Мы видели, что при отсутствии внешних сил вектор, представляющий моменг количеств движения системы относительно центра массы $G$, остается неизменным по величине и направлению. Прямая, проведенная через $G$ в этом направлении, называется неизменяемой прямой, а плоскость, нормальная к этому направлению, проходящая через $G$, называется нелзменяемой плоскостью.

Так, если в некоторый момент времени даны конфигурация и скорости всех частей солнечной системы, то они определят неподвижную плоскость, которая будет сохранять то же динамическое свойство и во все последующие моменты времени, во всяком случае в пределах возможности пренебрежения притяжением отдаленных звезд.

Эта неизменяемая плоскость была предложена Лапласом и др. в качестве неподвижной координатной плоскости при рассмотрении вековых возмущений вместо плоскости эклиптики (т. е. плоскости орбиты Земли), так как положение последней испытывает постоянные небольшие возмущения.

Те же заключения относительно неизменности момента количеств движения относительно центра массы $G$ можно сделатъ даже при наличии внешних сил, если их момент относительно $G$ равен нулю. Оно было бы, например, приложимо к совокулности частиц, движущихся под действием силы тяжести, если џренебречь сопротивлением воздуха.

Мы сейчас займемся рассмотрением движения твердого тѐла при только что указанном условии. То же самое исследование приложимо к случаю твердого тела, вращающегося около неподвижной точки $O$, отличной от центра масс, если момент внешних сил (включая реакции связей) относительно этой точки равен нулю. Но этот случай вряд ли имеет практическое значение.

Как уже было указано в $\S 42$, при сделанном предположении энергия вращения будет постоянной. Обозначая ее через $T$, мы получим равенство
\[
2 T=I \omega^{2}=M \varepsilon^{4} \cdot \frac{\omega^{2}}{\rho^{2}},
\]

где $\omega$ есть угловая скорость, $I$-момент инерции относительно мгновенной оси вращения, а $\rho$-соответствующий радиус-вектор эллипсоида инерции :
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=M \mathrm{e}^{4} .
\]

Таким образом с изменяется пропорционально $\rho$.
Далее касательная плоскость к эллипсоиду инерции в конце $J$ радиуса $\rho$, согласно сказанному в § 30 , нормальна к неизменяемой прямой, а потому она сохраняет неизменное направление.

Пусть $\tilde{\omega}$-расстояние ее от центра $O$ эллипсоида, $H$-главный момент количеств движения. Определяя момент количеств движения относительно $O J$, мы получаем равенство:
\[
H \frac{\tilde{\omega}}{\rho}=I \omega=\frac{M \varepsilon^{4} \omega}{\rho^{2}}, \quad \tilde{\omega}=\frac{M \varepsilon^{4}}{H} \cdot \frac{\omega}{\rho} .
\]

Величина $\tilde{\omega}$ остается постоянной, так как $H$ не меняется, а $\omega$ пропорциональна $\rho$. Следовательно, касательная плоскость в точке $J$ не изменяет своего положения.

Таким образом мы можем дать полное представление о последовательном ходе движения, если мы представим себе, что эллипсоид инерции, имея свой центр закрепленным и находясь всегда в соприкосновении с некоторой неподвижной плоскостью, катится вместе с телом, которое с ним неизменно связано, по этой плоскости с угловой скоростью, пропорциональной в каждый момент времени радиусу $O J$, проведенному в точку касания $J$. Эта замечательная теорема была дана Пуансо $^{1}$ ).

Так как вектор $O J$ представляет в некотором масштабе угловую скорость тела, то кривая, описываемая точкою $J$ на эллипсоиде, есть полодия $\S 29$, а кривая, описываемая на плоскости, герполодия. Конусы, описываемые радиусом $O J$ в теле и в пространстве, носят подобные же названия ${ }^{2}$ ).