Иногда удобно отнести движение не абсолютно твердого тела или системы отдельных точек к системе подвижных осей, особенно когда изменения относительной конфигурации незначительны. Мы сперва остановимся на основных положениях, которыми мы будем руководствоваться при выборе осей и при определении характера движения. Конечно, начало координат мы возьмем в центре масс, так что нам придется рассматривать только движение относительно этой точки.

Один из методов выбора осей, напрашивающийся сам собой, заключается в нахождении минимума сумиы квадратов отклонений отдельных точек за короткий промежуток времени $\hat{\delta }t$ от того положения, которое точки занимали бы, если бы они были неизменно связаны с осями. Пусть вектор ( $p,q,r$ ) будет угловой скоростью наших движущихся осей $x,y,z$, а $u,v$, w пусть будут составляющие скоростей частиц $m$. Отклонение такой частицы в укаванном выше смысле имеет составляющие:
$$(u-qz+ry)\delta t,(v-rx+pz)\delta t,(w-py+qx)\delta t.$$

Следовательно, если опустить множитель $\delta t^2$, то количество, минимум которого мы должны получить при изменении $p,q,r$, будет иметь вид:
$$\mathrm{\Sigma }m\{(u-qz+ry{)}^2+(v-rx+pz{)}^2+(w-py+qx{)}^2\}.$$

Кинетическая энергия выражается формулой:
$$T=\frac{1}{2}\sum m(u^2+v^2+w^2),$$

а составляющими момента количеств движения будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda=\sum m(y w-z v), \
\mu=\sum m(z u-x w), \

u=\sum m(x v-y u) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, выражение (2) эквивалентно такому:
$$2T+A{p}^2+B{q}^2+C{r}^2-2Fqr-2Grp-2Hpq-2(\lambda p+\mu q+ur),$$

при обычном обозначении коэфициентов инерции.
Таким образом условия для обращения в минимум количества (2), рассматриваемого как функция от $p,q,r$, будут иметь вид:
$$\begin{array}{r}Ap-Hq-Gr=\lambda ,\\ -Hp+Bq-Fr=\mu ,\\ -Gp-Fq+Cr=\mathrm{\%}\end{array}\}$$

Эти уравнения определяют мгновенные значения $p,q,r$, если известны значения $\lambda ,\mu ,u$ и коэфициенты инерции. Следует заметить, что уравнения имеют такой ке вид как и в случае твердого тела (§31).

Оси, выбранные таким образом, чтобы удовлетворялись условия, ука занные выше, можно назвать „средними осями“. Конечно, их опреде ление возможно не одним только способом. Мы можем исходить в за. данный момент времени из лю бо й прямоугольной системы при условии что последующее движение будет управляться формулами (6).
Уравнения момента количеств движения имеют вид:
$$\begin{array}{l}\frac{d\lambda }{dt}-r\mu +qu=L,\\ \frac{d\mu }{dt}-pu+r\lambda =M,\\ \frac{du}{dt}-q\lambda +p\mu =N\end{array}\}$$

но при подстановке значений $\lambda$, $\mu$, и $u$ из (6) нужно помнить, чтс величины $A,B,C,F,G,H$ теперь являются переменными.

Предыдущие уравнения дают возможность исследования свободной нутации (Эйлера) незначительно деформирующегося тела, которое в своем нормальном состоянии обладает кинетической (динамической) симметрией относительно оси. Предположим, что телу, находящемуся в состоянии установившегося вращения с угловой скоростью $n$ около оси кинетической симметрии, сообщено незначительное возмущение.

В возмущенном состоянии количества $p,q,F,G,H$ будут малыми, точно так же будут малыми и изменения главных моментов инерции и величины $r$. Следовательно, пренебрегая малыми величинами второго порядка, мы на основании (6) и (7) найдем:
$$\begin{array}{l}A\frac{dp}{dt}+(C-A)ng-\frac{dG}{dt}n+F{n}^2=0\\ A\frac{dq}{dt}-(C-A)np-\frac{dF}{dt}n-G{n}^2=0\end{array}\}$$

