Некоторые соотношения, приведенные в настоящей и предыдущей главах, могут быть коротко выражены языком векторного анализа.
${ }_{n}$ Скалярное\» произведение двух векторов $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ определяется („Статика“, § 47), как произведение абсолютной величины любого из них на ортогональную проекцию второго на направление первого. Так, если $P$ и $Q$-абсолютные значения векторов, а $\theta$ — угол между их направлениями, то
\[
\mathbf{P Q}=P Q \cos \theta=\mathbf{Q P} \text {. }
\]

В частности скалярный квадрат вектора есть квадрат его абсолютного значения, а скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Если i, j, k- единичные векторы (орты), параллельные трем взаимно перпендикулярным направлениям, то мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\mathbf{i}^{2}=1, \quad \mathbf{j}^{2}=1, \quad \mathbf{k}^{2}=1, \\
\mathbf{j k}=\mathbf{k j}=0, \quad \mathbf{k i}=\mathbf{i} \mathbf{k}=0, \quad \mathbf{i j}=\mathbf{j i}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Формула (1) показывает, что свойство переместительности (коммутативности) умножения сохраняется. Закон дистрибутивности также имеет место:
\[
\mathbf{P}(\mathbf{Q}+\mathbf{R})=\mathbf{P Q}+\mathbf{P R},
\]

так как сумма ортогональных проекций $\mathbf{Q}$ и $\mathbf{R}$ на направление $\mathbf{P}$ равна ироекции суммы $\mathbf{Q}+\mathbf{R}$.

Если $\mathrm{r}$ обозначдет радиус-вектор точки $A$ с координатами $x, y, z$ относительно начала координат $O$, то мы имеем:
\[
\mathrm{r}=x \mathrm{i}+y \mathrm{j}+z \mathrm{k},
\]

и для бесконечно малого перемещения
\[
\hat{\delta} \mathbf{r}=\delta x \mathbf{i}+\delta y \mathbf{j}+\hat{z} \mathbf{k} .
\]

Бесконечно малая работа силы $\mathbf{P}$, триложенной к точке $A$, равна по определению Pồr.
Если $X, Y, Z$ — составляющие $P$ вдоль осей координат, то мы имеем:
\[
\mathbf{P}=X \mathbf{i}+Y \mathbf{j}+Z \mathbf{k},
\]

г, следовательно,
\[
\mathbf{P} \delta \mathbf{r}=(X \mathbf{i}+Y \mathbf{j}+Z \mathbf{k})(\delta x \mathbf{i}+\delta y \mathbf{j}+\delta z \mathbf{k}) .
\]

Производя умножение согласно законам переместительности и дистрибутивности на основании соотношений (2) найдем:
\[
\mathbf{P} \hat{\mathbf{r}} \mathbf{r}=X \hat{\delta} x+Y \hat{\delta} y+Z \hat{z} .
\]

В векторном анализе определяется еще и другой вид произведений. Именно, если мы проведем (как на фиг. 23) в последовательном порядке два отрезка $O A$ и $A C$, изображающие соответственно два вектора $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ (фиг. 23), то ${ }_{n}$ векторное произведение\» $\mathbf{P}$ на $\mathbf{R}$ опреде-
\[
\text { Фиг. } 23 .
\]
Фиг. 24.
ляется как вектор, нормальный к плоскости OAC. Величина и направление его определяются параллелограмом, построенным на сторонах $O A$ и $A C$. Абсолютная величина этого вектора дается площадью параллелограма, а направление — условием, чтобы обход $O A C B O$ был с положительным поворотом около него. Определенный таким образом вектор обозначается через [PQ]. Проведем единичный вектор $\boldsymbol{n}^{\circ}$ нормально к плоскости $O A C$ в положительном направлении согласно принятому выше условию. Мы получим:
\[
[\mathrm{PQ}]=P Q \sin \theta \cdot \mathrm{n}^{\circ},
\]

где $\theta$-угол ( $<\pi$ ), который образует направление $\mathbf{Q}$ с направлением $\mathbf{P}$ (фиг. 23 и 24 ).
В частности имеем:
\[
\left[\mathrm{P}^{2}\right]=[\mathrm{PP}]=0 .
\]

