1. Показать, что решение (14) § 90 удовлетворяет уравнению энергии.
2. Однородняя горизонтальная прямоугольная пластинка опирается своими углами на четыре одинаковые пружины. Найти нормальные колебания и доказать, что их частоты относятся друг к другу, как $1: \sqrt{3}: \sqrt{3}$.
3. Однородная прямоугольная пластинка со сторонами $2 a, 2 b$ внскт на двух одинаковых вертикальных пружинах длины $l$, прикрепленвых к концам верхней кромки ( $2 a$ ), занимающей горизонтальное положение. Описать характер четырех нормальных колебаний.
Доказать, что периоды их равны периодам качаний математических маятников с длинами
\[
l, \quad \frac{1}{3} l, \quad \frac{1}{2} l+\frac{2}{3} b \pm \frac{1}{2} \sqrt{l^{2}+\frac{4}{3} b l+\frac{16}{9} b^{3}} .
\]
4. Однородный стержень длины $2 a$ подвешен при помощи короткой нити длины $l$. Доказать, что период самых медленных колебаний больше периода колебаний стержня, подвешенного непосредственно за один из своих концов без какой бы то ни было нити, в отношении (приближенно)
\[
1+\frac{9}{32} \frac{l}{a} \text {. }
\]
Кроме того, показать, что период самых быстрых колебаний приблизи. тельно равен $\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
5. Тяжелая пластинка висит в горизонтальном положении на трех вертикальных нитях неравной длины. Показать, что нормальными колебаниями являются: 1) вращение около каждой из двух вертикальных линий, лежащих в плоскости, проходящей через центр иасс, и 2) качание, параллельное это плоскости.
6. Тонкая цилиндрическая оболочка радиуса $a$, имеющая массу $M$, лежит на горизонтальи́ой плоскости так, что ось оболочки, горизонтальна. Внутрь ее помещен круговой цилиндр с массой $m$, имеющий радиус $b$ и радиус инерции $x$. Составить уравнения движения при качании системы. Доказать, что при малых перемещениях длина эквивалентного математического маятника будет равна
\[
\frac{2 M\left(1+\frac{x^{2}}{b^{2}}\right)(a-b)}{2 M+m\left(1+\frac{\chi^{2}}{b^{2}}\right)} .
\]
7. В тонком горизонтальном металлическом листе вырезано эллиптическое отверстие с полуосями $a, b$, и в него вставлен шар радиуса $c(>b$ ), центр которого будет, следовательно, расположен на высоте $h=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$. Если сферу отклонить на небольшой угол и предоставить ей возможность качаться, то длина эквивалентного математического маятника будет равна
\[
\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(x^{2}+h^{2}\right)}{b^{2} h},
\]
где $x$ – радиус инерции шара относительно его диаметра.
8. К нити длины $4 a$ на равных расстояниях друг от друга прикреплены три груза, имеющие соответственно массы $m, M, m$, а сама нить подвешена симметрично к двум точкам $A, B$. Доказать, что если груз $M$ совершает небольшие вертикальные колебания, то длина эквивалентного математического маятника будет равна
\[
\frac{a \cos \alpha \cos \beta \sin (\alpha-\beta) \cos (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \cos ^{2} \alpha+\sin \beta \cos ^{2} \beta},
\]
где $\alpha, \beta$ углы наклона отдельных участков нити к вертикали,
9. Твердое тело, могущее вращаться около начала координат $O$, находится в равновесии в силовом поле, обладающем тем свойством, что потенциальная энєргия при повороте на небольшие углы $\xi, \eta$, б около осей координат выражается формулой:
\[
V=\frac{1}{2}\left(a \xi^{2}+b \eta^{2}+c \xi^{2}+2 f \eta \xi+2 g \xi \xi+2 h \xi \eta\right) ;
\]
доказать, что нормальные колебания состоят из вращения около общих сопряженных диаметров эллипсоида кнерцаи для точки $O$ и поверхности второго порядка:
\[
a x^{2}+\ldots+2 f y z+\ldots=1 .
\]
Показать, что еюда же относитса случай действия обыкновенной силы тяжести, если центр тяжести не лежит на одной из главных осей инерции, проходящих через точку $O$.
[Болл (Bal1)].
