Переходим к более обстоятельному рассмотрению случая тела, имеющего две степени свободы. Было указано, что самым общим типом этого случая может служить движение твердого тела, касающегося в четырех точках неподвижных поверхностей. Было также показано, что нормали к псверхностям в этих точках являются нулевыми прямыми относительно возможного перемещения тела. Эти нормали пересекаются двумя действительными или мнимыми секущими, которые, очевидно, являются сопряженными прямыми ${ }^{2}$ ).

Когда они являются действительными прямыми, то всякое возможное перемещение может быть сведено к двум вращениям вокруг этих прямых. Они могут быть, однако, и мнимыми, а потому это утверждение не всегда остается справедливым. Мы должны поэтому исследовать результат двух произвольных по величине винтовых движений с заданными осями и параметрами винтов и рассмотреть конфигурагию получающейся таким образом простой бесконечной системы винтов. Мы начнем не с прямого исследования вопроса, а рассмотрим сначала случай, когда оси заданных винтов пересекаются между собой под прямым углом. Мы принимаем эти оси в качестве осей координат $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ и обозначаем параметры винтов через $a$ и $b$. Если $p$ и $q$ обозначают вращения около этих осей, то мы получим, пользуясь выражениями § 9, равенства:
\[
l=a p, \quad m=b q, \quad n=0, \quad r=0 .
\]

Уравнения оси результирующего винтового движения будут $[(9) \S 9]$ :
\[
\frac{a p+q z}{p}=\frac{b q-p z}{q}=\frac{p y-q x}{0},
\]
1) Теория бесконечно малых перемещений с изложенной точки зрения была развита Руз-Болом (Roose-Ball), профессором астрономии в Кембридже (1840-1913), в ряде статей, опубикованных в 1871 Г. См. его „Теория винтов“, Дублин 1876 и Кембридж 1900 (\”Theory of Screws“, Dublin and Cambridge).
2) Любые три прямые, скрещивающиеся, но не пересекающиеся, определяют однополый гиперболоид, на котором они являюгся образующими одной и той же системы. Четвертая прямая встречает поверхность в двух действительных или мнимых точках. Образующие второй системы, проходящие через эти точки, и являются указанными секущими.

откуда
\[
\frac{x}{p}=\frac{y}{q}, \quad z\left(p^{2}+q^{2}\right)=(b-a) p q ;
\]

отсюда следует, что каковы бы ни были значения $p$ и $q$, ось результирующего винтового движения будет образующей коноидальной поверхности, заданной уравнением
\[
z\left(x^{2}+y^{2}\right)=(b-a) x y .
\]

Координаты произвольной точки этой поверхности могут быть выражены в следующем виде:
\[
x=p \cos \theta, \quad y=p \sin \theta, \quad z=c \sin 2 \theta,
\]

где
\[
c=\frac{1}{2}(b-a) .
\]

Образующие пересекают ось $O z$ под прямым углом. Точки их пересечения с круговым цилиндром, имеющим ту же ось, описывают на поверхности цилиндра кривую, развернув которую на плоскость Фиг. 16. линдра кривую, развернув которую на плоскость поверхностью цилиндра, мы получаем синусоиду, вместе с бөковой поверхностью цилиндра, мы получа причем длина окружности соответствует двум периодам.

Поверхность (4) называется ,цилиндроидом“ 1) с параметром $c$. Параметр винта, азимут которого равен $\theta$, будет согласно с $\S 9,(11)$ :
\[
\tilde{\omega}=\frac{l p+m q}{p^{2}+q^{2}}=a \cos ^{2} \theta+b \sin ^{2} \theta=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(a-b) \cos 2 \theta .
\]

Распределение значенић параметра винта среди различных винтов системы дается коническим сечением, уравнение которого следующее:
\[
a x^{2}+b y^{2}=C,
\]

где $C$ есть любая постоянная, так как если обозначить через $\rho$ радиусвектор этой кривой в направлении $\theta$, то
\[
\tilde{\boldsymbol{\omega}}=\frac{C}{\rho^{2}} .
\]

Кривая (8) называется поэтому индикатрисой параметра винта. Заметим при этом, что один и тот же параметр могут иметь не больше двух винтов системы.

Следует также обратить внимание на то, что сам цилиндроид не изменится, если мы увеличим $a$ и $b$ на одно и то же количество, так как параметр цилиндроида $c$ останется тот же. Единственным следствием
1) Название дано Кэли. Поверуность эта встречается в геометрических исследованиях линейных комплексов у Плюкера и др.

этого будет только то, что параметры всех винтов, связанных с образующими этой поверхности, возрастут на то же самое количество, как это видно из равенства (7).

Обозначая подстрочными значками количества, относящиеся к двум винтам системы, из равенства (5) мы получим:
\[
z_{1}-z_{2}=2 c \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right),
\]

и из равенства (7):
\[
\tilde{\omega}_{1}-\tilde{\omega}_{2}=2 c \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right),
\]

откуда
\[
\operatorname{tg}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=\frac{\tilde{\omega}_{1}-\tilde{\omega}_{2}}{\left(z_{1}-z_{2}\right)} .
\]

Из этих формул вытекает, что система винтов с указанным выше расположением может всегда быть посгроена с таким расчетом, чтобы она заключала в себе любые два винта. Действительно, если даны: кратчайшее расстояние $z_{1}-z_{2}$, угол $\theta_{1}-\theta_{2}$ между осями винтов и разность $\tilde{\omega}_{1}-\widetilde{\omega}_{2}$ их параметров, то уравнение (12) дает угол $\theta_{1}+\theta_{2}$, в любое из уравнений (10), (11) – параметр цилиндроида $c$.

Мы можем, следовательно, утверждать, что когда твердое тело имеет две степени свободы, то оси различных винтовых движений, которые тело может совершать, будут лежать на некотором цилиндроиде, а распределение параметров винтов будет определяться формулой вида (7). В частном случае, конечно, цилиндроид может выродиться в плоскость, когда его параметр $c$ равен нулю. Все винты имеют тогда один и тот же параметр, как это и само собою очевидно.