Иногда удобно отнести движение не абсолютно твердого тела или системы отдельных точек к системе подвижных осей, особенно когда изменения относительной конфигурации незначительны. Мы сперва остановимся на основных положениях, которыми мы будем руководствоваться при выборе осей и при определении характера движения. Конечно, начало координат мы возьмем в центре масс, так что нам придется рассматривать только движение относительно этой точки.

Один из методов выбора осей, напрашивающийся сам собой, заключается в нахождении минимума сумиы квадратов отклонений отдельных точек за короткий промежуток времени $\hat{\delta} t$ от того положения, которое точки занимали бы, если бы они были неизменно связаны с осями. Пусть вектор ( $p, q, r$ ) будет угловой скоростью наших движущихся осей $x, y, z$, а $u, v$, w пусть будут составляющие скоростей частиц $m$. Отклонение такой частицы в укаванном выше смысле имеет составляющие:
\[
(u-q z+r y) \delta t, \quad(v-r x+p z) \delta t, \quad(w-p y+q x) \delta t .
\]

Следовательно, если опустить множитель $\delta t^{2}$, то количество, минимум которого мы должны получить при изменении $p, q, r$, будет иметь вид:
\[
\Sigma m\left\{(u-q z+r y)^{2}+(v-r x+p z)^{2}+(w-p y+q x)^{2}\right\} .
\]

Кинетическая энергия выражается формулой:
\[
T=\frac{1}{2} \sum m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right),
\]

а составляющими момента количеств движения будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda=\sum m(y w-z v), \\
\mu=\sum m(z u-x w), \\

u=\sum m(x v-y u) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, выражение (2) эквивалентно такому:
\[
2 T+A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}-2 F q r-2 G r p-2 H p q-2(\lambda p+\mu q+
u r),
\]

при обычном обозначении коэфициентов инерции.
Таким образом условия для обращения в минимум количества (2), рассматриваемого как функция от $p, q, r$, будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{r}
A p-H q-G r=\lambda, \\
-H p+B q-F r=\mu, \\
-G p-F q+C r=\%
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения определяют мгновенные значения $p, q, r$, если известны значения $\lambda, \mu,
u$ и коэфициенты инерции. Следует заметить, что уравнения имеют такой ке вид как и в случае твердого тела (§31).

Оси, выбранные таким образом, чтобы удовлетворялись условия, ука занные выше, можно назвать „средними осями“. Конечно, их опреде ление возможно не одним только способом. Мы можем исходить в за. данный момент времени из лю бо й прямоугольной системы при условии что последующее движение будет управляться формулами (6).
Уравнения момента количеств движения имеют вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \lambda}{d t}-r \mu+q
u=L, \\
\frac{d \mu}{d t}-p
u+r \lambda=M, \\
\frac{d
u}{d t}-q \lambda+p \mu=N
\end{array}\right\}
\]

но при подстановке значений $\lambda$, $\mu$, и $
u$ из (6) нужно помнить, чтс величины $A, B, C, F, G, H$ теперь являются переменными.

Предыдущие уравнения дают возможность исследования свободной нутации (Эйлера) незначительно деформирующегося тела, которое в своем нормальном состоянии обладает кинетической (динамической) симметрией относительно оси. Предположим, что телу, находящемуся в состоянии установившегося вращения с угловой скоростью $n$ около оси кинетической симметрии, сообщено незначительное возмущение.

В возмущенном состоянии количества $p, q, F, G, H$ будут малыми, точно так же будут малыми и изменения главных моментов инерции и величины $r$. Следовательно, пренебрегая малыми величинами второго порядка, мы на основании (6) и (7) найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}+(C-A) n g-\frac{d G}{d t} n+F n^{2}=0 \\
A \frac{d q}{d t}-(C-A) n p-\frac{d F}{d t} n-G n^{2}=0
\end{array}\right\}
\]

Мы имеем в виду, главным образом, случай Земли, когда отношение $\frac{C-A}{A}$ мало, а период нутации, при гипотезе абсолютной твердости тела, в сравнении с $\frac{2 \pi}{n}$ большой (§ 47 ). Тогда можно принять, что произведения инерции $F$ и $G$, входящие в (8), имеют статические значения, обусловленные мгновєнной центробежной силой, хотя слегка изменєнной вследствие сил тяготения (притяжения) частиц деформируємого тела, стремящегося сохранить нормальное состояние.
„Цєнтробежный потенциал единицы массы тела, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ около оси $\left(l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}\right)$, выражается формулой
\[
\frac{1}{2} \omega^{2}\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}-\left(l^{\prime} x+m^{\prime} y+n^{\prime} z\right)^{2}\right\},
\]