10. Нить длины $l_{1}=(n+1) a$, нагруженная равными массами $m$, находящимися на расстояниях $a$ друг от друга, закреплена своими концами и подвергнута действию силы натяження $T_{1}$. Если эти массы получат небольшие поперечные смещения $y_{r}$, то потенциальная энергия будет:
\[
V=\frac{1}{2} \frac{T_{1}}{a}\left\{y_{1}^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right\} .
\]
Составить уравнения двнжения и доказать, что решение будет иметь вид:
\[
y_{r}=C \sin \frac{r s \pi a}{l} \cos (\sigma t+\varepsilon),
\]
где
\[
s=1,2,3, \ldots, n \text {, }
\]
a
\[
\sigma=2 \sqrt{\frac{T_{1}}{m a}} \sin \frac{s \pi a}{2 l} \text {. }
\]
Найти результат в предельном случае, когда
\[
\frac{m}{a}=\rho, \quad n \rightarrow \infty .
\]
(Лагранж.)
11. Нить длины па подвешена вертикально за один конец и нагружена на равных расстояниях $a$ друг от друга $n$ материальными частицами массы $m$. Доказать, что если они будут несколько выведены из своего положения, то приращение потенциальной энергии составит
\[
V=\sum_{r} \frac{m g}{2 a}\left\{n y_{1}^{3}+(n-1)\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+(n-2)\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(y_{n}-y_{n-1}\right)^{2}\right\},
\]
где $y_{r}$ езначает поперечное смещение $r$ й материальной частицы, считая сверху.
Доказать, что ссли $n=3$, то длины эквивалентных маятников для трех нормальных колебании будут:
\[
2,405 a, \quad 0,456 a, \quad 0,159 a .
\]
Найти предел предыдущего выражения для $V$ при
\[
\frac{m}{a}=\rho, \quad n a=l, \quad n \rightarrow \infty .
\]
12. Доказать, что если натянутая нить зэкреплена своими концами $(x \approx 0, t)$, то потенциальная энергия малых поперечных смещений выражается формулой:
\[
\frac{1}{2} T_{1} \int_{0}^{l}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2} d x,
\]
где $T_{1}$ – натяжение, а $y$-перемещение в точке $x$.
Приняв, что колебӑния происходят приближенно по закону
\[
y=C x(l-x),
\]
гоказать, что период колебаний будет иметь величину
\[
0,9935 \cdot \frac{2 l}{\sqrt{\frac{T_{1}}{\rho}}},
\]
где $\rho$ означает линейную плотность.
13. Круглая мембрана радиуса $a$ закреплена по всему контуру и подвергнута равномерному натяжению $T_{1}$. Доказать, что при нормальных смещениях $z$, симметричных относительно центра, потенциальная энергия будет выражаться формулой:
\[
V=\frac{1}{2} T_{1} \int_{0}^{a}\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^{2} \cdot 2 \pi r d r
\]
Приняв закон
\[
z=C\left(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\right),
\]
получить приближенную оценку наиболее длинного периода.
$\left[2,56492 \cdot \sqrt{\frac{\rho a^{2}}{T_{1}}}\right.$, где $\rho$ обозначает поверхностную плотность; точный коэфициент будет 2,61253.]
14. Повторить вычисления примера 13 , пояожив
\[
z=C\left(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\right)\left(1+\beta \frac{r^{2}}{a^{2}}\right),
\]
и подобрать такое значение $\beta$, чтобы получился наибольший период.
\[
\left[2,61235 \cdot \sqrt{\frac{\rho a^{2}}{T_{1}}} \cdot\right]
\]
15. Доказать, что уравнения движения гироскопической системы с тремя степенями свободы могут быть приведены к такому же виду, как и для материальной точки, прикрепленной посредством пружины к телу, вращающемуся около неподвижной оси.
16. Материальная точка притягивается к некоторому центру с силой, изменяющейся пропорционально $\frac{e^{-\frac{r}{a}}}{r^{2}}$. Доказать, что круговая орбита будет устойчивой или неустойчивой в зависимости от того, будет ли ее радиус меньше или больше, чем $a$.
17. Четыре равные массы, соединенные одинаковыми нитями, образующими ромб, вращаются в своей плоскости около центра ромба, причем внешние силы не действуют. Доказать, что относительная ковфигурация для всех форм ромбов является безразличным положением равновесия.
