Переходим к более обстоятельному рассмотрению случая тела, имеющего две степени свободы. Было указано, что самым общим типом этого случая может служить движение твердого тела, касающегося в четырех точках неподвижных поверхностей. Было также показано, что нормали к псверхностям в этих точках являются нулевыми прямыми относительно возможного перемещения тела. Эти нормали пересекаются двумя действительными или мнимыми секущими, которые, очевидно, являются сопряженными прямыми ${}^2$ ).

Когда они являются действительными прямыми, то всякое возможное перемещение может быть сведено к двум вращениям вокруг этих прямых. Они могут быть, однако, и мнимыми, а потому это утверждение не всегда остается справедливым. Мы должны поэтому исследовать результат двух произвольных по величине винтовых движений с заданными осями и параметрами винтов и рассмотреть конфигурагию получающейся таким образом простой бесконечной системы винтов. Мы начнем не с прямого исследования вопроса, а рассмотрим сначала случай, когда оси заданных винтов пересекаются между собой под прямым углом. Мы принимаем эти оси в качестве осей координат $\mathit{x}$ и $\mathit{y}$ и обозначаем параметры винтов через $a$ и $b$. Если $p$ и $q$ обозначают вращения около этих осей, то мы получим, пользуясь выражениями § 9, равенства:
$$l=ap,m=bq,n=0,r=0.$$

Уравнения оси результирующего винтового движения будут $[(9)\mathrm{\S }9]$ :
$$\frac{ap+qz}{p}=\frac{bq-pz}{q}=\frac{py-qx}{0},$$
1) Теория бесконечно малых перемещений с изложенной точки зрения была развита Руз-Болом (Roose-Ball), профессором астрономии в Кембридже (1840-1913), в ряде статей, опубикованных в 1871 Г. См. его „Теория винтов“, Дублин 1876 и Кембридж 1900 (\»Theory of Screws“, Dublin and Cambridge).
2) Любые три прямые, скрещивающиеся, но не пересекающиеся, определяют однополый гиперболоид, на котором они являюгся образующими одной и той же системы. Четвертая прямая встречает поверхность в двух действительных или мнимых точках. Образующие второй системы, проходящие через эти точки, и являются указанными секущими.

откуда
$$\frac{x}{p}=\frac{y}{q},z(p^2+q^2)=(b-a)pq;$$

отсюда следует, что каковы бы ни были значения $p$ и $q$, ось результирующего винтового движения будет образующей коноидальной поверхности, заданной уравнением
$$z(x^2+y^2)=(b-a)xy.$$

Координаты произвольной точки этой поверхности могут быть выражены в следующем виде:
$$x=p\cos \theta ,y=p\sin \theta ,z=c\sin 2\theta ,$$

где
$$c=\frac{1}{2}(b-a).$$

Образующие пересекают ось $Oz$ под прямым углом. Точки их пересечения с круговым цилиндром, имеющим ту же ось, описывают на поверхности цилиндра кривую, развернув которую на плоскость Фиг. 16. линдра кривую, развернув которую на плоскость поверхностью цилиндра, мы получаем синусоиду, вместе с бөковой поверхностью цилиндра, мы получа причем длина окружности соответствует двум периодам.

Поверхность (4) называется ,цилиндроидом“ 1) с параметром $c$. Параметр винта, азимут которого равен $\theta$, будет согласно с $\mathrm{\S }9,(11)$ :
$$\tilde{\omega }=\frac{lp+mq}{p^2+q^2}=a{\cos }^2\theta +b{\sin }^2\theta =\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(a-b)\cos 2\theta .$$

Распределение значенић параметра винта среди различных винтов системы дается коническим сечением, уравнение которого следующее:
$$a{x}^2+b{y}^2=C,$$

где $C$ есть любая постоянная, так как если обозначить через $\rho$ радиусвектор этой кривой в направлении $\theta$, то
$$\tilde{\mathit{\omega }}=\frac{C}{{\rho }^2}.$$

Кривая (8) называется поэтому индикатрисой параметра винта. Заметим при этом, что один и тот же параметр могут иметь не больше двух винтов системы.

Следует также обратить внимание на то, что сам цилиндроид не изменится, если мы увеличим $a$ и $b$ на одно и то же количество, так как параметр цилиндроида $c$ останется тот же. Единственным следствием
1) Название дано Кэли. Поверуность эта встречается в геометрических исследованиях линейных комплексов у Плюкера и др.

этого будет только то, что параметры всех винтов, связанных с образующими этой поверхности, возрастут на то же самое количество, как это видно из равенства (7).

Обозначая подстрочными значками количества, относящиеся к двум винтам системы, из равенства (5) мы получим:
$$z_1-z_2=2c\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),$$

и из равенства (7):
$${\tilde{\omega }}_1-{\tilde{\omega }}_2=2c\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\sin ({\theta }_1+{\theta }_2),$$

откуда
$$\mathrm{tg}({\theta }_1+{\theta }_2)=\frac{{\tilde{\omega }}_1-{\tilde{\omega }}_2}{(z_1-z_2)}.$$

Из этих формул вытекает, что система винтов с указанным выше расположением может всегда быть посгроена с таким расчетом, чтобы она заключала в себе любые два винта. Действительно, если даны: кратчайшее расстояние $z_1-z_2$, угол ${\theta }_1-{\theta }_2$ между осями винтов и разность ${\tilde{\omega }}_1-{\tilde{\omega }}_2$ их параметров, то уравнение (12) дает угол ${\theta }_1+{\theta }_2$, в любое из уравнений (10), (11) — параметр цилиндроида $c$.

Мы можем, следовательно, утверждать, что когда твердое тело имеет две степени свободы, то оси различных винтовых движений, которые тело может совершать, будут лежать на некотором цилиндроиде, а распределение параметров винтов будет определяться формулой вида (7). В частном случае, конечно, цилиндроид может выродиться в плоскость, когда его параметр $c$ равен нулю. Все винты имеют тогда один и тот же параметр, как это и само собою очевидно.