111. Наименьшее действие и наименьшее время. Доказательство приюципа наименьшего дейтвия, приведенное в § 104, основывалось на формуле
\[
A=\Sigma \int m v^{2} d t
\]

где $t$– независимая переменная. Другой метод исходит из этой же формулы в другом виде:
\[
A=\sum \int m v d s
\]

где $v$ рассматривается как функция от дуги $s$, измеряемой вдоль траектории материальной точки $m$.

Этот метод в случае одной матзриальной точки можно значительно упростить; но, рассматривая сперва вопрос чисто геометрически, мы займемся интегралом
\[
I=\int_{A}^{B} \mu d s,
\]

где $\mu$ представляет данную функцию от $x, y, z$. Предполагается, что интеграл взят вдоль заданной траектории от одной фиксированной точки $A$ до другой $B$.

Если траектория между этими крайними точками несколько варьирована, то мы должны принять; что между точкой $P$ первоначальной траектории и точкой $P^{\prime}$ на варьированной траектории установлено некоторое соответствие, например, мы можем рассматривать дугу $A P^{\prime}$ как некоторую функцию от дуги $A P(=s)$; конечно, соответствие должно быть таким, чтобы точка $P^{\prime}$ совпадала с $B$, когда с этой же точкой $B$ совпадает и $P$. Пусть символ $\delta$ обозначает результат п рехода с одной траектории в соответствующую точку другой, тогда
\[
\delta I=\int_{A}^{B}(\hat{\partial} \mu d s+\mu \delta d s),
\]

и мы имеем:
\[
\delta \mu=\frac{\partial \mu}{\partial x} \delta x+\frac{\partial \mu}{\partial y} \delta y+\frac{\partial \mu}{\partial z} \delta z,
\]

так как
\[
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2},
\]

то
\[
\delta d s=x^{\prime} \delta d x+y^{\prime} \delta d y+z^{\prime} \delta d z,
\]

где штрих означает диференцирование по $s$.

Чтобы показать, что операции $d$ и $\delta$ коммутативны, обозначим через $P Q(=d s)$ элемент первоначальной траектории, а через $P^{\prime} Q^{\prime}(=d s+\delta d s)$ соответствующий элемент варьированной траектории. Как очевидное вектирное равенство мы имеем:
\[
P^{\prime} Q^{\prime}-P Q=Q Q^{\prime}-P P^{\prime},
\]

и, проектируя эти векторы на координатные оси, получим:
\[
\delta d x=d \delta x, \quad \delta d y=d \delta y, \quad \delta d z=d \delta z ;
\]

следовательно, из (6) будет вытекать формула
Фиг, 66.
\[
\delta d s=x^{\prime} d \delta x+y^{\prime} d \delta y+z^{\prime} d \delta z .
\]

Таким образом равенство (4) после интегрирования по частям примет вид:
\[
\begin{array}{r}
\delta I=\left[\mu\left(x^{\prime} \delta x+y^{\prime} \delta y+z^{\prime} \delta z\right)\right]_{A}^{B}+\int_{A}^{D}\left[\left\{\frac{\partial \mu}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial s}\left(\mu x^{\prime}\right)\right\} \delta x+\right. \\
\left.+\left\{\frac{\partial \mu}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial s}\left(\mu y^{\prime}\right)\right\} y+\left\{\frac{\partial \mu}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial s}\left(\mu z^{\prime}\right)\right\} \delta z\right] d s .
\end{array}
\]

Проинтегрированные члены на обоих концах пғомежутка интеграции обращаются в нуль. Так как $\delta x, \delta y, \delta z$ незасисимы, то мы имеем следующие условия того, что величина $\delta I$ для всех бесконечно малых вариаций траектории должна обращаться в нуль:
\[
\frac{\partial \mu}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial s}\left(\mu x^{\prime}\right), \quad \frac{\partial \mu}{\partial y}=\frac{\dot{\partial}}{\tilde{c} s}\left(\mu y^{\prime}\right), \quad \frac{\partial \mu}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial s}\left(\mu z^{\prime}\right) .
\]
1. Чтобы вывести принцип наименьшего действия, мы положим $\mu=m v$. Так как энергия не должна изменяться, то
\[
\frac{1}{2} m v^{2}+V=\text { const. }
\]