и, если рассматриваемая ось почти совпадает с осью $z$, то пренебрегая малыми величинами второго порядка, мы получим выражение:
\[
\frac{1}{2} \omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-n(p x+q y) z .
\]

Первый член в этом выражении входит в формулы и в случае недеформированного состояния; можно предположить, что его влияние учитывается значениями $A$ и $C$. Следовательно, дяя возмущающего потенциала мы можем написать выражение
\[
V=-n(p x+q y) z .
\]

Если провести эквипотенциальные поверхности, соответствуюние разным значєниям $p$, то легко видеть, что при положительной величине $n$ составляющая $p$ угловой скорости стремится уменьшить значение $G$ и аналогично $q$ стремится уменьшить $F$. Следовательно, мы примем, как и при всяком грубом упрощснии условий,
\[
\left.F=-\beta n q, \quad G=-\beta n p^{1}\right),
\]

где $\beta$ означает положительную постоянную, зависящую от упругости материала, от распределения плотности, от постоянной тяготения, а также от размеров тела.

Пронзводя подстановку в (8), мы найдем, что эти уравнения можно заменить одним:
\[
\left(A+\beta n^{2}\right) \frac{d \zeta}{d t}-i\left(C-A-\beta n^{2}\right) n \zeta=0,
\]

где
\[
\dot{\zeta}=p+i q .
\]

Следовательно, приняв, что $\zeta$ изменяется пропорционально $e^{i s t}$, мы найдем:
\[
\frac{\sigma}{n}=\frac{C-A-\beta n^{2}}{A+\beta n^{2}} .
\]

Эта формула показываєт, что период, вследствие деформацин, удлиняется.
Если действуют внешние силы, момєнты которых относительно координатных осей равны $L, M, 0$, мы вместо (11) получим:
\[
\left(A+\beta n^{2}\right) \frac{d \zeta}{d t}-i\left(C-A-\beta n^{2}\right) n_{\zeta}^{\prime}=L+i M .
\]

Следовательно, если $L, M$ нзменяются пропорционально $e^{\text {ist }}$, то вынуждениые колебания будут происходить по фориуле:
\[
\zeta=\frac{i(L+i M)}{C n-\left(A+\beta n^{2}\right)(\sigma+n)} .
\]

Мы можем применить эти выводы к прецессии земной оси. Обратимся к фиг. 32, стр. 80 , где $B^{\prime}$ означает тот полюс большого круга $Z C$, который находится на стороне $A$. В срєднем действие солнца создает пару с моментом — $x \sin \omega \cos \omega$ около $O B^{\prime}$, где $\omega$ представляет наклон эклиптики, а х имеет тот же смысл, как и в (3) §62. Так как $\cos B^{\prime} A=\sin \varphi, \cos B^{\prime} B=\cos \varphi$, то мы с очень большим приближением имеем:
\[
L+i M=-\% \sin \omega \cos \omega(\sin \varphi+i \cos \varphi)=-i x \sin \omega \cos \omega e^{-i n t} .
\]

Следовательно, положив в (15) $\sigma=-n$, получим:
\[
\zeta=\frac{x}{C n} \sin \omega \cos \omega e^{-i n t},
\]

или
\[
p=\frac{x}{C n} \sin \omega \cos \omega \cos n t, \quad q=-\frac{x}{C n} \sin \omega \cos \omega \sin n t .
\]
1) Это подтверждаєтся более детальными иссиєдованиями. Cм. Love, Proc. R. S., т. 82, 1909.

Так как в эти формулы $\beta$ не входит, то движение мгновенной земной оси приблизительно такое же, как если бы Земия была абсолютно твердой.
Предессию мы найдем из (18), пользясь формулами §33. Именно
\[
\dot{\zeta}=\frac{q \sin \varphi-p \cos \varphi}{\sin \omega}=-\frac{x}{C n} \cos \omega,
\]

в полном совпадении с (6) $\S 62$.