При составлении уравнений движения любой динамической системы мы начинаем с рассмотрения бесконечно малых изменений. Предполагая, что нам известны в данный момент времени $t$ конфигурация системы и состояние движения, мы вычисляем те изменения, которые наступают за время $\delta t$ под действием приложенных сил и наложенных на систему связен. Этот путь приводит к составлению уравнений движения при помощи метода, который в основных чертах уже знаком читателю. Таким образом все, что нам необходимо в качестве кинематического введения, – это исследование возможных бесконечно малых перемещений системы.

Однако в случае движения твердого тела исследование конечных перемещений (в отличие от бесконечно малых) приводит к некоторым теоремам, настолько простым и изящным, что обыкновенно принято посвящать этим теоремам немного места в самом начале исследования. Напомним, что тот же порядок изложения был нами принят и при рассмотрении частного случая: двухмерных перемещений („Статика“,$\S 30)^{1}$ ).

Положение твердого тела, движущегося в пространстве трех измерений, вполне определяется положением любых трех точек $A B C$ тела, не лежащих на одной и той же прямой, так как если $P$ есть какая-либо четвертая точка тела, то тетраэдр $P A B C$ имеет неизменные размеры. Число координат (декартовых или иных), отнесенных к неподвижным осям, этих трех точек $A B C$ тела равно девяти. Но эти координаты не являются независимыми друг от друга, так как они связаны соотношениями, выражающими, что расстояния $A B, B C$ и $C A$ имеют заданные неизменные значения. Число независимых переменных или координат (в обобщенном смысле слова), которые достаточны и необходимы для определения положения тела, равно, следовательно, шести. Согласно с этим и говорят, что твердое тело, положение которого ничем не связано, имеет шесть \”степеней свободы“.

Обобщенные координаты могут быть выбраны различным способом и, вообще говоря, шесть любых независимых кинематических условий определяют такие положения тела, которые оно не может покинуть без нарушения этих условий.

Этот принцип, при всей своей простоте, имеет ценное практическое применение в разных случаях. Например, положение теодолита на подставке
1) Ссылки в этой форме будут делаться на „Статику“ автора (на апглийском языке).

определяется (по большей части) тем, что его три ножки с закругленными концами покоятся в трех двугранных выемках (формы V), т. е. положение определяется шестью точками касания. При других способах установки одна из ножек покоится в трехгранной выемке, вторая – двугранной, а третья просто стоит на ровной поверхности.

Жесткое сооружение может быть установлено в неподвижном положении относительно земли с помощью шести снабженных шарнирами прямолинейных стержней, если только эти последние не имеют особого критического расположения, как в случае двух измерений (,Статика“, § 13, 15).

Твердое тело, положение которого определяется только пятью условиями, имеет одну степень свободы. Примером является тело, поддерживаемое в равновесии тремя закруглендыми на концах ножками, две из которых поставхены в двугранную выемку на горизовтальной плоскости, в то время как третья просто опирается на плоскость. Тело может передвигаться параллельно сделанной выемке и при сохранении пяти точек касания уже не может передвигаться в другом направлении. Такая установка принята в некоторых физнческих приборах.

Далее, наложение четырех условии остввляет телу две степени свободы. Например, ружейный ствол, опирающийся на две рогатки, поставленные одна впереди другой, может передвигаться вдоль продольной оси и вращаться вокруг нее. Разумеется, ствол может иметь любое перемещение, которое сводится к комбинации только что указанных перемещений. Другим примером является труба универсального инструмента (альтазимута). Геометрические условия сводятся здесь к следующему. Определенная точка в теле, а именно точка пересечения оси трубы и оси цапф остается неподвижной; другим условием является условие горизонтальности оси цапф при всех перемещениях.

Простым примером тела с тремя наложенными связями, а потому и с тремя степенями свободы, может служить тело, опирающееся на неподвижную поверхность тремя ножками или подставками с закругленными концами. Если поверхность плоская, то мы имеем случай свободного двухмерного движения, случай, уже разобранный нами в плоской кинематике (,Статика“, § 13)1).