Мы примем, как обычно, правую прямоугольную систему координат. Пусть $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3),\dots$ будут координаты точек $P_1,P_2,P_3,\dots$, соответственно лежащих .на прямых, по которым направлены силы системы. Силы эти
Фиг. 20.

могут біть заданы своими составляющими по осям координат. Пусть $X_1{Y}_1{Z}_1$ — составляющие силы, приложенной к $P_1,X_2{Y}_2{Z}_2$ — составляющие силы, приложенной к $P_2$ и т. д. Опустим перпендикуляры: $P_{1}H$ на плоскость ( $zx$ ) и $HK$ на ось $\mathrm{Oz}$. Если мы приложим вдоль прямой $HK$ две равные и обратно направленные силы, равные $\pm X_1$, мы найдем, что сила $X_1$, действующая в точке $P_1$ по направлению $OX$; эквивалентна равной и параллельной силе $X_1^1$, действующей вдоль $HK$, и паре с моментом — $y_1{X}_1$, направленным вдоль оси Oz. C другой стороны, вводя равные и противоположные силы $\pm X_1$, действующие по оси $OX$, мы увидим, что сила $X_1$ действующая по $KH$ эквивалентна равной и $$
1) Это следует из гидростатических принципов, но интересно и чисто статическое доказательство.

параллельной силе $X_1$ действющей по $Ox$ и паре с моментом $z_1{X}_1$, направленным вдоль $Oy$.

Таким способом мы можем перенести силу $X_1$ из точки приложения $P_1$ в точку $O$, если одновременно мы введем две пары с моментами $z_1{X}_1$ и $y_1{X}_1$ соответственно относятельно осей $Oy$ и $Oz$. Тем же способом могут быть перенесены в точку $O$ и силы $Y_1$ и $Z_1$.

Мы видим, таким образом, что сила ( $X_1,Y_1,Z_1$ ) может быть перенесена параллельно самой себе в точку $O$, если мы \»введем при этом пары сил с моментами относительно осен $Ox,Oy$ и $Oz$ соответственно равными:
$$L_1=y_1{Z}_1-z_1{Y}_1,M_1=z_1{X}_1-x_1{Z}_1,N_1=x_1{Y}_1-y_1^{\prime }{X}_1.$$

Следует при этом заметить, что эти моменты равны моментам первоначальной силы, приложенной к $P_1$, относительно осей координат.

Перенося таким же образом последовательно все силы системы, мы получим одну силу $S$, приложенную к точке $O$ с составляющими
$$P=\mathrm{\Sigma }(X),Q=\mathrm{\Sigma }(Y)\text{ и }R={\mathrm{\Sigma }}^{\prime }(Z),$$

и пару сил с моментами относительно осей координат равными:
$$L=\mathrm{\Sigma }(yZ-zY),M=\mathrm{\Sigma }(zX-xZ),N=\mathrm{\Sigma }(xY-yX).$$

Так как $P,Q,R$ являются проекциями $S$ на прямоугольные оси, то, на основании сказанного в $\mathrm{\S }17$, мы имеем:

и точно так же
$$\begin{array}{l}{S}^2=P^2+Q^2+R^2,\\ G^2=L^2+M^2+N^2.\end{array}$$

Для равновесия мы должны иметь $S=0$ и $G=0$, что приводит к шести условиям:
$$P=0,Q=0,R=0,L=0,M=0,N=0.$$

Иначе говоря: сумма составляющих всех сил системы по каждому из трех взаимно перпендикулярных направлений должна при равновесии равняться нулю и сумма моментов сил относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей должна также равняться нулю.

Если при подобном приведении мы возьмем начало- координат в точке $O^{\prime }$ вместо точки $O$, то результат будет отличаться только тем, что вместо координат, например, $(x_1,y_1,z_1)$ точки $P_1$ и т. д. мы должны будем ввести новые относительные координаты:
$$(x_1-x^{\prime },y_1-y^{\prime },z_1-z^{\prime })\text{ и т. д., }$$

где $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ — координаты точки $O^{\prime }$ относительно прежней системы с началом в $O$.

Составляющие $P,Q,R$ силы $S$ останутся без изменения. Что же касается новых моментов, то они будут выражаться формулами:
$$L^{\prime }=\mathrm{\Sigma }\{(y-y^{\prime })Z-(z-z^{\prime })Y\}=\mathrm{\Sigma }(yZ-zY)-y^{\prime }\mathrm{\Sigma }(Z)+z^{\prime }\mathrm{\Sigma }(Y{)}^{\prime }$$

и т. д.

Таким образом
$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }& =L-(y^{\prime }R-z^{\prime }Q)\\ M^{\prime }& =M-(z^{\prime }P-x^{\prime }R)\\ N^{\prime }& =N-(x^{\prime }Q-y^{\prime }P).\end{array}$$

Соответствующим выбором нового начала $O^{\prime }$ мы можем сделать плоскость пары нормальной к направлению силы $S$.
Условиями для этого будут следующие равенства:
$$\frac{L^{\prime }}{P}=\frac{M^{\prime }}{Q}=\frac{N^{\prime }}{R},$$

или
$$\frac{L-y^{\prime }R+z^{\prime }Q}{P}=\frac{M-z^{\prime }P+x^{\prime }R}{Q}=\frac{N-x^{\prime }Q+y^{\prime }P}{R}.$$

Это уравнения центральной оси системы.
Направляющие косинусы $S$ равны: $\frac{P}{S},\frac{Q}{S}$ и $\frac{R}{S}$, поэтому момент пары относительно центральной оси равен
$$\frac{L^{\prime }P+M^{\prime }Q+N^{\prime }R}{S},$$

а параметр эквивалентной динамы ( $\mathrm{\$}15$ ) равен, следовательно,
$$\tilde{\omega }=\frac{LP+MQ+NR}{P^2+Q^2+R^2}.$$

Совершенно так же, как в § 9 , мы находим, что
$$P^2+Q^2+R^2{\text{ и⿻ }}^{\ast }LP+MQ+NR$$

являются абсолютными инвариантами.
Формальная аналогия полученных выражений с теми, которые приведены в § 9, является примером той аналогии, о которой мы говорили в начале $\mathrm{\S }6$.

