Мы примем, как обычно, правую прямоугольную систему координат. Пусть $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$, $\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right), \ldots$ будут координаты точек $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots$, соответственно лежащих .на прямых, по которым направлены силы системы. Силы эти
Фиг. 20.

могут біть заданы своими составляющими по осям координат. Пусть $X_{1} Y_{1} Z_{1}$ — составляющие силы, приложенной к $P_{1}, X_{2} Y_{2} Z_{2}$ — составляющие силы, приложенной к $P_{2}$ и т. д. Опустим перпендикуляры: $P_{1} H$ на плоскость ( $z x$ ) и $H K$ на ось $\mathrm{Oz}$. Если мы приложим вдоль прямой $H K$ две равные и обратно направленные силы, равные $\pm X_{1}$, мы найдем, что сила $X_{1}$, действующая в точке $P_{1}$ по направлению $O X$; эквивалентна равной и параллельной силе $X_{1}^{1}$, действующей вдоль $H K$, и паре с моментом — $y_{1} X_{1}$, направленным вдоль оси Oz. C другой стороны, вводя равные и противоположные силы $\pm X_{1}$, действующие по оси $O X$, мы увидим, что сила $X_{1}$ действующая по $K H$ эквивалентна равной и $\qquad$
1) Это следует из гидростатических принципов, но интересно и чисто статическое доказательство.

параллельной силе $X_{1}$ действющей по $O x$ и паре с моментом $z_{1} X_{1}$, направленным вдоль $O y$.

Таким способом мы можем перенести силу $X_{1}$ из точки приложения $P_{1}$ в точку $O$, если одновременно мы введем две пары с моментами $z_{1} X_{1}$ и $y_{1} X_{1}$ соответственно относятельно осей $O y$ и $O z$. Тем же способом могут быть перенесены в точку $O$ и силы $Y_{1}$ и $Z_{1}$.

Мы видим, таким образом, что сила ( $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ ) может быть перенесена параллельно самой себе в точку $O$, если мы \»введем при этом пары сил с моментами относительно осен $O x, O y$ и $O z$ соответственно равными:
\[
L_{1}=y_{1} Z_{1}-z_{1} Y_{1}, \quad M_{1}=z_{1} X_{1}-x_{1} Z_{1}, \quad N_{1}=x_{1} Y_{1}-y_{1}^{\prime} X_{1} .
\]

Следует при этом заметить, что эти моменты равны моментам первоначальной силы, приложенной к $P_{1}$, относительно осей координат.

Перенося таким же образом последовательно все силы системы, мы получим одну силу $S$, приложенную к точке $O$ с составляющими
\[
P=\Sigma(X), Q=\Sigma(Y) \text { и } \quad R=\Sigma^{\prime}(Z),
\]

и пару сил с моментами относительно осей координат равными:
\[
L=\Sigma(y Z-z Y), \quad M=\Sigma(z X-x Z), \quad N=\Sigma(x Y-y X) .
\]

Так как $P, Q, R$ являются проекциями $S$ на прямоугольные оси, то, на основании сказанного в $\S 17$, мы имеем:

и точно так же
\[
\begin{array}{l}
S^{2}=P^{2}+Q^{2}+R^{2}, \\
G^{2}=L^{2}+M^{2}+N^{2} .
\end{array}
\]

Для равновесия мы должны иметь $S=0$ и $G=0$, что приводит к шести условиям:
\[
P=0, Q=0, \quad R=0, L=0, \quad M=0, \quad N=0 .
\]

Иначе говоря: сумма составляющих всех сил системы по каждому из трех взаимно перпендикулярных направлений должна при равновесии равняться нулю и сумма моментов сил относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей должна также равняться нулю.

Если при подобном приведении мы возьмем начало- координат в точке $O^{\prime}$ вместо точки $O$, то результат будет отличаться только тем, что вместо координат, например, $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ точки $P_{1}$ и т. д. мы должны будем ввести новые относительные координаты:
\[
\left(x_{1}-x^{\prime}, \quad y_{1}-y^{\prime}, \quad z_{1}-z^{\prime}\right) \text { и т. д., }
\]

где $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ — координаты точки $O^{\prime}$ относительно прежней системы с началом в $O$.

Составляющие $P, Q, R$ силы $S$ останутся без изменения. Что же касается новых моментов, то они будут выражаться формулами:
\[
L^{\prime}=\Sigma\left\{\left(y-y^{\prime}\right) Z-\left(z-z^{\prime}\right) Y\right\}=\Sigma(y Z-z Y)-y^{\prime} \Sigma(Z)+z^{\prime} \Sigma(Y)^{\prime}
\]

и т. д.