где $V$ означает потенциальную энергию материальной тсчки в какойлибо точке поля. Следовательно, если ( $X, Y, Z$ ) – сила, создаваемая полем, то
\[
X=-\frac{\partial V}{\partial x}=m v \frac{\partial v}{\partial x} \text { и т. д. }
\]

Таким образом условия (9) по умножении на $v$ дают:
\[
X=m v \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{m v^{2}}{\rho} \cdot \rho x^{\prime \prime}+m v \frac{\partial v}{\partial s} \cdot x^{\prime} \text { и т. д., }
\]

где $\rho$-главный радиус кривизны. Так как направляющие косинусы касательной к траектории будут $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, а направляющие косинусы главной нормали $p x^{\prime \prime}, p y^{\prime \prime}, p z^{\prime \prime}$, то уравнения (12), а следовательно, и условия (9), при свободном движении будут удовлетворяться (§35).

Формула (9) показывает также, что если конечная точка $B(x, y, z)$ будет подвижнои, то будем иметь:
\[
\frac{\partial I}{\partial x}=m v x^{\prime}, \quad \frac{\partial I}{\partial y}=m v y^{\prime}, \quad \frac{\partial I}{\partial z}=m v z^{\prime}
\]
[(10) § 106].
2. Теперь пусть $\mu=\frac{1}{v}$. Интеграл
\[
I=\int_{A}^{B} \frac{d s}{v}
\]

измеряет время при движении вдоль траектории. Возникает вопрос: по какой траектории от $A$ до $B$ должна двигаться материальная точка при заданной начальной энергии в заданном консервативном силовом поле, чтобы этот переход был выполнен в наименьшее возможное время. Подразумевается, что реакции связей не изменяют энергию и, следовательно, нормальны к траектории, как в случае материальной точки, скользящей в гладкой трубке.

Если мы положим $\mu=\frac{1}{v}$ и воспользуемся равенствами (11), то из условий (9) вытекают следующие равенства:
\[
X=m v \frac{\partial v}{\partial s} \cdot x^{\prime}-\frac{m v^{2}}{\rho} \cdot \rho x^{\prime \prime} \quad \text { и т. д. }
\]

Это дает нам соотношение:
\[
X x^{\prime}+Y y^{\prime}+Z z^{\prime}=m v \frac{\partial v}{\partial s},
\]

которое по предноложению выполняется. Но для нормальной силы в соприкасающейся плоскости мы имеем:
\[
\frac{m v^{2}}{\rho}=-\left(X \cdot \rho x^{\prime \prime}+Y \cdot \rho y^{\prime \prime}+Z \cdot \rho z^{\prime \prime}\right),
\]
т. е. реакция связи должна не только уравновешивать нормальную составляющую силы поля, но должна также. иметь дополнительную составляющую той же величины, действующую в обратном направлении ${ }^{1}$ ).

Следует добавить, что уравнения (9) на основании принципа ${ }_{n}$ наименьшего времени\”.(принцип Ферма) представляют диференциальные уравнения траектории светового луча в гетерогенной (неоднородноћ) среде с показателем преломления

ПРимер. Найти кривую наибыстрейшего ската под денствием силы тяжести, соединяющую две заданных точки.

Пусть $\psi$ означает угол, который касательная к траектории составляет с вертикальным направлением вниз. Проектируя на касательную, получим:
\[
\frac{\partial\left(v^{2}\right)}{\partial s}=2 g \cos \psi \text {. }
\]
1) Это общее свойство ,брахистохроны\”, как называют такую кривую, указано Эйлером (1744).

Так как нормальная равнодействующая сил должна быть равна и противопсложна нормальной составляющей силы тяжести, то
\[
v^{2}=g \sin \psi \frac{d s}{d \psi}
\]

откуда, исключив $v^{2}$, получим:
\[
\frac{d}{d \psi}\left(\sin \psi \frac{d s}{d \psi}\right)=2 \cos \psi \frac{d^{\prime} s}{d \Psi}
\]

или
\[
\sin \psi \frac{d^{2} s}{d \psi^{2}}=\cos \psi \frac{d s}{d \psi} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{d s}{d \psi}=C \sin \psi
\]

эта формула представляет характерное свойство циклоиды с горизонтальным основанием ${ }^{1}$ ). Так как на основании (19) $v^{2}=g C \sin ^{2} \psi$, то скорость в каждой точке должна быть равна скорости гадения с уровня основания. Так, если точка движется без начальной скорости, то ее начальное положение должно находиться в точке возврата.