Преимущества вариационного метода Лагранжа не ограничиваются случаем, когда координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, которыми по предположению характеризуется конфигурация системы, являются все независимыми.

Мы можем с самого начала предположить, что они связаны $m$ соотношениями ( $m<n$ ):
\[
A\left(t, q, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=0, \quad B\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=0, \ldots .
\]

Их можно интерпретировать как уравнения, вводящие в систему, первоначально свободную, частичные связ. Вариации $\delta q_{r}$ в формулах (11) предыдущего параграфа теперь уже не будут независимыми, а будут связаны соотношениями:
\[
\sum_{r} \frac{\partial A}{\partial q_{r}} \delta q_{r}=0, \quad \sum_{r} \frac{\partial B}{\partial q_{r}} \delta q_{r}=0, \ldots
\]

Вводя для каждого из этих уравнений неопределенные множители $\lambda, \mu, \ldots$, будем иметь:
\[
\sum_{r}\left(\frac{d p_{r}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}-P_{r}-\lambda \frac{\partial A}{\partial q_{r}}-\mu \frac{\partial B}{\partial q_{r}}-\ldots\right) \delta q_{r}=0 .
\]

Как и в теории условного максимума и минимума мы можем предположить, что $\lambda, \mu, \ldots$ выбраны так, чтобы коэфициенты перед $m$ вариациями $\delta q_{r}$ из общего числа их $n$ обращались в нуль. Тогда остальные $n-m$ вариаций можно рассматривать, как независимые, так что каждый из коэфициентов, стоящих перед ними, должен обращаться в. нуль независимо от других. Таким путем мы получим $n$ уравнений типа:
\[
\frac{d p_{r}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=P_{r}+\lambda \frac{\partial A}{\partial q_{r}}+\mu \frac{\partial B}{\partial q_{r}}+\cdots
\]

Эти уравнения вместе с уравнениями (1) определят $n$ координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и $m$ множителей $\lambda, \mu, \ldots$

Пример 1. В качестве простого примера рассмотрим случай материальной точки, удерживаемой движущейся поверхностью
\[
\varphi(x, y, z, t)=0 .
\]

Уравнения движения будут иметь вид:
\[
m \ddot{x}=X+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad m \ddot{y}=Y+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad m \ddot{z}=Z+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z} .
\]

Если поверхность гладкая, то ее реакция, действующая на материальную точку, не войдет в число сил $X, Y, Z$, так как она не производит работы. В действительности реакция представлена неопределенным множителем $\lambda$, таким образом
\[
R=\lambda\left\{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right\} .
\]

Далее, может случиться, что, хотя на координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и не наложены связи, зависящие от времени, все же в зависимости от условий задачи могут быть наложены некоторые связи геометрического храктера на их вариации, например:
\[
\sum_{r}\left(A_{r} \delta q_{r}\right)=0, \quad \sum_{r}\left(B_{r} \delta q_{r}\right)=0, \ldots,
\]

где коэфициенты $A_{r}, B_{r}, \ldots$ являются функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и возможно от $t$. Предполагается, что эти равенства не интегрируются, иначе мы пол;или бы предыдущий случай.

Как и прежде, уравнения движения получатся, если воспользоваться неопределенными множителями. Таким образом
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=P_{r}+\lambda A_{r}+\mu B_{r}+\ldots
\]

Эти уравнения, а также условия, относящиеся к скорос ям и вытекающие из формул (8), а именно:
\[
\left.\sum_{r} A_{r} \dot{q}_{r}=0^{1}\right), \quad \sum_{z} B_{r} \dot{q}_{r}=0, \ldots
\]

определят координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и множители $\lambda, \mu, \ldots$.
Системы, связи которых имеют вид (1), названы Герцем ${ }^{2}$ ) „голономными\», подразумевая под этим, что связи выражаются в интегральной форме, а не в диференциальной. Для удобства математических выкладок мы путем исключения можем характеризовать любую возможную конфигурацию такой системы через $n-m$ независимых координат.

Системы, подчиненные неинтегрируемым условиям типа (8), называются \»неголономными “. Случаи такого рода могут встретиться, когда твердое
1) Если функции $A_{r}, B_{r}$, и т. д. зависят явно от $t$, то в соотношения (10) могут входить дополнительные слагаемые $A, B$ и т. д., как это необходимо имеет место для голономных связей, зависящих от $t$. Прим. ред.
2) H. Hertz (1857-1894), Prinzipien det Mechanik, Leipzig, 1894.

тело катится (без скольжения) по неподвижной или по движущейся поверхности.

Пример 2. Предположим, что твердое тело движется, соприкасаясь с гладкой горизонтальной плоскостью. Положение тела можно определить декартовыми координатами $x, y, z$ центра масс и эйлеровыми углами $\theta, \psi, \varphi$. Пусть $\theta$ измеряется от оси $z$, которую мы предноложим направленной вверх. Тогда будем иметь:
\[
2 T=2 T_{1}+M\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right) .
\]

и
\[
V=M g z
\]

где $T_{1}$ означает кинетическую энергию движения относительно центра масс и, следовательно, представляет функцию от эйлеровых углов и от соответствующих скоростей.
Геометрическое условие, выражающее контакт с плоскостью, имеет вид:
\[
z=f(\theta, \varphi) \text {. }
\]

Это-связь \»голономного“ типа; несущественно, исключим ли мы при помощи этого равенства $\boldsymbol{z}$ и $\dot{\boldsymbol{z}}$ и таким образом сведем число координат к пяти, или же мы сохраним все шесть коордннат и воспользуемся нєопределенными множителями. Рєзультаты, полученные этими двумя путями, будут совпадать.

