1. Доказать, что пяощадь сечения эллипсоида инерции неизменяемой плоскостью, проходящей через его центр, остается постоянной.
2. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из точки полодии на одну из главных диаметральных плоскостей, остается постоянной.
3. Доказать, что если конус полодии распадается на две плоскости, то эти плоскости будут касаться двух круглых цилиндров, огибающих эллипсоид инерции.
4. Доказать, что сумма квадратов расстояний концов главных осей эллипсоида инерции до неизменяемой прямой постоянно.
(Пуансо).
5. Доказать, что гирационный эллипсоид всегда проходит через неподвижную точку на неизменяемой прямой.
Мгновенной осью вращения является перпендикуляр, опущенный из центра на касательную плоскость в этой точке. Угловая скорость обратно пропорциональна длине этого перпендикуляра.
(Мак-Куллах).
6. Показать, что если OH есть ось момента количеств движения тела, $O J$ – мгновенная ось вращения, а прямая $O P$ неизменно связана с телом и вращается вместе с ним, то скорость изменения (производная по времени) момента количеств движения тела относительно $O P$ будет равна:
$-H \omega \sin H P \cdot \sin H J \cdot \sin J H P$.
[Хейворд (Наyward)].
—————————————————————-
0099_teor_meh_book13_no_photo_page-0128.jpg.txt
ПРИМЕРЫ $\mathrm{x}$
127
7. Однородному тонкому диску сообщается вращение вокруг оси, проходящей через центр и составляющей с нормалью к диску угол $\beta$. Доказать, что $\alpha$ половина угла конуса, описываемого осью диска, определяется равенством
\[
\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{2} \operatorname{tg} \beta .
\]
Доказать далее, что этот конус при угловой скорости ш диска описывается в период времени, равный
\[
\frac{2 \pi}{\omega \sqrt{1+3 \cos ^{2} \beta}} \text {. }
\]
8. Доказать, что в том случае, когда тело симметрично относительно оси наибольшего момента инерции, половина угла конуса герполодии не может превосходить $19^{\circ} 28^{\prime}$.
9. Доказать, что твердое тело с кинетической симметрией можно привести в установившееся прецессионное движение, при котором углы $\alpha$ и $\beta$ § 26 имеют заданные заранее значения, если приложить постоянно действрющую пару сил с моментом
\[
\left(C \sin \alpha \cos ^{\prime} \beta-A \sin \beta \cos \alpha\right) \omega^{2} \frac{\sin \beta}{\sin \alpha},
\]
нормальным к плоскости, проходящей через ось обоих конусов.
10. Доказать, что если тело имеет кинетическук симметрию относительно оси наибольшего момента инерции и если на него действует пара сил, тормозящая вращение, с моментом пропорциональным угловой скорости ш и направленным по мгновенной оси вращения, то эта последняя будет асимптотически приближаться к оси симметрии.
11. Получить уравнение конуса качения и скольжения ( $\S 48$ ) как огибающей поверхности неизменяемой плоскости ${ }^{1}$ ).
12. Кблесо связано со стержнем, находящимся во вращении. Центры тяжести колеса и стержня совпадают, но колесо имеет наклоны $\alpha$ к стержню. Доказать, что при угловой скорости ш на подшипники действует центробежная пара с моментом оси при обычных обсзначениях равным
\[
(C-A) \omega^{2} \sin \alpha \cos \alpha \text {. }
\]
Произвести вычисления для железного диска (уд. вес 8) диаметром в 1 , толщиной 1 см, принимая $\alpha=1^{\circ}$ и угловую скорость в 100 об/сек.
13. Применить уравнения Эйлера для исследования устойчивости движения вокруг главной оси инерции при неравных главных моментах инерции и найти период колебаний в случае устойчивости.
14. Доказать, что если тело может вращаться около неподвижной точки и находится под действием сил, моменг которых относительно мгновенной оси вращения равен нулю, то угловая скорость пропорциональна длине того радиуса вектора эллипсоида инерции, направление которого совпадает с направлением мгновенной оси вращения.
15. Однородная прямоугольная пластинка приводится во вращение с угловой скоростью $\omega$ вокруг диагонали. Обозначая через $2 \alpha$ угол между диагоналями, доказать, что через промежуток времени, равный
\[
\frac{2}{\omega \sqrt{(\cos 2 \alpha)}} F_{1}(\sin \alpha)
\]
она будет вращаться вокруг другой диагонали.
1) В ее движении относительно тела. Прим. ред.
—————————————————————-
0099_teor_meh_book13_no_photo_page-0129.jpg.txt
128
СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
16. Доказать, что
\[
\omega \frac{d \omega}{d t}=\sqrt{\left(\omega_{1}^{2}-\omega^{2}\right)\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right)\left(\omega_{3}^{2}-\omega^{2}\right)},
\]
rдe
\[
\omega_{1}^{2}=\frac{2 T(B+C)-H^{2}}{B C} \text {, и т. д. }
\]
Если $A>B>C$, то наибольшее значение $\omega$ есть $\omega_{2}$, а наименьшее $\omega_{1}$ или $\omega_{3}$, смотря по тому, какую из двух осей инерции, ось наименьшего или ось най большего моментов инерции, заключает внутри себя конус полодии.
17. Доказать, что в случае $2 B T=H^{2}$ уравнение герполодии в полярных координатах будет
\[
\frac{a}{r}=\operatorname{ch} m \theta \text {. }
\]
(„Динамика“, фиг. 88)
18. Доказать, что если неизменяемая прямая пересекает в точке $Q$ сферу единичного радиуса, описанную около неподвижной точки $O$, то момент относительной (по отношению к телу) скорости точки $Q$ относительно главной оси инерции $O A$ равен
\[
\left(\frac{2 A T}{H^{2}}-1\right) p .
\]
Если $\tau$ есть время, в течение которого неизменяемая пүямая делает полный обход в теле, то
\[
\int_{0}^{\tau} p d t=2 \pi \sqrt{\frac{B C}{(A-B)(A-C)}} .
\]
19. Доказать, что если мгновенная ось вращения пересекает сферу единичного радиуса, описанную около $O$ в точке $P$, то момент относительно оси $O A$ скорости точки $P$ относительно тела равен
\[
\frac{2 A T-H^{2}}{B C_{0}{ }^{2}} p .
\]
20. Доказать, что
\[
A^{3} p^{2}+B^{3} q^{2}+C^{3} r^{2}=A B C \omega^{2}-2(B C+C A+A B) T+(A+B+C) H^{2} .
\]
21. Обозначая через $\theta$ наклон мгновенной оси вращения к нензменяемой прямой и через $\dot{\psi}$ скорость, с которою вращается в пространстве плоскость, проходящая через эти две прямые, доказать, что
\[
\dot{\psi}=\frac{2 T}{H}+\frac{\left(2 A T-H^{2}\right)\left(2 B T-H^{2}\right)\left(2 C T-H^{2}\right)}{4 A B C T^{2} H} \operatorname{ctg}^{2} \theta .
\]
22. Доказать, что если $\alpha$ – угол между главной осью инерции $O A$ и неизвокруг $O Z$, выражается формулой
\[
\sin ^{2} \alpha=\frac{2 T}{H}-\frac{H}{A} \cos ^{2} \alpha .
\]