Следовательно, обозначая, как и раньше, через $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ единичные векторы в направлении координатных осей $O x, O y, O z$, соответственно, б: дем иметь:
\[
\left.\begin{array}{rl}
{[2]=0, \quad\left[\mathbf{l}^{2}\right]=0,} \\
{[\mathbf{j k}]=-[\mathbf{k}]=\mathbf{i}, \quad[\mathbf{k i}]=-[\mathbf{i k}]=\mathbf{j}, \quad[\mathbf{i j}]=-[\mathbf{j}]=\mathbf{k},}
\end{array}\right\}
\]

если оси координат образуют правуо систему.
Чтобы получить вектор [QP] с обратным порядком множителен, мы должны начать с построения векторов $O B$ и $B C$ представляющих соотвєт:твенно $\mathbf{Q}$ и $\mathbf{P}$, как это указано на (фиг. 24). Направление обхода $O B C A O$ теперь получается обратное и направление определяемого вектора $[\mathrm{QP}]$ тоже обратно предыдущему $[\mathrm{PQ}]$. Следовательно,
\[
[\mathbf{Q P}]=-[\mathbf{P Q}] .
\]

Таким образом векторное произведение не следует закону переместительности.
Закон д’стрибутивности однако остаетея в силе
\[
[\mathbf{P}(\mathbf{Q}+\mathbf{R})]=[\mathbf{P Q}]+[\mathbf{P R}] .
\]

Чтобы это видеть, проводим отрезок $O A$, изображающий $\mathrm{P}$, и отрезки $A B, A C$ и $A D$, изображающие соотзетственно $\mathbf{Q}, \mathbf{R}$ и $\mathbf{Q}+\mathbf{R}$. Предположи. сначала, что $A B$ и $A C$, а следовательно и $A D$, перпендикулярны к $O A$. Отрезки, отложенные от точки $A$, которые должны соответственно представлять векторы $[\mathbf{P Q}],[\mathbf{P R}]$ и $[\mathbf{P}(\mathbf{Q}+\mathbf{R})]$, будут находиться в плоскости $A B C$, нормальной к отрезку $O A$, и будут перпендикулярны и пропорциональны соответственно $A B, A C$ и $A D$. В этом случае, счевидно, равенство (12) оправдывается.

Чтобы доказать его и в общем случае, рассмотрим ортогональные проекции $B^{\prime}, C^{\prime}$ и $D^{\prime}$ точек $B C D$ на плоскость нормальную к $O A$, проходящую через точку $A$. Если положим
\[
\mathrm{AB}^{\prime}=\mathbf{Q}^{\prime}, \mathrm{AC}^{\prime}=\mathbf{R}^{\prime} \text { и, следовательно, } \mathrm{AD}^{\prime}=\mathbf{Q}^{\prime}+\mathbf{R}^{\prime},
\]

то, как и в предыдущем случае, получим
\[
\left[\mathbf{P}\left(\mathbf{Q}^{\prime}+\mathbf{R}^{\prime}\right)\right]=\left[\mathbf{P Q}^{\prime}\right]+\left[\mathbf{P R}^{\prime}\right] .
\]

Но по определензю векторного произведения, имеем:
\[
\left[\mathbf{P Q}^{\prime}\right]=[\mathbf{P Q}], \quad\left[\mathbf{P R}^{\prime}\right]=[\mathbf{P R}], \quad\left[\mathbf{P}\left(\mathbf{Q}^{\prime}+\mathbf{R}^{\prime}\right)\right]=[\mathbf{P}(\mathbf{Q}+\mathbf{R})],
\]

откуда и следует справедливость равенства (12). На основании ғавенства (11) легко выводим, что
\[
[(\mathbf{Q}+\mathbf{R}) \mathbf{P}]=[\mathbf{Q P}]+[\mathbf{R P}],
\]