ПРимеР 3. Если плоскость „шероховатая\» и, следовательно, движение твердого тела может быть только ,качением“, то координата $z$ может быть исключена, как и прежде, нQ то обстолтельство, что точка соприкосновения тела с плоскостью является мгновенным центром вращения (находится в покое), накладывает два дополнительных условия неинтегрируемого характера.

Чтобы дать достаточно простой пример, предположим, что наружная поверхность тела имеет форму сферы радиуса $a$ и что центр масс совпадает с геометрическим центром тела. Кроме того, предположим, что угол Эйлера $\psi$ отсчитывается от неподвижной плоскости $z x$.

При малом перемещении шар вращается около мгновенной оси, проходящей черєз точку соприкосновения. Бесконечно малая вариация координаты $\theta$ стр. 80). Компоненты этого перемещения, параллельные осям $x$ и $y$, соответ ственно будут $a \hat{\delta} \theta \cos \psi$ и $a \hat{\theta} \sin \psi$. Незначительное изменение одной координаты $\psi$ не изменит положения центра. Вектор вращения бор около $O C$ имеет горизонтальную составляющую оф $\sin \theta$, и если такое вращение сообщить около оси, проходящей через точку соприкосновения, то компоненты перемещения, параллельные осям $x, y$, соответственно будут $a \hat{\rho} p \sin \theta \sin \psi$ и — $a \hat{\varphi} \sin \theta \cos \psi$. Следовательно требуемые соотношения будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta x-a \cos \psi \hat{\partial} \theta-a \sin \theta \sin \psi \hat{\partial} \rho=0, \\
\delta y-a \sin \psi \hat{\partial} \theta+a_{\bullet}^{*} \sin \theta \cos \psi \bar{\phi} p=0 .
\end{array}\right\}
\]

Хотя задачи такого рода лучше решать другим путем, все же мы выпишем уравнения, пользуясь данным методом х предполагая, что шар, не обязательно однородный, имеет кинетическую симметрию относительно оси.
Тогда будем иметь:
\[
2 T=M\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+A\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\psi} 2\right)+C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\varphi})^{2},
\]
a $V$ будет гистоянной величиной. Рассматриваемый метод дает:
\[
M \ddot{x}=\lambda, \quad M \ddot{y}=\mu,
\]
\[
\ddot{A \theta}-A \sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}{ }^{2}+C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\varphi}) \sin \theta \dot{\psi}=-\lambda a \cos \dot{\psi}-\mu a \sin \psi,
\]

\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left\{A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+C \cos \theta(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi})\right\}=0, \\
\frac{d}{d t} C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi})=-i a \sin \theta \sin \psi+\mu a \sin \theta \cos \psi .
\end{array}
\]

Эти уравнения вместе с уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=a \cos \psi \dot{\theta}+a \sin \theta \sin \psi \dot{\varphi}, \\
\dot{y}=a \sin \psi \dot{\theta}-a \sin \theta \cos \psi \dot{\varphi}
\end{array}\right\}
\]

и будут уравнениями рассматриваемон задачи.
Уравнение (18) выражает постоянство момента количества движения тела относительно вертикального диаметра (§39). Количества $\lambda$, $\mu$ являются горизонтальными составляющими реакции, приложенной в точке соприкосновения.

Если бы мы подставили значения $\dot{x}$ и $\dot{y}$ из (20) в выражение для кинетической энергии, то получили бы:
\[
2 T=M a^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right)+A\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right)+C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi})^{2} .
\]

Эта формула правильна, но было бы неправильно пользоваться ею для вывода уравнений Лагранжа, так как координаты $\theta, \psi, \varphi$, которые только и входят явно, не определяют полностью положения тела.

Общее исследование предыдущих уравнений представило бы большие трудности и едга ли было бы интересным; мы ограничимся выводом условий для установившегося движения с постоянным углом накяона оси симметрии к вертикали.

Диференцируя уравнения (20) в предположении, что угол постоянный, на основании (16) получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda=M a \sin \theta(\sin \psi \ddot{\varphi}+\cos \psi \dot{\psi} \dot{\varphi}), \\
\mu=M a \sin \theta(-\cos \psi \ddot{\varphi}+\sin \psi \dot{\psi}) .
\end{array}\right\}
\]

Произведя подстановку в (17) и разделив на $\sin \theta \psi$, найдем:
\[
\dot{\varphi}=\frac{A-C}{G+M a^{2}} \cos \theta \dot{\psi}=m \dot{\psi} .
\]

Теперь уравнения (20) дадут нам:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=-m a \sin \theta \cos \psi+\alpha, \\
y=-m a \sin \theta \sin \psi+\beta .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом центр тела описывает круг радиуса
\[
m a \sin \theta=\frac{(A-C) a \sin \theta \cos \theta}{C+M a^{2}} .
\]