Мы имеем в виду, главным образом, случай Земли, когда отношение $\frac{C-A}{A}$ мало, а период нутации, при гипотезе абсолютной твердости тела, в сравнении с $\frac{2\pi }{n}$ большой (§ 47 ). Тогда можно принять, что произведения инерции $F$ и $G$, входящие в (8), имеют статические значения, обусловленные мгновєнной центробежной силой, хотя слегка изменєнной вследствие сил тяготения (притяжения) частиц деформируємого тела, стремящегося сохранить нормальное состояние.
„Цєнтробежный потенциал единицы массы тела, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ около оси $(l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime })$, выражается формулой
$$\frac{1}{2}{\omega }^2\{x^2+y^2+z^2-{(l^{\prime }x+m^{\prime }y+n^{\prime }z)}^2\},$$

и, если рассматриваемая ось почти совпадает с осью $z$, то пренебрегая малыми величинами второго порядка, мы получим выражение:
$$\frac{1}{2}{\omega }^2(x^2+y^2)-n(px+qy)z.$$

Первый член в этом выражении входит в формулы и в случае недеформированного состояния; можно предположить, что его влияние учитывается значениями $A$ и $C$. Следовательно, дяя возмущающего потенциала мы можем написать выражение
$$V=-n(px+qy)z.$$

Если провести эквипотенциальные поверхности, соответствуюние разным значєниям $p$, то легко видеть, что при положительной величине $n$ составляющая $p$ угловой скорости стремится уменьшить значение $G$ и аналогично $q$ стремится уменьшить $F$. Следовательно, мы примем, как и при всяком грубом упрощснии условий,
$$F=-\beta nq,G=-\beta n{p}^1),$$

где $\beta$ означает положительную постоянную, зависящую от упругости материала, от распределения плотности, от постоянной тяготения, а также от размеров тела.

Пронзводя подстановку в (8), мы найдем, что эти уравнения можно заменить одним:
$$(A+\beta n^2)\frac{d\zeta }{dt}-i(C-A-\beta n^2)n\zeta =0,$$

где
$$\dot{\zeta }=p+iq.$$

Следовательно, приняв, что $\zeta$ изменяется пропорционально $e^{ist}$, мы найдем:
$$\frac{\sigma }{n}=\frac{C-A-\beta n^2}{A+\beta n^2}.$$

Эта формула показываєт, что период, вследствие деформацин, удлиняется.
Если действуют внешние силы, момєнты которых относительно координатных осей равны $L,M,0$, мы вместо (11) получим:
$$(A+\beta n^2)\frac{d\zeta }{dt}-i(C-A-\beta n^2)n_{\zeta }^{\prime }=L+iM.$$

Следовательно, если $L,M$ нзменяются пропорционально $e^{\text{ist }}$, то вынуждениые колебания будут происходить по фориуле:
$$\zeta =\frac{i(L+iM)}{Cn-(A+\beta n^2)(\sigma +n)}.$$

Мы можем применить эти выводы к прецессии земной оси. Обратимся к фиг. 32, стр. 80 , где $B^{\prime }$ означает тот полюс большого круга $ZC$, который находится на стороне $A$. В срєднем действие солнца создает пару с моментом — $x\sin \omega \cos \omega$ около $O{B}^{\prime }$, где $\omega$ представляет наклон эклиптики, а х имеет тот же смысл, как и в (3) §62. Так как $\cos B^{\prime }A=\sin \phi ,\cos B^{\prime }B=\cos \phi$, то мы с очень большим приближением имеем:
$$L+iM=-\mathrm{\%}\sin \omega \cos \omega (\sin \phi +i\cos \phi )=-ix\sin \omega \cos \omega e^{-int}.$$

Следовательно, положив в (15) $\sigma =-n$, получим:
$$\zeta =\frac{x}{Cn}\sin \omega \cos \omega e^{-int},$$

или
$$p=\frac{x}{Cn}\sin \omega \cos \omega \cos nt,q=-\frac{x}{Cn}\sin \omega \cos \omega \sin nt.$$
1) Это подтверждаєтся более детальными иссиєдованиями. Cм. Love, Proc. R. S., т. 82, 1909.

Так как в эти формулы $\beta$ не входит, то движение мгновенной земной оси приблизительно такое же, как если бы Земия была абсолютно твердой.
Предессию мы найдем из (18), пользясь формулами §33. Именно
$$\dot{\zeta }=\frac{q\sin \phi -p\cos \phi }{\sin \omega }=-\frac{x}{Cn}\cos \omega ,$$

в полном совпадении с (6) $\mathrm{\S }62$.