Если материальная точка вынуждена находиться на данной совершенно гладкой поверхности и не находится под действием других сил кроме нормальной реакции $R^{\prime}$ поверхности, то, как прямое следствие изложенного выше, она будет описывать гедезическую линию, или линию кратчайшего расстояния, с постоянной
скоростью. Денствительно, ускорение может быть только нормальным, а следовательно, соприкасающаяся плоскость в точке $P$ должна заключать и нормаль к поверхности в этой точке.

Это – известное условие, определяющее геодезическую линию. Далее касательное ускорение равно нулю, а потому мы имеем $\frac{d v}{d t}=0$ или $v=$ const. Сила реакции определяется выражением:
\[
R^{\prime}=\frac{m v^{2}}{\rho},
\]

где $m$ есть масса точки. Следовательно, реакция пропорциональна кривизне пути.

В общем случае движение точки по поверхности удобнее относить к осям координат, имеющим следующие направления: 1) касательной $P T$ к траектории, 2) перпендикуляра к $P T$, восставленного в касательной плоскости, 3) нормали к поверхности. Для определенности предположим, что положительные направления эткх прямых образуют правую систему координат. Построим ортогональные проекции касательной $P^{\prime} T^{\prime}$ в соседней точке траектории на две плоскости: одну на плсскость, нормальную к поверхности и проходяшую через $P T$, и другую на касательную плоскость в рассматриваемой точке $P$ поверхности. Пусть $\delta z^{\prime}$ и $\delta \chi$ – углы, которые составляют с касательной $P T$ соответственно обе указанных проекции прямой $P^{\prime} T^{\prime}$. Приращения скорости за промежуток времени $\delta t$ вдоль осей принятой системы координат будут соответственно равны:
\[
\delta v, v \hat{\jmath} \%, v \hat{e^{\prime}} .
\]

Следовательно, составляющие вдоль тех же осей ускорения точки будут равны:
\[
\frac{d v}{d t}, v \frac{d \chi}{d t}, v \frac{d \varepsilon^{\prime}}{d t} .
\]

Пусть $\rho^{\prime}$ и $\sigma$-радиусы кривизны проекций траектории в точке $P$ на нормальную и на касательную поскость. Мы имеем:
\[
\left.\frac{1}{\rho^{\prime}}=\frac{d \mathrm{e}^{\prime}}{d s}, \frac{1}{\sigma}=\frac{d \chi}{d s} 1\right) .
\]

Таким образом можно написать выражения (2) в следующем виде:
\[
\frac{d v}{d t}, \frac{v^{2}}{\sigma}, \frac{v^{2}}{\rho^{\prime}} .
\]
1) б есть так называемыи радиус геодезической кривизны. Кривизна $\frac{1}{\sigma}$ характеризует скорость, с которой траектория отклоняется от геодезической линии, проходящей через $P$. В связи с этим величину $\frac{1}{\sigma}$ можно назвать боковой кривизной траектории.

Конечно, остается в силе и выражение
\[
v \frac{d v}{d s}
\]

для касательного ускорения.
Эти выводы можно сделаж, исходя также и из соображений § 35 . Пусть $\varphi$ – угол между нормалью к поверхности в точке $P$ и соприкасающейся плоскостью траектории; составляющие ускорения будут равны:
\[
\frac{d v}{d t}, \frac{v^{2}}{\rho} \sin \varphi, \frac{v^{2}}{\rho} \cos \varphi .
\]

На основании известных формул:
\[
p=p^{\prime} \cos \varphi, \sigma=\frac{p}{\sin \varphi},
\]

мы и получаем выражения (4).
Чтобы получить уравнения движения точки с массой $m$, мы должны разложить все приложенные к ней силы (кроме реакции $R^{\prime}$ ) на три силы $P, Q$ и $R$ по трем направлениям вдоль касательной к траектории, вдоль нормали, лежащей в касательной плоскости и вдоль нормали к поверхности. Мы получаем таким образом:
\[
m v \frac{d v}{d s}=P, \frac{m v^{2}}{\sigma}=Q, \frac{m v^{2}}{\rho^{\prime}}=R+R^{\prime} .
\]

Из первого уравнения, как и при движении в плоскости, мы выводим:
\[
\frac{1}{2} m v^{2}=\int P d s+\text { const. }
\]
т. е. уравнение энергии, так как $P$ есть единственная составляющая сил, производящая работу. Определив $v$ из первого уравнения, мы находим $\sigma$ из второго. Наконец, третье уравнение определяет реакцию $R^{\prime}$.