Таким образом
\[
\begin{aligned}
L^{\prime} & =L-\left(y^{\prime} R-z^{\prime} Q\right) \\
M^{\prime} & =M-\left(z^{\prime} P-x^{\prime} R\right) \\
N^{\prime} & =N-\left(x^{\prime} Q-y^{\prime} P\right) .
\end{aligned}
\]

Соответствующим выбором нового начала $O^{\prime}$ мы можем сделать плоскость пары нормальной к направлению силы $S$.
Условиями для этого будут следующие равенства:
\[
\frac{L^{\prime}}{P}=\frac{M^{\prime}}{Q}=\frac{N^{\prime}}{R},
\]

или
\[
\frac{L-y^{\prime} R+z^{\prime} Q}{P}=\frac{M-z^{\prime} P+x^{\prime} R}{Q}=\frac{N-x^{\prime} Q+y^{\prime} P}{R} .
\]

Это уравнения центральной оси системы.
Направляющие косинусы $S$ равны: $\frac{P}{S}, \frac{Q}{S}$ и $\frac{R}{S}$, поэтому момент пары относительно центральной оси равен
\[
\frac{L^{\prime} P+M^{\prime} Q+N^{\prime} R}{S},
\]

а параметр эквивалентной динамы ( $\$ 15$ ) равен, следовательно,
\[
\tilde{\omega}=\frac{L P+M Q+N R}{P^{2}+Q^{2}+R^{2}} .
\]

Совершенно так же, как в § 9 , мы находим, что
\[
P^{2}+Q^{2}+R^{2} \quad \text { и⿻ }^{*} L P+M Q+N R
\]

являются абсолютными инвариантами.
Формальная аналогия полученных выражений с теми, которые приведены в § 9, является примером той аналогии, о которой мы говорили в начале $\S 6$.

Пример 1. Мы можем упомянуть о приложении теории к случаю параллельных сил, хотя результат и является простой проверкой известной теоремы (\»Статика\», § 22, 65).
Если силы $F_{1}, F_{2}, \ldots$ имеют направление $(l, m, n$ ), то мы имеем:
\[
X_{1}=l F_{1}, \quad Y_{1}=m F_{1}: \quad Z_{1}=n F_{1} \quad \text { и т. д. }
\]

Далее находим:
\[
\begin{array}{c}
P=l \Sigma(F), \quad Q=m \Sigma(F), \quad R=n \Sigma(F), \\
L=(n \bar{y}-m \bar{z}) \sum(F), M=(l \bar{z}-n \bar{x}) \Sigma(F), N=(\dot{m} \bar{x}-l \bar{y}) \sum(F),
\end{array}
\]

где
\[
\bar{x}=\frac{\Sigma(F x)}{\Sigma(F)}, \quad \bar{y}=\frac{\Sigma(F y)}{\Sigma(F)}, \quad \bar{z}=\frac{\Sigma(F z)}{\Sigma(F)} .
\]

Результат равносилен действию одной силы $\sum(F)$, приложенной к точке $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$, положение которой не зависит от направления $(l, m, n)$ параллельных сил.

Исключением является случай, когда $\sum(F)=0$ : система или приводится тогда к паре сил, или находится в равновесии.

Пример 2. Определить пару сил стносительно центра масс твердого тела, вызываемую притяжением отдаленной материальной точки массы $M_{0}$. Принимая центр мсс за начало координат, обозначим через $(\xi, \eta, \zeta$ ) координаты любой материальной точки тела с массою $m$.
В таком случае мы имеем (\»Статика\», § 73):
\[
\sum(m \xi)=0, \quad \sum\left(m_{i}\right)=0, \quad \sum\left(m_{\eta}^{\gamma}\right)=0 .
\]

Обозначая через $y$ постоянную притяжения ( „Динамика“, $\S 74$ ), а через $(x, y, z)$ координаты притягивающей точки $M_{0}$ мы получим следующее выражение для силы взаимного притяжения точек $M_{0}$ и $\mathrm{m}$ :
\[
\frac{\gamma M_{0} m}{p^{2}},
\]

где
\[
p^{2}=(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}+(z-\xi)^{2} .
\]

Направляющие косинусы линии действия силы равны
\[
\frac{(x-\xi)}{\rho}, \quad \frac{(y-\eta)}{\rho}, \quad \frac{(z-\zeta)}{\rho} .
\]

Момент силы относительно оси $O x$ равен, следовательно,
\[
\frac{\gamma M_{0} m}{\rho^{3}}\{y(z-\zeta)-z(y-\eta)\}=\frac{\gamma M_{0} m}{\rho^{3}}\left(z \eta-y^{\varphi}\right) .
\]

Если обозначим через $r$ расстояние точки $M_{0}$ от начала координат, так что
\[
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\]

то из выражения (16) будем иметь:
\[
\frac{1}{p^{3}}=\frac{1}{r^{3}}\left\{1-\frac{2(x \xi+y \eta+z \zeta)}{r^{2}}+\ldots\right\}^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{r^{3}}+\frac{3\left(x \xi+y \eta+z^{\gamma}\right)}{r^{5}}+\ldots
\]

Мы предположим, что $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ настольхо малы по сравнению с $r$, что можно пренебречь не написанными членами рєззложения.

