Мы рассмотрим здесь некоторые вопросы статики гибкой нити в пространстве трех изиерений. Связанные с этим вопросом геометрические соотношения подобны тем, с которыми мы впоследствии встретимся в динамике точки (§35).

Рассмотрим элемент $P P^{\prime}(=\delta s)$ нити (фиг. 25). Силы натяжения $T$ и $T+\delta T$ в концах элемента, действующие в направлениях касатәльных в точках $P$ и $P^{\prime}$, могут быть приведены к одной силе и к паре, момент которой равен произведению $T+\delta T$ на кратчайшее расстояние между касательными. Это расстояние будет бесконечно малым коничеством третьего порядка, а потому парою сил в пределе мы пренебрегаем. Чтобы найти равнодействующую силу, проведем векторы $O K$ и $O K^{\prime}$, изображающие силы натяжения в точках $P$ и $P^{\prime}$. Равнодействующая представлена вектором $K K^{\prime}$. Опускаем перпендикуляр $K^{\prime} N$ на $O K$. Равнодействующая может быть разложена- на два вектора: $K N$ и $N K^{\prime}$, которые в пределе имеют величину $\delta T$ и $T \hat{з}$, где $\delta$ есть бесконечно малый угол $K O K^{\prime}$. Плоскость $K O K^{\prime}$, проходящая через две соседние касательные, совпадает в пределе с соприкасающейся плоскостью. Следовательно, силы натяжения сведутся в пределе к силе $\delta T$, действующей на элемент в направлении касательной, и к силе $T \hat{z}$, в направлении главной нормали. Обозначая через $\rho$ радиус кривизны в точке $P$, имеем $\delta \varepsilon=\frac{\delta \mathrm{s}}{\rho}$ и для нормальной составляющей силы натяжения можем написать выражение
\[
\frac{T \delta े s}{\rho} .
\]

Таким образом, если $F, G$ и $H$-составляющие внешних приложенных сил в направлении касательной, гләвной нормали и бинормали, то мы получим следующие уравнения:

или
\[
\frac{d T}{d s}=-F, \quad \frac{T}{\rho}=-G, \quad H=0 .
\]

Третье уравнение показывает, что равнодействующая приложенных внешних сил всегда лежит в соприкасающейся плоскости кривой

Из этого вытекает, например, что если гибкая нить нагянута на гладкой поверхности так, что единственными приложенными силами являются нормальные реакции поверхности, то соприкасающаяся плоскость той кривой, по которой нить изогнется, будет всегда заключать в себе нормаль к поверхности. Такое условие определяет геодезическую линию, т. е. линию кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности, не слишком удаленными друг от друга. Например, нить, натянутая на круглый цилиндр, принимает форму винтовой линии. Далее, так как $F=0$, то сила натяжения будет одна и та же во всех точках кривой.

Если мы имеем поверхность вращения, то направления реакций во всех точках встречают ось симметрии. Рассматривая произвольную конечную часть длины нити на поверхности, мы видим, что моменты сил натяжения, действующих на обоих концах нити, относительно оси равны и обратны по знаку. Если $r$-расстояние точки от оси, а угол, составляемый направлением нити с кругом широты, то мы имеем:
\[
T \cos \varphi \cdot r=\text { const. }
\]

или, так как $T$ постоянно,
\[
r \cos \varphi=a \cos \alpha,
\]

где $a$ и $\alpha$-какие-либо определенные значения $r$ и $९$. Следовательно, для каждой данной геодезической линии существует нижний предел для расстояния $r$. Например, геодезическая линия на эллипсоиде вращеяья, пересекающая экватор ( $r=a$ ) под углом $a$ лежит между двумя параллелями, которых она попеременно касается. Эти параллели имеют радиус, равный $a \cos \alpha$.

В случае нити или цепи, находящейся под действием силы тяжести и свободно висящей или лежащей на гладкой поверхности, мы имеем:
\[
F=-w \sin \psi
\]

где $w$-вес единицы длины, а $\psi$-угол наклона к горизонту.
Если ось $O Z$ мы проведем по вертикали вверх, то $\sin \psi=\frac{d z}{d s}$, и из равенства (1) мы выводим, что
\[
\frac{d T}{d s}=w \frac{d z}{d s} .
\]

Для однородной нити, как и в случае двух измерений получим:
\[
T=w z+C .
\]

В более общем случае, при сущесгвовании потенциальной энергии $V$ на единицу массы, мы найдем, обозначая через $\mu$ линейную плотность нити, что
\[
\frac{d T}{d s}=\mu \frac{d V}{d s^{\prime}},
\]
ц. следовательно, при постоянстве $\mu$ вдоль нити
\[
T=\mu V+C .
\]

Пример. Однородная тяжелая ннть лежит на гладком цилиндре (любой формы сечения) с вертикальными образющими. Рассматривая вертикальную составляющую всех сил, действующих на дуге $s$, отсчитываемой от самой нижней точки, мы найдем:
\[
T \sin \psi=w s .
\]

Из равенства (5) при соответствующем выборе начала координат имеем:
\[
T=w z .
\]

Мы получаем совершенно те же равенства, как и для нити, висящей в вертикальной плоскости. Из этого следует, что развертывая поверхность цилиндра на плоскость, мы для кривой изгиба нити получим обыкновенную цепную линию. Легко вывести обычные формулы, относящиеся к цепной линии. Так, из (C) и (9) мы получаем:
\[
s=z \operatorname{sir} \psi=z \frac{d z}{d s}
\]

откуда, интегрируя,
\[
z^{2}=s^{2}+a^{2} .
\]

Далее
\[
\cos ^{2} \psi=1-\frac{s^{2}}{z^{2}}=\frac{a^{2}}{z^{2}}
\]

или
\[
z=a \sec \psi .
\]

Сравнивая с равенством (10), получим:
\[
s=a \operatorname{tg} \psi .
\]

Обозпачая через $R \delta s$ реакцию на элемент $\delta$ цепи и проектируя силы на направленис нормали цилиндра, мы получим следующее уравненис:
\[
\frac{T \hat{\delta} s}{\rho} \cdot \cos \%=R \delta \hat{s},
\]

где $\chi$ – угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности. Обозначая через $p^{\prime}$ радиус кривизны нормального сечения поверхности, проведенного через касательную к кривой, мы аа основании теоремы Менье имеем:
\[
\rho=\rho^{\prime} \cos \%
\]

По теореме же Эйлера имеем даләе:
\[
\frac{1}{\rho^{\prime}}=\frac{\cos ^{2} \Psi}{\rho_{1}},
\]

где $\rho_{1}$ есть радиус кривизны поперечного сечения цияиндра,
Следовательно,
\[
R=\frac{T \cos ^{2} \psi}{\rho_{1}}
\]

отсюда на основании формул (9) и (12) вытекает, что для случая кругового цилиндра реакция на единкцу длины обратно пропорциональна натяжению нити.