Отклоняющая сила $Cnv$, будучи пропорциональной скорости и направленой под прямым углом к ней, легко может быть разложена на соответствующие составляющие в любой системе координат. Так, для того чтобы получить общие уравнения движения гироскопа в полярных координатах $\theta$ и $\psi$ его полюса, мы просто замегим, что составляющие скорости $v$ в плоскости переменного угла $\theta$ и в направлении, нормальном к этой плоскости, будут равны соответственно $\dot{\theta }$ и $\sin \theta \dot{\psi }$, а потому составляющие отклоняющей силы будут равны-Cn $\sin \theta \dot{\text{ и }}$ и $Cn\dot{\text{ i. }}$.

Таким образом, выражая ускорения в сферических полярных координатах ( $\mathrm{\S }34$ ), мы получим уравнения:
$$\begin{array}{rl}A(\ddot{\theta }-{\dot{\psi }}^2\sin \theta \cos \theta )& =-Cn\dot{\psi }\sin \theta +P,\\ \frac{A}{\sin \theta }\frac{d}{dt}(\dot{\psi }{\sin }^2\theta )& =Cn\dot{\theta }+Q,\end{array}\}$$

где $P$ и $Q$ обозначают соответственюо момент внешних сил относительно оси, перпендикулярной к плоскости $\theta$, и момент внешних сил относительно оси, перпендикулярной к предыдущей оси и к $OC$.
В случае движения волчка мы имеем:
$$P=M_{0}gh\sin \theta ,Q=0,$$

причем осью $OZ$, от которой ведется отсчет $\theta$, служит вертикаль, направленная вверх, и $h$ считается положительным или отрицательным, смотря по тому, лежит ли, при $\theta =0$, центр массы $G$ выше или ниже неподвижной точки $O$.

Аналитическое исследование движения волчка основывается обыкновенно на законах энергии и момента количеств движения. Первый закон согласно равенству (6) $\mathrm{\S }33$, дает уравнение
$$\frac{1}{2}A({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\psi }}^2)+\frac{1}{2}C{n}^2+Mgh\cos \theta =\text{ const. }$$

Обозначая далее через $\mu$ постоянный момент количеств движения волчка относительно вертикали, проходящей через точку опоры, мы получим согласно равенству (7) $\mathrm{\S }33$ следующее уравнение:
$$A{\sin }^2\theta \dot{\psi }+Cn\cos \theta =\mu .$$

Эти уравнения можно конечно вывести и из уравнений (1) ${}^1$ ). Полагая $Cn=u$ и исключая $\dot{\psi }$, мы получим:
$$\begin{array}{rl}{\dot{\theta }}^2+\frac{(\mu -u\cos \alpha {)}^2}{A^2{\sin }^2\theta }& +\frac{2Mgh}{A}\cos \theta -\\ & -\{{\sigma }^2+\frac{(\mu -u\cos \alpha {)}^2}{A^2{\sin }^2\alpha }+\frac{2Mgh}{A}\cos \alpha \}=0,\end{array}$$
1) Ови были даны Лагранжем в \»Mécanique Analytique\», 1-ière éd., 1788.

где $\circ$ и $\alpha$-какие-либо одновременные значения $\dot{\theta }$ и $\theta$. Если для сокращения напишем это уравнение в виде:
$${\dot{\theta }}^2+f(\theta )=0,$$

то стационарные (экстремальные) значения для $\theta$ мы получим из уравнения
$$f(\theta )=0.$$

Полагая ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ и приводя к одному знаменателю, мы получим уравнение третьей степени относительно $\cos \theta$. Если угол $\theta$ мал, то величина $f(\theta )$ велика и положительна, а при $\theta =\alpha$ величина $f(\theta )$ отрицательна. Когда угол $\theta$ близок к $\pi$, величина $f(\theta )$ опять положительна. Наконец, когда $\cos \theta =-\mathrm{\infty }$ величина $f(\theta )$ отрицательна. Таким образом один корень уравнения (7) находится между нулем и $a$, второй между $\alpha$ и $\pi$. Третий корень лежит между -1 и $-\mathrm{\infty }$ и, как равный $\cos \theta$, не дает вещественных значений для $\theta$. Траектория полюса на сфере с единичным радиусом заключена, следовательно, между двумя горизонтальными окружностями. В предельном случае верхняя или нижняя окружность могут свестись к одной точке.

Когда обе окружности совпадают, мы имеем выше исследованные случаи установивщегося (равномерного) прецессионного движения. Если это движение будет слегка возмущено, то обе окружности незначительно разойдутся друг от друга. Это показывает, что такие прецессионные движения устойчивы.

Сделанное утверждение относительно характера траектории полюса понятно и без какого бы то ни было анализа. Во всяком случае должны существовать точки наибольшей и наименьшей высоты полюса. Всякая такая точка может быть названа „апсидальнон̈ “, а дуга большого круга, проведенная к ней из высшей точки $Z$ на сфере, может быть названа „апсидальной линиен\». Известное рассуждение из теории центральных \» сил ( Динамика“ §88) и из теории сфернческого маятника („Динамика“, § 103) может и в данном случае быть приведено для доказательства того, что всякая апсидальная линия делит орбиту на симметричные части и что, следовательно, существуют два апсидальных расстояния и постоянный апсидальный угол ${}^1$ ).

