Мы рассмотрим теперь случай колеса, катящегося по горизонтальной плоскости.

Пусть $G z$ (фиг. 58) будет нормаль к плоскости колеса, составляющая угол $\theta$ с вертикалью, а $G x$ проходит через точку соприкосновения. Если через $\psi$ обозначим азимут плоскости $z x$, то будем иметь
\[
p^{\prime}=-\sin \theta \dot{\psi}, \quad q^{\prime}=\hat{\theta}, \quad r^{\prime}=\cos \theta \dot{\psi} .
\]

Следовательно, рассматривая движение точки оси колеса, неподвижно связанной с ним, мы имеем:
\[
p=p^{\prime}, \quad q=q^{\prime} .
\]

Обозначив через ( $u, v, w$ ) скорость центра, будем иметь кинематические соотношения:
\[
u=0, \quad v=-a r, \quad w=a q,
\]

где $a$ означает радиус.
Уравнения количества движения $[\$ 63$, (7)] сводятся к следующим:
\[
\left.\begin{array}{l}
M\left(a r r^{\prime}+a q^{2}\right)=X+M g \sin \theta, \\
M(-a \dot{r}-a p q)=Y \\
M(a \dot{q}-a r p)=Z-M g \cos \theta
\end{array}\right\}
\]

где $X, Y, Z$ означают компоненты реакции плоскости.

Если главные моменты инерции для точки $G$ обозначить через $A, A, C$, то уравнения момента количеств движения примут вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A \dot{p}-A q r^{\prime}+C q r & =0, \\
A \dot{q}-C r p+A p r^{\prime} & =-Z a, \\
\dot{C r} & =Y a .
\end{array}\right\}
\]

Исключив $Y, Z$ и положив для краткости
\[
A^{\prime}=A+M a^{2}, \quad C^{\prime}=C+M a^{2},
\]

мы получим:
\[
A^{\prime} \dot{q}-C^{\prime} r p+A p r^{\prime}=-M g a \cos 0, C^{\prime} \dot{r}+M a^{2} p q=0 .
\]

Произведя подстановку из (1) в эти равенства, а также в первое из уравнений (5), мы найдем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A^{\prime} \ddot{\theta}-A \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}+C^{\prime} r \sin \theta \dot{\dot{u}} & =-M g a \cos \theta, \\
\frac{d}{d t}\left(A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right)-C r \dot{\theta} \sin \theta & =0, \\
C^{\prime} \dot{r}-M a^{2} \sin \theta \dot{\theta} \dot{\psi} & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Уравнения имеют сложный вид, но все же мы можем рассмотреть здесь одну или две задачи, относящиеся к слабо возмущенному установившемуся движению.

Если колесо катится по почти пряхой линии и плоскость колеса почти вертикальна, то мы положим $\theta=\frac{\pi}{2}+\chi$ и. предположим, что $\chi$ и чмалы. Пренебрегая членами второго порядка, имеем $\dot{r}=0$ пли $r=n$ и
\[
\left.\begin{array}{rl}
A^{\prime} \ddot{\chi}+C^{\prime} n \dot{\psi}-M g a \chi & =0, \\
A \ddot{\varphi}-C n \dot{\chi} & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Последнее уравнение дает
\[
A \dot{\psi}-C r \chi=\text { const. }
\]
\[
\left.\begin{array}{rl}
A^{\prime} \ddot{\chi}+C^{\prime} n \dot{\psi}-M g a \chi & =0, \\
A_{\dot{u}}-C n \dot{\chi} & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Последнее уравнение дает
\[
A \dot{\psi}-C n_{\alpha}=\text { const. }
\]

Следовательно, опуская постоянную, получим:
\[
A^{\prime} \ddot{\chi}+\left(\frac{C C^{\prime} n^{2}}{A}-M g a\right) \chi=0 .
\]

Величина $\chi$ изменяется по простому гармоническому закону, и, следовательно, установившееся движение является устойчивым при условии
\[
n^{2}>\frac{A M g a}{C C^{\prime}} \text {. }
\]

Таким образом в случае обруча условие будет иметь вид:
\[
n^{2}>\frac{1}{4} \frac{g}{a} .
\]

Если мы сохраним постоянную в (10), но предположим, что она мала, то соответствующее решение будет представлять колебание около положения установившегося движения, при которсм центр описывает круг очень большого радиуса.

Если колесо приведено во вращение около вертикального диаметра с угловой скоростью $\omega$, и его движение подвергнуто незначительному возмущению, то $\chi$ и $r$ нужно считать малыми. Уравнения (8) с известным приближением дадут:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A^{\prime} \ddot{\chi}+A \omega^{2} \chi+C^{\prime} \omega r-M g a_{\chi} & =0, \\
C^{\prime} \dot{r}-M a^{3} \omega \dot{\chi} & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Из последнего уравнения получим:
\[
C^{\prime} r=M a^{2} \omega \chi,
\]

причем постоянное слагаемое мы опустили. Следовательно,
\[
A^{\prime} \ddot{\chi}+\left(A^{\prime} \omega^{2}-M g a\right) \chi=0 .
\]

Для устойчивости мы должны иметь:
\[
\omega^{2}>\frac{M g a}{A^{\prime}} .
\]

В случае обруча это условие принимает вид:
\[
\omega^{2}>\frac{2}{3} \frac{g}{a} .
\]

Сохранение в (15) произвольной постоявной, имеющей незначительную величину, имело бы следствием только добавление небольших постоянных слагаемых к значениям $\chi$ и $r$.