Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Для того чтобы консервативная система, на которую внешние силы не действуют, при конфигурации $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}\right.$ ) могла находиться в равновесии, уравнениям движения, а именно:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]
должны удовлетворять значения:
\[
\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{r}, \ldots, \dot{q}_{n}=0,
\]
для всех значений $t$, следовательно,
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{r}}=0
\]
Таким образом необходимое и достаточное условие заключается в том, что потенциальная энергия при малых изменениях координат должна быть „стационарной “.
Если $V$ имеет минимум для рассматриваемой конфигурации, то равновесие будет устойчивым. Так как при движении под дећствием незначительного возмущения полная энергия $T+V$ постоянна и так как $T$ представляет существенно положительную величину, то $V$ никогда не может превосходить своего значения для состояния равновесия более, чем на незначительную величину, зависящую от энергии возмущения. При этом подразумевается, что существует верхний предел отклонения каждой координаты от ее значения в положении равновесия; кроме того, этот предел неограниченно убывает вместе с энергией первоначального возмущения ${ }^{1}$ ).
Доказать необходимость указанного условия о $\min$. без каких бы то ни было ограничений мы так просто не можем. Если, однако, мы признаем существование диссипативных ${ }^{2}$ ) сил, начинающих действовать при всаком движении системы, то подобное заключение можно вывести следующим образом. Как бы незначительны эти силы ни были, полная
1) Эта аргументация принадлежит П. Дирихле (P. L. Dirichlet, 1805-1809).
2) См. примечание к § 41 . Ред.
энергия $T+V$ должна непрерывно уменьшаться, пока скорости $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ отличны от нуля. Следовательно, если система начала двигаться без начальных скоростей, имея конфигурацию, для которой $V$ меньше, чем при положении равновесия, то потенциальная энергия должна в дальненшем все еще уменьшаться, так как величина $T$ не может быть отрицательноні. Отсюда вытекает, или что система будет стремиться притти в состояние покоя при новой конфигурации равновесия, или что $V$ будет безгранично убывать ${ }^{1}$ ).
