Применение подвижной системы координатных осей было уже показано в нескольких различных случаях, в частности при выводе уравнений Эилера (§49). Для обеспечения посто янства моментов инерции положение осен в движущемся теле было нами фиксировано.

Теперь мы приступим к выводу основных уравнений для того случая, когда оси движутся совершенно произвольным образом.

Предположим сперва, что начало координат $O$ неподвижно в пространстве. Обозначим компоненты угловых скоростей осей около их мгновенных положений через $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$, сохранив обозначения $p, q, r$, как и прежде, для угловых скоростей твердого тела. Чтобы вычислить изменения проекций $x, y, z$ вектора $\mathrm{OP}$, неподвижного в пространстве, заметим, что если точка $P$ движется вместе с осями, то компоненты ее перемещения за время $\delta t$ на основании (3) § 9 будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
q^{\prime} \delta t \cdot z-r^{\prime} \delta t \cdot y, \\
r^{\prime} \delta t \cdot x-p^{\prime} \delta t \cdot \boldsymbol{z}, \\
p^{\prime} \delta t \cdot y-q^{\prime} \delta t \cdot x .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, чтобы возвратить точку $P$ в ее первоначальное положение в пространстве, мы должны сообщить ей кажущиеся перемещения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta x=\left(r^{\prime} y-q^{\prime} z\right) \delta t, \\
\delta y=\left(p^{\prime} z-r^{\prime} x\right) \delta t, \\
\delta z=\left(q^{\prime} x-p^{\prime} y\right) \delta t .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом мы имеем соотнсшения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=r^{\prime} y-q^{\prime} z, \\
\frac{d y}{d t}=p^{\prime} z-r^{\prime} x, \\
\frac{d z}{d t}=q^{\prime} x-p^{\prime} y
\end{array}\right\}
\]

выражающие, что вектор $(x, y, z)$ в действительности неподвижен и что его проекции на оси координат изменились лишь вследствие движения самих осей.

Частный случай этих уравнений получится, если заменить $x, y, z$ направляющими косинусами прямоћ (например вертикали), имеющей меподвижное направление.

В случае переменного вектора мы должны к правым частям формул (2) добавить члены $u \delta t, v \delta t$, $w \delta t$, представляющие действительные перемещения точки $P$ параллельно мгновенным направлениям осећ. Таким образом
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=u+r^{\prime} y-q^{\prime} z_{r} \\
\frac{d y}{d t}=v+p^{\prime} z-r^{\prime} x \\
\frac{d z}{d t}=w+q^{\prime} x-p^{\prime} y
\end{array}\right\}
\]

Мы можем сразу написать теперь ряд формул, имеющих важное значение. Так, если вектор OP определяет положение точки $P$ по отношению к неподвижному началу координат, скорости точки $P$, параллельные осям координат, будут выражаться формулами:
\[
\left.\begin{array}{c}
u=\frac{d x}{d t}-r^{\prime} y+q^{\prime} z \\
v=\frac{d y}{d t}-p^{\prime} z+r^{\prime} x \\
w=\frac{d z}{d t}-q^{\prime} x+p^{\prime} y
\end{array}\right\}
\]

Если начало координат движется, то эти формулы дают скорости относительно начала $O$. Чтобы найти абсолютные скорости, мы должны добавить к правым частям соответственно члены ‘ $u^{\prime}, v^{\prime}$, $w^{\prime}$, представляющие компоненты скорости точки $O$.

Если вектор OV представляет абсолютную скорость ( $u, v, w)$ движущейся точки, то компоненты скорости точки $V$, т. е. компоненты ускорения движущейся точки, будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha=\frac{d u}{d t}-r^{\prime} v+q^{\prime} w \\
\beta=\frac{d v}{d t}-p^{\prime} w+r^{\prime} u \\
\gamma=\frac{d w}{d t}-q^{\prime} u+p^{\prime} v
\end{array}\right\}
\]

Количества движения точек динамической системы эквивалентны скользящему вектору ( $\xi, \eta, \zeta$ ), представляющему количество движения системы и проходящему через неподвижное начало координат $O$, и свободному вектору ( $\lambda, \mu,
u)$, представляющему момент количеств движения.

