1. Вывести уравнения (1) и (2) § 37 из вариационного уравнения Лагранжа.
2. Вывести уравнения незначительного возмущения вращающейся цепи (§99) из вариационного уравнения Јагранжа.
3. Вывести закон преломления света, именно (при обычных обозначениях)
\[
\sin \theta=\mu \sin \varphi,
\]

исходя из принципа наименьшего действия и из корпускулярной теории света. (Мопертюи).
4. Доказать, что на траектории гяжелого снаряда действие изменяется пропорционально площади, описываемой радиусом-вектором с началом в фокусе.
5. Доказать, что на параболической орбите с центром сил в фокусе действие изменяется пропорционально расстоянию, проходимому в направлении, перпендикулярном к оси.
6. Доказать, что на эллиптической орбите с центром сил в фокусе, действие изменяется пропорционально площади, описываемой около другого фокуса.

Найти между какими пределами действие при заданном начальном положении будет иметь минимум.
7. Ряд материальных точек, не оказывающих никакого действия друг на друга, брошены в консервативном силовом поле нормально к заданной поверхности с одной и\”той же полной энергией. Доказать, что их траектории будут ортогональны к семейству поверхностей равного дейттвия и что скорости, с которыми точки пересекают эти поверхносе, обратно пропорциональны расстояниям между последовательными поверхностями.
8. Материальная точка с массой, равной единице, движется в плоскости, под действием центральной силы, соошающей ускорение $n^{2} \times$ (расст.). Доказать, что главная функция Гамильтона имеет вид:
\[
S=\frac{n}{2 \sin n \tau}\left\{\left(x^{2}+y^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) \cos n \tau-2\left(x x_{1}+y y_{1}\right)\right\},
\]
1) Определение брахистохроны, описываемой под действием силы тяжести, связывается с именами Якова Бернулли, Лейбница и Ньютона (1697).

Проверить формулы
\[
\frac{\partial S}{\partial x}=\dot{r}, \quad \frac{\partial S}{\partial y}=\dot{y}, \quad \frac{\partial S}{\partial \tau}=-H .
\]
9. Доказать, что при подобных же обозначениях для движения точки под денствием силы тяжести имеем:
\[
S=\frac{1}{2} \frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{\tau}-\frac{1}{2} g\left(y+y_{1}\right) \tau-\frac{1}{24} g^{2 \tau^{3}}
\]
(ось $y$ направлена вертикально вверх).
Проверить выполнение соотношенић, указанных в конце предыдущего примера.
10. Доказать, что в случае притяжения точки к неподвижному центру с ускорением $\frac{\mu}{r^{2}}$, имеем:
\[
S=-\alpha t+\beta \theta+\int\left(\frac{2 \mu}{r}+2 \alpha-\frac{\beta^{2}}{r^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} d r .
\]

Какой смысл имеют произвольные постоянные?
11. Доказать, что если количество
\[
Q=\int_{t}^{t^{\prime}}\left(T+V+\sum_{r} \dot{p}_{r} q_{r}\right) d t
\]

рассматривать, как функцию начальнсго и конечного имульсов и времени перехода $\tau\left(=t^{\prime}-t\right)$, то
\[
q_{r}{ }^{\prime}=\frac{\partial Q}{\partial p_{r}{ }^{\prime}}, \quad q_{r}=-\frac{\partial Q}{\partial p_{r}}, \quad H=\frac{\partial Q}{\partial \tau},
\]

где $H$ означает энергию.
12. Доказать, что если $O, O^{\prime}$ – две точки оси симметричной оптической системы, то угол отклонения в точке $O^{\prime}$ пучка лучей, исходящих из $O$, так относится к его углу отклонения в точке $O^{\prime}$, как ширина в точке $O$ пучка параллельных лучей, исходящего из $O$ к его ширине в точке $O^{\prime}$, если только показатели преломления в точках $O$ и $O^{\prime}$ одинаковы,