^{2} \theta \dot{\psi} .
\]
Так как по предположению величина $\theta$ мала, то с достаточным приближениєм имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
2 T=A\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)-C_{w}(x \dot{y}-y \dot{x})+\text { const, }, \\
2 V=M g h\left(x^{2}+y^{2}\right)+\text { const. }
\end{array}\right\}
\]
Следовательно, уравнения малых относительных колебаний будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
A \ddot{x}+C \omega \dot{y}+M g h x=0, \\
A \ddot{y}-C \omega \dot{x}+M g h y=0 .
\end{array}\right\}
\]
Как и следовало ожидать, они тождественны с (1) $\S 58$, если ввести другое условие относительно знака $h$.