Определение векторного произведения может быть пояснено примером из теории малых вращений. Если твердому телу сообщено малое вращение около оси, проходящей через начало воординат $O$, то перемещение точки $A_{4}$ положение которой определяется вехтором $r$, по величине и направлению будет представлено векторным произведением [wr]. Если ө’ есть другое малое вращение около оси, проходящей тоже через $O$, то результат обоих вращений представится в виде перемещения, равного на основании (12)
\[
[\omega r]+\left[\omega^{\prime} r\right] \text { и.ги }\left[\left(\omega+\omega^{\prime}\right) r\right] .
\]

Это равенство подтверждает правило сложения мапых вращений вокруг пересекающихся осей ( $\$ 6$ ).
Если положим
\[
\mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, \quad \omega=p \mathbf{i}+q \mathbf{j}+r \mathbf{k},
\]

то на основании равенств (9), (12) и (15) найдем
\[
\begin{aligned}
{[\omega \mathrm{r}] } & =(p \mathbf{i}+q \mathbf{j}+r \mathbf{k})(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}) \\
& =(q z-r y) \mathbf{i}+(r x-p z) \mathbf{j}+(p y-q x) \mathbf{k} .
\end{aligned}
\]

Этот результат может быть выражен следующим образом:
\[
[\omega \mathrm{r}]=\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{i}, & \mathbf{j}, & \mathbf{k} \\
p, & q, & r \\
i, & y, & z
\end{array}\right| .
\]

Примером из статики может служить определение момента пары сил.
Если $\mathbf{r}$ означает вектор, определяющий положение точки $A$ относптельно начала координат $O$, то на освовании $\S 17$, очевидно, что вектор [rP] представит момент пары сил, а именно силы $\mathbf{P}$, приложенной в точке $A$ и силы-P, приложенной в точке $O$.
Сохраняя предыдущие обозначения и полагая
\[
\mathbf{P}=X_{\mathbf{i}}+Y \mathbf{j}+Z \mathbf{k},
\]

мы получим:
\[
\begin{aligned}
{[\mathrm{rP}] } & =(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}=z \mathbf{k})(X \mathbf{i}+Y \mathbf{j}+Z \mathbf{k})= \\
& =(y Z-z Y) \mathbf{i}+(z X-x Z) \mathbf{j}+(x Y-y X) \mathbf{k} .
\end{aligned}
\]

Коэфициентами при i, j и k будут моментсм: пағы относительно осей координат (см. § 19).

Скалярное прокзведение вектора $\mathbf{R}$ на векторное произведение [PQ] имеет простой геомегрический смысл. Если обозначим через $P, Q$ и $R$ абсолютные величины векторов $\mathbf{P}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}$, изображенных соответственно отрезками $O A, O B$ и $O C$, а через в угол (острый или тупой), образуемый направлением $O C$ с нормалью к плоскости $A O B$ в направле:тии [PQ], то будем иметь:
\[
[\mathbf{P Q}] \mathbf{R}=P Q R \sin \theta \cos \varepsilon .
\]

Это выражение, взятое с положительным или отрицательным знаком, представляет собою объем параллелепипеда, построенного на отрезках $O A, O B, O C$. Знак будет положительным или отрицательным в зависимости от того, в каком циклическом порядке следуют отрезки $O A, O B$ и $O C$ при обходе вокруг нормали к плоскости $A B C$, проведенной из начала $O$. Если обход от точки $A$ к $B$ и к $C$ совершается в правом направлении вращения, то имеем положительный знак, в обратном случае отрицательный.

Например, если сила $\mathbf{P}$ приложена к точке, положение которой относительно начала координат определяется радиусом-вектором $r$, то, обозначая через
$\mathbf{a}^{0}$ единичный вектор в направлении осн, проходящий через начало, мы можем выразить момент этой силы относительно оси в виде выражения:
\[
[\mathrm{rP}] \mathbf{a}^{0}
\]
[см. равенство (I) § 14].
Так, взяв скалярное произведение единичного вектора $\mathbf{i}$ на последнюю часть равенства (21), мы получим $y Z-z Y$, т. е. момент относительно оси $O X$,