Мы видели, что всякое перемещение твердого тела может быть сведено:
1) к чисто поступательному движению, при котором произвольно выбранная точка переходит из своего первоначального в конечное положение $O$, и
2) к вращению вокруг некоторой оси, проходящей через точку $O$.
Очевидно, что порядок, в котором следуют одно за другим эти перемещения, не имеет значения.
Направление и длина пути поступательного движения будут изменяться при выборе различных точек, но направление оси вращения и угол поворота не будут зависеть от этого выбора.
Существует семенство плоскостей
Фиг. 7. неизменно связанных с телом, остающихся параллельными своим первоначальным положениям, а именно семейство плоскостей, нормальных к оси вращения. Пусть $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$ обозначают произвольную фигуру на одной из этих плоскостей в начальном и конечном ее положениях. Простое поступательное движение, параллельное оси вращения, приведет фигуру $\sigma$ в плоскость фигуры $\sigma^{\prime}$. Пусть $\sigma^{\prime \prime}$ — это новое положение фигуры. Известно, что $\sigma^{\prime \prime}$ совмещается с $\sigma^{\prime}$ после некоторого вращения в своей плоскости вокруг определенной точки I (\»Статика“, § 14).
Отсюда следует, что в общем случае всякое перемещение твердого тела может быть сведено:
1) к переносу параллельно определенной оси,
2) к вращению вокруг этон оси ${ }^{1}$ ).
Перемещение получается такое же, как если бы тело было неизменно связано с гайкой, вращающейся на винте, резьба которого имеет надлежащий шаг. Простыми частными случаями общего перемещения являются: чистое вращение и чисто поступательный перенос тела. В последнем случае точка $I$, о которой мы говорили при выводе теоремы, лежит в бесконечности.
Существуют разные другие элементарные перемещения, на которые можно разложить общее перемещение твердого тела.
1) Эта теорема была доказана в 1830 г. Шалем (Chasles), известным своими работами по новой геометрии. Приводимое доказательство принадлежит Томсону и Тэту (Thomson, Tait).
Одним из таких наиболее интересных элементарных перемещений является „полуоборот“, т. е. вращение вокруг оси на два прямых угла ${ }^{1}$ ).
Это элементарное перемещение особенно просто тем, что достаточно указать ось вращения, направление же поворота безразлично.
Метод разложения перемещения на такие элементарные основан на следующих леммах:
1. Полуоборот вокруг оси а с последующим полуоборотом вокруг оси $b$, которая ей параллельна, равносилен поступательному перемещению вдоль направления (от $a$ к $b$ ) кратчайшего расстояния между осяии и на расстояние, равное удвоенной длине этого кратчайшего расстояния. Это ясно из рассмотрения перемещения, которое получает любая точка $P$ в плоскости ( $a, b$ ) (фиг. 8).
2. Полуоборот вокруг оси $a$ с последующим полуоборотом вокруг оси $b$, пересекающей ось $a$, равносилен повороту вокруг общего перпендикуляра к обеим осям на угол, равный удвоенному углу между ними, в направлении от оси $a$ к оси $b$. Доказывается подобно тому, как и в первом случае (фиг. 9).
3. Чтобы ‘найти результат последовательных полуоборотов вокруг двух осей $a$ и $b$, скрещивающихся, но не пересекающихся, проведем через точку $B$, находящуюся на оси $b$ на кратчайшем расстоянии $A B$ от оси $a$, ось $a^{\prime}$, параллельную оси $a$ (фиг. 10).
Не изменяя результата, мы можем добавить два полуоборота вокруг $a^{\prime}$. Полуоборот вокруг $a$ и последующий полуоборот вокруг $a^{\prime}$ дают перемещение
Положение двух произвольных скрещивающихся, но не пересекающихся осей определяется восемью элементами (параметрами), в то время как свободное твердое тело имеет только шесть степеней свободы. Следовательно, указанное решение возможно двояко бесконечным числом способов. Существенно только, чтобы оси $a$ и $b$ пересекали ось эквивалентного винтового движения под прямыми углами на соответствующем расстоянии и с соответствующим углом взаимного наклона.