Изменение количества движения системы равно импульсу внешних сил, следовательно,
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}-r^{\prime} \eta+q^{\prime} \zeta=X, \\
\frac{d \eta}{d t}-p^{\prime} \zeta-r^{\prime} \xi=Y \\
\frac{d \zeta}{d t}-q^{\prime} \xi+p^{\prime} \eta=Z
\end{array}\right\}
\]

где $(X, Y, Z$ ) представляет главный вектор всех внешних сил системы.
Рассматривая изменение момента количеств движения, аналогичным образом получим уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \lambda}{d t}-r^{\prime} \mu-q^{\prime}
u=L \\
\frac{d \mu}{d t}-p^{\prime}
u+r^{\prime} \lambda=M \\
\frac{d
u}{d t}-q^{\prime} \lambda+p^{\prime} \mu=N
\end{array}\right\}
\]

где $L, M, N$ обозначают главные моменты внешних сил относительно осей координат.

Так как количество движения системы не зависит от положения точки $O$, то формулы (7) будут верны, даже если начало координат движется.

Уравнения же (8) с изменением положения точки $O$, вообще говоря, изменяются. Мы видели, однако, в гл. VI, что мы можем взять моменты относительно центра масс, считая его находящимся в покое. Следовательно, эти же уравнения будут иметь место, когда начало подвижной системы координат совпадает с шентром масс, $(\lambda, \mu,
u$ ) обозначает главный момент количеств движения относительно центра масс, а $(L, M, N)$ главный момент внешних сил относительно этой же точки.

Если начало координат имеет заданную скорость ( $\left.u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}\right)$, то уравнения (8) нужно изменить следующим образом. В момент времени $t+\delta t$ количество движения системы ( $\xi+d \xi, \eta+d \eta, \zeta+d \zeta$ ) представляет скользящий вектор, проходяций через новое положение начала координат. Следовательно, его момент относительно оси $x$ в ее первоначальном положении будет выражаться формулой
\[
\zeta \cdot v^{\prime} \delta t-\eta \cdot w^{\prime} \delta t
\]

в которой члены второго порядка опущены. Это выражение нижно добавить к количеству $\delta \lambda$. Таким путем мы найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \lambda}{d t}-r^{\prime} \mu+q^{\prime}-w^{\prime} \eta+v^{\prime} \zeta=L, \\
\frac{d \mu}{d t}-p^{\prime}
u+r^{\prime} \lambda-u^{\prime} \zeta+w^{\prime} \xi=M, \\
\frac{d
u}{d t}-q^{\prime} \lambda+p^{\prime} \mu-v^{\prime} \xi+u^{\prime} \eta=N
\end{array}\right\}
\]

Если начало движущейся системы координат совпадает всегда с центром масс, то мы имеем:
\[
\xi=M_{0} u^{\prime}, \quad \eta=M_{0} v^{\prime}, \quad \zeta=M_{0} w^{\prime},
\]

где $M_{0}$ означает массу всей системы. В этом случае уравнения (9) сводятся, как это и должно быть, к уравнениям (8).

Пример 1. В частном случае, когда начало координат и ось $z$ неподвижны, мы имеем $p^{\prime}=0, q^{\prime}=0, r^{\prime}=\omega$. Тогда уравнения (5) приводятся к таким:
\[
u=\dot{x}-\omega y, \quad v=\dot{y}+\omega x, \quad w=\dot{z} .
\]

Если угловая скорость ш постолнна, то компоненты ускорения будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha=\dot{u}-\omega v=\ddot{x}-2 \dot{\omega} y-\omega^{2} x, \\
\beta=\dot{v}+\omega u=\ddot{y}+2 \omega \dot{x}-\omega^{2} y, \\
w=\ddot{z} .
\end{array}\right\}
\]

Эти результаты нам ужө известны („Динамика\”, § 33).
ПримеР 2. Если оси неизменно связаны с движущимся твердым телом и совпадают с главными осями инерции, проходящими через начало координат, то мы имеем:
\[
\begin{array}{ll}
p^{\prime}=p, & q^{\prime}=q, \quad r^{\prime}=r, \\
\lambda=A p, \quad \mu=B q, \quad \vee=C r .
\end{array}
\]

Произведя подстановку в уравнения (8), мы получим уравнения Эйлера. Если внешних сил нет, то уравнения выражают, что вектор ( $A p, B q, C r$ ), представляющий момент количеств двнжения, не изменяет своего положения в пространстве ( $\$ 46,49$ ).

