Предположим теперь, что начало координат взято в центре масс $G$ и что количества $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ представляют средние квадраты
1) Эта теория дана Ж. Бинэ [Binet (1816)].

расстояний материальных точек от главных диаметралыных плоскостей в этой точке. Эллипсоид (7) § 26 может быть назван „центральным эллипсоидом Бинэ\». Средний квадрат расстояний от какой-либо плоскости отличается от среднего квадрата расстояний от плоскости параллельной первой, но проходящей через $G$, на квадрат расстояния между этими плоскостями (\»Статика“, § 73). Поэтому момент инерции относительно плоскости, данной уравнением
\[
\lambda x+\mu y+
u z-p=0,
\]
будет равен $M\left(\tilde{\omega}^{2}+p^{2}\right)$, где $\tilde{\omega}^{2}$ определяется равенством (6) $\S 26$. Таким образом, обозначая этот момент инерции через $M f^{2}$, мы получим:
\[
f^{2}=p^{2}+a^{2} \lambda^{2}+b^{2} \mu^{2}+c^{2}
u^{2},
\]

или, иначе,
\[
p^{2}=\left(f^{2}-a^{2}\right) \lambda^{2}+\left(f^{2}-b^{2}\right) \mu^{2}+\left(f^{2}-c^{2}\right)
u^{2} .
\]

Это равенство показывает, что плоскости, относительно которых момент инерции имеет заданное значение $M f^{2}$, являются касательными плоскостями к поверхности
\[
\frac{x^{2}}{f^{2}-a^{2}}+\frac{y^{2}}{f^{2}-b^{2}}+\frac{z^{2}}{f^{2}-c^{2}}=1 .
\]

Поверхности, соответствующие различным значениям $f^{2}$, будут софокусными. Сверх того, полагая
\[
\theta=f^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2},
\]

мы приведем уравнение
(4) к виду:
\[
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}+\theta}+\frac{y^{2}}{\beta^{2}+\theta}+\frac{z^{2}}{\gamma^{2}+\theta}=1,
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$-радиусы инерции отюосительно главных осей, проходящих чере з центр масс $G$.

Различные поверхности второго порядка (6) являются софокусными гирационному эллипсоиду Мак-Куллаха для центра масс ( $\$ 25$ ). Из аналитической геометрии известно, что через всякую точку $P$ проходят три действительные софокусные поверхности системы, причем касательные плоскости, проведеннье к ним в точке $P$, взайно перпендикулярны.
Эти плоскости являются главными плоскостями инерции в точке $P$.
Действительно, рассмотрим касательную плоскость к однои из трех поверхностей, проходящих через точку $P$. Всякая другая плоскость, проходящая через $P$ под бесконєчно малым углом к первой, будет касательной плоскостью к бесконечно близкой поверхности второго порядка, размеры которой будут отличаться от размеров данной поверхности на бесконечно малье количества только второго порядка. Таким образом момент инерции относительно различных плоскостей, проходящих через $P$, имеет „стационарное\» (т. е. максимум или минимум) значение для данной поверхности второго порядка. Это свойство характеризует главную плоскость.

Главные оси инерции в точке $P$ являются, следовательно, нормалями к тем трем поверхностям второго порядка, софокусным с гирационным эллипсоидом, которые проходят через точку $P{ }^{1}$ ).

Если мы примем $(x, y, z)$ за значения координат точки $P$ в уравнении (6), то оно нам даст соответствующее уравнение для $\theta$, которое после приведения к одному знаменателю станет уравнением третьего порядка.

Обозначая через $r$ длину расстояния $G P$, через $\theta_{1}, \theta_{2}$ и $\theta_{3}$ корни этого уравнения, мы получим равенство:
\[
\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}\right)=r^{2}-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}\right) \text {. }
\]

Таким образом на основании принятого выше обозначения (5)
\[
f_{2}{ }^{2}+f_{3}{ }^{2}=\theta_{2}+\theta_{3}+2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=r^{2}-\theta_{1} \text {. }
\]

Квадраты радиусов инерции относительно главных осей в точке $P$ будут, следовательно, равны
\[
r^{2}-\theta_{1}, r^{2}-6_{2} \text { и } r^{2}-\theta_{3} .
\]