18. Две материальные точки с массами $M, m$ прикреплены к нити на расстояниях $a$ и $a+b$ от одного из коғцов $O$, закрепленного неподвижно. Система вращается около $O$ в одной плоскости, причем момент количестз движения относительно $O$ равен $\mu$. Доказать, что
\[
2 \mathrm{~K}=\frac{\mu^{2}}{M a^{2}+m\left(a^{2}+2 a b \cos \%+b^{2}\right)},
\]
где $\chi$ – угол между направлениями двух участков нити; на основании этой формулы показать, что прямолинейная форма нити является устойчивой
Доказать, что период малых колебаний составляет $\frac{2 \pi}{\sigma}$, где
\[
\frac{\sigma^{2}}{\omega^{2}}=\frac{M a^{2}+m(a+b)^{2}}{M a b},
\]
а $\omega$ означает угловую скорость установившегося движения.
19. Тело с массой $M$ может свободно вращаться около вертикальной оси $O$, а второе тело с массой $m$ может свободно вращаться около параллельной осн $O^{\prime}$, принадлежащей первому телу. Центр масс $G$ первого тела по предположению находится в плоскости, проходящей через оси $O, O^{\prime}$. Рддиус инерции первого тела относительно $O$ равен $k$, а второго относительно вертикали, проходящей через его центр масс $G^{\prime}$, равен $x$, расстояние между $O$ и $O^{\prime}$ равно $a$, а расстояние $G^{\prime}$ от $O^{\prime}$ равно $b$. Доказать, что кинетическая энергия выражается формулой
\[
2 T=(A+2 H \cos \chi) \dot{\theta}^{2}+2(H \cos \chi+B) \dot{\theta} \dot{\chi}+B \dot{\chi}^{2},
\]
где $\theta$ означает угол поворота первого тела, $\chi$ – угол, составляелый плоскостью, проведенной через $G^{\prime}$ и $O^{\prime}$ с плоскостью, проведенной через $O$ и $O^{\prime}$ (принимая этот угол равным нулю, когда $G^{\prime}$ находится на небольшом расстоянии от $O$ ), затем
\[
A=M k^{2}+m\left(a^{2}+b^{2}+x^{2}\right), H=m a b, B=m\left(b^{2}+x^{2}\right) .
\]
Доказать, что если внешних сил нет, то при постоянном моменте количеств движения $\mu$ относительно $O$ и при обозначениях $\S 84$
\[
2 K=\frac{\mu^{2}}{A+2 H \cos \chi} ;
\]
на основании этой формулы показать, что конфигурация $\chi=0$ устойчива, а конфигурация $\chi=\pi$ неустойчива.
Доказать, что если первое тело вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, то
\[
2 T_{0}=(A+2 H \cos \chi) \omega^{2},
\]
что приводит к тем же результатам относительно устойивости.
Доказать, что частота малых колебаний около устойчивой конфигурации выражается формулой:
\[
\frac{\sigma^{2}}{\omega^{2}}=\frac{(A+2 H) H}{A B-H^{2}-B^{2}} .
\]
20. Однородная цепь длины $l$ вращается с угловой скоростью ю около одного из концов, закрепленного неподвижно, в то время как другой конец свободен. Доказать, что для малых отклонений $z$, нормальных к плоскости врацения, уравнение движения имеет вид:
\[
\ddot{z}=\frac{1}{2} \omega^{2}\left(l^{2}-x^{2}\right) z^{\prime \prime}-\omega^{2} x z^{\prime},
\]
где штрихи означают диференцирование по расстоянию $x$ от неподвижного конца.
Доказать, что перемещение при нормальном колєбании имеет вид
\[
z=C\left\{\frac{x}{l}-\frac{(n-1)(n+2)}{2 \cdot 3} \frac{x^{3}}{l^{3}}+\frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \frac{x^{5}}{l^{5}}-\ldots\right\} .
\]
Показать, что если $n$ представляет четное число, то ряд при $x=l$ расходится и что соответствующая частота выражаєтся тогда формулой:
\[
\frac{\sigma^{2}}{\omega^{2}}=\frac{1}{2} n(n+1) \text {. }
\]
[Саусвелл (Southwell).]
21. Доказать, что для поперечных смещений $у$ в плоскости вращения уравнение имеет вид:
\[
\ddot{y}=\frac{1}{2} \omega^{2}\left(l^{2}-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-\omega^{2} x y^{\prime}+\omega^{2} y,
\]
и что частоты разных колебаний выражаются формулой:
\[
\frac{\sigma^{2}}{\omega^{2}}=\frac{1}{2}(n-1)(n+2),
\]
где $n$ нечетное число.