Применим к этому случаю обозначения векторного анализа. Пусть ОН ( $=\mathrm{H}$ ) будет вектор с началом в $O$, изображающий момент количеств движения, а ш пусть обозначает угловую скорость. Если бы точка $H$ двигалась если точка $H$ неподвижна в пространсгве, то мы имеем равевство
\[
\frac{d \mathrm{H}}{d t}=-[\omega \mathrm{H}],
\]

равносильное трем уравнениям Эйлера. Написав равенства:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{H} & =A p \mathbf{i}+B q \mathbf{j}+C r \mathbf{k}, \\
\omega & =p \mathbf{i}+q \mathbf{j}+r \mathbf{k},
\end{aligned}
\]

и произведя вычисления по формулам (10) из § 23 , мы получим обычные формулы в декартовых коодинатах.

ПримеР 3. Найти возможные спучаи установившегося (перманентного) вращения твердого тела около неподвижной точки $O$ при действии на тело только силы тяжести.

Так как по предположепию мгновенная ось вращения неизменно связана с телом, то она нешодвижна в пространстве. Далее легко видеть без всяких вычислений, что она должна совпадать с вертикалью.

Пусть координаты центра тяжести $G$ относительно главных осей, проходящих через $O$, будут ( $a, b, c$ ); пусть вектор ( $l, m, n$ ) определяет направление силы тяжести относительно тех же осей, Тогда, обозначив главные моменты инерции для точки $O$ через $A, B, C$, мы на оснсвании предположения $\dot{p}, \dot{q}, \dot{r}=0$ имеем
\[
\left.\begin{array}{rl}
(B-C) q r & =M g(n b-m c), \\
(C-A) r p & =M g(l c-n a), \\
(A-B) p q & =M g(m a-l b) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, так как направление $O G$ неподвижно в пространстве, то на основании (3) § 63 , мы получим:
\[
l=r m-q n, \quad \dot{m}=p n-r l, \quad \dot{n}=q l-p m .
\]

На основании первого из равенств (18) мы имеем: $\dot{n} b-\dot{m} c=0$, откуда, под ставив значения $\dot{m}, \dot{n}$ из (19), получим:
\[
p(l a+m b+n c)=l(p a+q b+r c) .
\]

Следовательно
\[
\frac{p}{l}=\frac{q}{m}=\frac{r}{n}=\omega,
\]

где $\omega$ обозначает результирующую угловую скорость. Таким образом, как уже было сказано раньше, ось вращения должна совпадать с вертикалью. На основании (18) мы теперь можем написать
\[
(B-C) a m n+(C-A) b n l+(A-B) c l m=0 .
\]

Это равенство показывает, что ось вращения должна быть образующей некоторой ковической поверхности второго порядка с вершиной в точке $O$. Эrа коническая поверхность проходит через главные оси, построенные для точки $O$, через линию $O G$ и через линию, имеющую уравнение
\[
x: y: z=\frac{a}{A}: \frac{b}{B}: \frac{c}{C} .
\]

Следовательно, она определяется этимн пятью образующимн.
Если тело повернуть так, чтобы одна из образующих (по нашему выбору) стала вертикальной, и затем привести тело во вращение около этой оси с надлежащей угловой скоростью, то тело будет вращаться, сохраняя эту скорость.
Угловая скорость определяется по одной из следующих формул:
\[
\omega^{2}=\frac{M g(n b-m c)}{(B-C) m n}=\frac{M g(l c-n a)}{(C-A) n l}=\frac{M g(m a-l b)}{(A-B) l m},
\]

которые на основании (18) равносильны одна другон. Если эти выражения отрицательны, то угловая скорость станет действнтельной после изменения на обратный знаков у $l, m, n$, чему соответствует перевертывание тела в смысле взаимного нзменения направлений вверх и вниз.

Вышеизложенная теория принадлежит Штауде [Staude (1894)], и рассматриваемый конус извсстен под его именеи. Конус Штауде является геометрическим местом линий, проходящих через $O$, каждая из которых служит главной осью инерции дхя векоторои сгсей точки.

В случае симметрни около оси ( $A=B, a=b=0$ ) конус (21) делается неопределенньм. Тут в сякая прямая, проходящая через точку $O$, может быть сделана осью перманентного вращения.