Движение тела в каждый момент времени может быть вполне определено и охарактеризовано вектором $O J$, отложенным вдоль мгновенной оси по длине пропорцко іальным угловой скорости и направленным таким образом, чтобы вращение совершалось в правом направлении относительно направления от $O$ к $J$ вдоль вектора.

С изменением времени $t$ конец $J$ вектора будет описывать две кривых; одну во вращающемся теле, а другую в пространстве. Эти кривые носят соответственно названия: „полодия“ (т. е. траектория полюса) и ${ }_{n}$ Рерполодия “.

Соответствущие этим двум кравым конусы, описываемые мгновенной осью вращения $O J$, называются конусами полодии и герполодии.

При всяком непрерывном движении тела около точки $O$ первый конус катится без скольжения по второму. Чтобы это показать, достаточно рассмотреть две сферические поверхности, описанные тем же радиусом около неподвижной точки $O$, из которых одна неизменно связана с телом и движется вместе с ним, а вторая остается неподвижной в пространстве. Точка пересечения оси OJ с этими поверхностями опишет две сферические кривые. Рассуждение, которое приводит к аналогичной теореме в кинематике на плоскости (\”Статика\”, § 16) может быть полностью воспроизведено и в данном случае. Оно показывает, что при непрерывном движении тела первая из этих кривых катится без скольжения по второй. При изучении некоторых важных вопросов встречается, случай, когда оба конуса являютя круглыми конусами вращения, а угловая скорость остается постоянной. Соответствующий тип движения называется „прецессионным “, так как астрономическое явление прецессии, или предварения равноденствий, является одним из главных его примеров.

На приложенных чертежах (фиг. 27,28 и 29 ) $O C$ – ось катящегося конуса, $O Z$ – ось неподвижного конуса, $O J$ – прямая касания обоих конусов. Обозначим через $\beta$ половину угла осевого сечения при вершине катящегося конуса, через $\alpha$ угол между его осью $O C$ и неподвижной осью $O Z$. Если $\psi$ есть угол, составляемый плоскостью $Z O C$ с какой-либо определенной неподвижной плоскостью, проходящей через $O Z$, то угловая скорость, с которою плоскость $Z O C$ вращается вокруг $O Z$, равна $\frac{d \psi}{d t}$ или $\dot{\psi}$.

Это количество определяет „скорость прецессии “. Для того чтобы найти соотношение, связывающее это количество с угловой скоростью $\omega$ вращения около $O J$, рассмотрим скорость точки на $O C$ на единице расстояния от $O$.

Эта скорость равна $\dot{\psi} \sin \alpha$ или также $\omega \sin \beta$, смотря по тому, как мы будем рассматривать движение этой точки, как связанное с вращением $\dot{\text { \& вокруг }} O Z$ или как вращенге $\omega$ около $O J$.

Таким образом, рассматривая $\dot{\psi}$ положительным или отрицательным в зависимости от того, происходит ли вращение вокруг $O Z$ в правом

или левом направлении, в случаях, представленных на фиг. 27 и 28 , мы имеем:
\[
\dot{\psi}=\omega \frac{\sin \beta}{\sin \alpha},
\]

II
\[
\dot{\psi}=-\omega \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}
\]

в случае, изображенном на фиг. 29.
Мы можем ограничиться одной формулой (1) и распространить ее на все случаи, если будем считать $\beta$ отрицательным, когда подвижной конус катится внутри неподвижного. Нам неојходимо в дальнейшем рассмотреть скорость, с которой игновенная ось вращения описывает конус внутри тела. Пусь $\chi$-угол, составляемый плоскостью JOC с какой-либо слределенной плоскостью, неизменно связанной с телом. Приравнивая элементы дуги обеих траекторий полюса (полодии и гәрполодии), которые являются в настоящем случае окружностями, мы получим (фиг. 27 и 28 ):
\[
\sin (\alpha-\beta) \delta \psi=-\sin \beta \delta \gamma,
\]

если предполагаем, что направление возрастания угла $\chi$ есть правое относительно $O C$. Отсюда мы выводим:
\[
\dot{\chi}=-\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin \beta} \dot{\psi}=-\omega \frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin \alpha} .
\]

Эта формула применима и к случаю, представленному на фиг. 29, если мы изменим знак $\beta$.

Фиг. 29 представляет случай астрономической прецессии, разумеется, с неизбежным искажением масштаба. $O Z$ представляет ось эклиптики, а $O C$ ось Земли. Наклонение (a) равно $23^{\circ 2} 28^{\prime}$, годовая прецессия приблизительно равна $50^{\prime \prime}$. Из равенства (1. мы получаем в секундах дуги
\[
\beta=\frac{50 \sin 23^{c} 28^{\prime}}{2 \pi \cdot 366,25}=0,0086 .
\]

Радиус Земли равен $6,37 \cdot 10^{8}$ см, следовательно конус полодии пересекает поверхность Земли по окружности с радиусом около 27 см.

Пример. Колесо с радиусом а катится по горизонтальной плэскости, имея постоянный наклон $\alpha$, в то же время центр колеса описывает окружность радиуса $C$ с угловой скоростью, равной $\psi$.

На приложенном чертеже (фиг. з0) $C$-центр колеса, $\mathrm{CO}$-его ось, $A$ – точка касания колеса, $N$ – центр окружности, описываемой центром $C$.

Так как $O$ является точкой, непсдвижной относительно колеса, то $O A$ является мгновенной осью вращения. Конус полодии описывается прямой $O A$ при вращении вокруг $O C$. Следовательно, угол $\beta$ определяется равенством:
\[
\operatorname{tg} \beta=\frac{a}{c} \sin \alpha .
\]

Конус герполодии образуется прямой $O A$ при вращении вокруг $O N$. Если $\omega$ есть угловая скорость колеса, то рассматривая движение точки $C$ как вращение вокруг $O A$, мы имеем
\[
\omega \sin \beta=-\dot{\psi} \sin \alpha,
\]

как и г равенстве (2). Скорость точки $C$ можно так же определить, как вызываемую ее вращением с угловой скоростью $\omega \cos \beta$ вокруг оси, проходящей через $A$ в направлении, нормальном к плоскости колеса, Следовательно,
\[
\omega \cos \beta=-\frac{\dot{c}}{a} \dot{\psi} .
\]

Последнее равенство можно также вывести из равенств (5) и (6). Оно дает выражение угловой скорости вғащения колеса вокруг своей оси. Скорость $\dot{\chi}$ движения точки касания вокруг колеса дается равенством
\[
a \dot{\chi}=(c+a \cos a) \dot{\psi},
\]

которое, как легко видеть, находится в согласии с равенством (4) при соответствующем изменении знака $\beta$.