Предельные случаи, когда траектория проходит через наивысшую или наинизшую точки сферы, не представляют трудностей. Точки возврата могут рассматриваться как бесконечно малые петли.

Условие регулярности прецессионного движения может быть выражено, полагая $\ddot{\theta }=0$ в уравнении (1). Обозначая через $\alpha$ и ю постоянные значения $\theta$ и $\dot{\psi }$, находим
$$A{\omega }^2\cos \alpha -Cn\omega +Mgh=0,$$

как и в § 54 [равенство (5)].
1) Приведенное рассуждение основывается на гипотезе о возможности обратного движения. В настоящем случае направление вращения должно также быть обратимым. Если бы движәнне оси волчка стало обратным, а его вращение вокруг оси осталось прежним, то полюс не прошел бы той же траектории в обратном направлении.

Для исследования небольшого возмущения этого движения полагаем:
$$\theta =\alpha +\xi ,\dot{\psi }=\omega +\frac{\dot{\eta }}{\sin \alpha .},$$

где $\xi$ и $\eta$-составляющие небольшого смещения полюса от его положения на траектории регулярного движения, а именно: одна составляющая вдоль меридиана, а другая под прямым к нему углом.

Подставляя эти значения в первое из уравнений (1) и пренебрегая количествами второго порядка, на основании равенства (8) мы получим соотношение:
$$A\ddot{\xi }+A{\omega }^2{\sin }^2\alpha \xi +(\gamma -2A\omega \cos \alpha )\dot{\eta }=0.$$

Подобным же образом из уравнения (4) получим:
$$(2A\omega \cos \alpha -u)\xi +A\dot{\eta }=0,$$

откуда, по исключении
$$A^2\ddot{\xi }+[A^2{\omega }^2{\sin }^2\alpha +(u-2A\omega \cos \alpha {)}^2]\xi =0.$$

Так как коэфициент при п положителен, мы еще раз убеждаемся, что регулярная прецессия представляет движение устойчивое.
Полагая
$$p^2=\frac{A^2{\omega }^2{\sin }^2\alpha +(u-2A\omega \cos \alpha {)}^2}{A^2},$$

мы видим, что период малых колебаний около нее равен $\frac{2\pi }{p}$.
В случае „медленной “ прецессии быстро вращающегося волчка Аю мало по сравнению с v, так что приблизительно $p=\frac{v}{A}$. Поэтому имеем:
$$\begin{array}{l}\xi =F\cos (\frac{Cnt}{A}+\epsilon ),\\ \eta =F\sin (\frac{Cnt}{A}+\epsilon ),\end{array}\}$$

где $F$ и в-произвольные постоянные. Аддитивная постоянная интегрирования в выражении $\eta$ не написана, как несущественная. Таким оэразом на регулярное прецессионное движение налагается малое гармоническое колебание, которое и создает трохоидальный вид траектории полюса, о котором мы говорили в § 56 .

При „быстрой прецессии, приблизительно имеем: $\omega =\frac{u}{A}\cos \alpha$ и $p=\omega$. Поэтому находим:
$$\begin{array}{c}\xi =F\cos (\omega t+\epsilon ),\\ \eta =-F\cos \alpha \sin (\omega t+\epsilon ).\end{array}\}$$

Если $x$ и $y$-координаты ортогональной проекции полюса $C$ на горизонтальную плоскость, то мы получим:
$$\begin{array}{rl}x& =\sin \alpha \cos \omega t+\xi \cos \alpha \cos \omega t-\eta \sin \omega t=\\ & =\sin \alpha \cos \omega t+F\cos \alpha \cos \epsilon \\ y& =\sin \alpha \sin \omega t+\xi \cos \alpha \sin \omega t+\eta \cos \omega t=\\ & =\sin \alpha \sin \omega t-F\cos \alpha \sin \epsilon \end{array}\}$$

Проекция траектории является, таким образом, окружностью. Мы имеем приблизительно нутацию Эйлера вокруг неизменяемой прямой, слегка наклоненной к вертикали (см. § 47).

К этой теории относится случай снаряда, сброшенного с аэроплана. Задний конец снаряда снабжается косо поставленным хвостовым оперением, так что сопротивление воздуха сообщзет снаряду вращение вокруг его оси. Когда ось составляет с вертикалью небольшой угол $\theta$, то равнодействующая давлений воздуха (R) пересекает ось в точке $P$, ниже центра масс $G$. При вышеприведенных обозначениях она дает момент $R\cdot GP\sin \theta$ относительно горизонтальной прямой, проходящей через $G$ под прямым углом к оси снаряда. Когда снаряд достигает практически предельной скорости, то движение снаряда вокруг $G$ определяется уравнением (1) с надлежащим изменением значения $A$ и с заменою $Mgh$ через $R\cdot GP$.