В гл. IV будет показано, что существует одна система ортогональных осей, проходящих через начало, при которой
\[
\sum(m ; \zeta)=0, \quad \sum(m \zeta \xi)=0, \quad \sum\left(m \xi r_{i}\right)=0 . !
\]

Эти оси называются \»главными осями инерции\» относительно точки $O$. Принимая их за оси координат, подставим значение (19) в выражение (17) для момента и, суммируя по всем точкам $m$ \»тела, мы для полного момента относительно оси $O x$ получим следующее выражение:
\[
L=\frac{3 \gamma M_{0}}{r^{5}}\left\{\sum\left(m \gamma^{2}\right)-\sum\left(m \zeta^{2}\right)\right\} y z .
\]

Принимая обоз̀начения, которыми мы будем пользоваться в гл. IV, положим:
\[
\left.A=\sum m\left(\tau^{2}+\xi^{2}\right), \quad B=\sum m \xi^{2}+\xi^{2}\right), \quad C-\sum m\left(\xi^{2}+r^{2}\right) .
\]

Это — так называемые „моменты инерции\» тела относительно главных осей инерции в точке $O$.

Таким путем, пользуясь указанными обозначениями, мы получим искомые составляющие момента пары:
\[
L=\frac{3 \gamma M_{0}}{r^{5}}(C-B) y z, \quad M=\frac{3 \gamma M_{0}}{r^{5}}(A-C) z x, \quad N=\frac{3 \gamma M_{0}}{r^{5}}(B-A) x y .
\]

Эти составляющие не равны нулю, если только притягивающая точка не лежит на одной из главных осей инерцик.

Если тело симметрично относительно какой-либо оси (как, например, Земля), то, принимая ось симметрии за ось $O z$, мы получим $A=B$ и $N=0$. Плоскость пары будет проходить, очеввдно, через ось симметрии и притягивающую точку $M_{0}$. Обозначим через $\theta$ угол оси симметрии с направлением $O M_{0}$; тогда, полагая
\[
y=0, \quad z=r \cdot \cos \theta, \quad x=r \sin \theta,
\]

мы получим следующее выражение для момента пары, стремящейся увеличить угол $\theta$ :
\[
\frac{3 \gamma M_{0}}{r^{3}}(C-A) \sin \theta \cos \theta .
\]

Это выражение понадобится нам в теории прецессии (§ 61).
ПримеР 3. Если ( $l, m, n, p, q, r)$—координаты прямой (§10), то составляющие динамы, эквивалентной силе $F$, действующей вдоль прямой, будут равны
\[
l F, m F, n F, p F, q F, r F \text {. }
\]

Условия, необходимые для того, чтобы шесть сил $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{6}$, направленных вдоль шести прямых были в равновесии, будут выражаться уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{c}
l_{1} F_{1}+l_{2} F_{2}+\ldots+l_{6} F_{6}=0 \\
m_{1} F_{1}+m_{2} F_{2}+\ldots+m_{6} F_{6}=0 \\
\cdot: \cdot \cdot+r_{6} F_{6}=0 . \\
r_{1} F_{1}+r_{2} F_{2}+\ldots+r_{1}
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения дают $F_{1}=0, F_{2}=0, \ldots, F_{6}=0$, если только не равен нулю оп ределитель системы, т. е. если
\[
\left|\begin{array}{cccc}
l_{1} & l_{2} & \ldots & l_{6} \\
m_{1} & m_{2} & \ldots & m_{6} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdot \\
r_{1} & r_{2} & \ldots & r_{6}
\end{array}\right|
eq 0
\]

На основании сказанного в § 10 [равенство (5)] мы видим, что в последнем случае шесть личий действия сил должны принадлежать к одному и тому же линейному комплексу. Таково, например, условие, необходимое для того, чтобы система шести шарнирных стержней, соединяющих жесткое сооружение с земной поверхностью, могла быть самонапряженной. Если эти у словия выполнены, то всякие приложенные к сооружению силы создадут в опорах статически неопределимые напряжения.

Теория сложения динам совершенно аналогична геометрической теории сложения винтовых перемещений. Например, две динамы данных типов, но произвольной величины равносильны динаме с осью, принадлежащей определенному цилиндроиду. Бесполезно повторять анализ, уже приведенный выше.