Пример 1. Мы можем упомянуть о приложении теории к случаю параллельных сил, хотя результат и является простой проверкой известной теоремы (\»Статика\», § 22, 65).
Если силы $F_1,F_2,\dots$ имеют направление $(l,m,n$ ), то мы имеем:
$$X_1=l{F}_1,Y_1=m{F}_1:Z_1=n{F}_1\text{ и т. д. }$$

Далее находим:
$$\begin{array}{c}P=l\mathrm{\Sigma }(F),Q=m\mathrm{\Sigma }(F),R=n\mathrm{\Sigma }(F),\\ L=(n\overline{y}-m\overline{z})\sum (F),M=(l\overline{z}-n\overline{x})\mathrm{\Sigma }(F),N=(\dot{m}\overline{x}-l\overline{y})\sum (F),\end{array}$$

где
$$\overline{x}=\frac{\mathrm{\Sigma }(Fx)}{\mathrm{\Sigma }(F)},\overline{y}=\frac{\mathrm{\Sigma }(Fy)}{\mathrm{\Sigma }(F)},\overline{z}=\frac{\mathrm{\Sigma }(Fz)}{\mathrm{\Sigma }(F)}.$$

Результат равносилен действию одной силы $\sum (F)$, приложенной к точке $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$, положение которой не зависит от направления $(l,m,n)$ параллельных сил.

Исключением является случай, когда $\sum (F)=0$ : система или приводится тогда к паре сил, или находится в равновесии.

Пример 2. Определить пару сил стносительно центра масс твердого тела, вызываемую притяжением отдаленной материальной точки массы $M_0$. Принимая центр мсс за начало координат, обозначим через $(\xi ,\eta ,\zeta$ ) координаты любой материальной точки тела с массою $m$.
В таком случае мы имеем (\»Статика\», § 73):
$$\sum (m\xi )=0,\sum \left(m_i\right)=0,\sum \left(m_{\eta }^{\gamma }\right)=0.$$

Обозначая через $y$ постоянную притяжения ( „Динамика“, $\mathrm{\S }74$ ), а через $(x,y,z)$ координаты притягивающей точки $M_0$ мы получим следующее выражение для силы взаимного притяжения точек $M_0$ и $\mathrm{m}$ :
$$\frac{\gamma M_{0}m}{p^2},$$

где
$$p^2=(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2+(z-\xi {)}^2.$$

Направляющие косинусы линии действия силы равны
$$\frac{(x-\xi )}{\rho },\frac{(y-\eta )}{\rho },\frac{(z-\zeta )}{\rho }.$$

Момент силы относительно оси $Ox$ равен, следовательно,
$$\frac{\gamma M_{0}m}{{\rho }^3}\{y(z-\zeta )-z(y-\eta )\}=\frac{\gamma M_{0}m}{{\rho }^3}(z\eta -y^{\phi }).$$

Если обозначим через $r$ расстояние точки $M_0$ от начала координат, так что
$$r^2=x^2+y^2+z^2,$$

то из выражения (16) будем иметь:
$$\frac{1}{p^3}=\frac{1}{r^3}{\{1-\frac{2(x\xi +y\eta +z\zeta )}{r^2}+\dots \}}^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{r^3}+\frac{3(x\xi +y\eta +z^{\gamma })}{r^5}+\dots$$

Мы предположим, что $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ настольхо малы по сравнению с $r$, что можно пренебречь не написанными членами рєззложения.

В гл. IV будет показано, что существует одна система ортогональных осей, проходящих через начало, при которой
$$\sum (m;\zeta )=0,\sum (m\zeta \xi )=0,\sum \left(m\xi r_i\right)=0.!$$

Эти оси называются \»главными осями инерции\» относительно точки $O$. Принимая их за оси координат, подставим значение (19) в выражение (17) для момента и, суммируя по всем точкам $m$ \»тела, мы для полного момента относительно оси $Ox$ получим следующее выражение:
$$L=\frac{3\gamma M_0}{r^5}\{\sum \left(m{\gamma }^2\right)-\sum \left(m{\zeta }^2\right)\}yz.$$

Принимая обоз̀начения, которыми мы будем пользоваться в гл. IV, положим:
$$A=\sum m({\tau }^2+{\xi }^2),B=\sum m{\xi }^2+{\xi }^2),C-\sum m({\xi }^2+r^2).$$

Это — так называемые „моменты инерции\» тела относительно главных осей инерции в точке $O$.

Таким путем, пользуясь указанными обозначениями, мы получим искомые составляющие момента пары:
$$L=\frac{3\gamma M_0}{r^5}(C-B)yz,M=\frac{3\gamma M_0}{r^5}(A-C)zx,N=\frac{3\gamma M_0}{r^5}(B-A)xy.$$

Эти составляющие не равны нулю, если только притягивающая точка не лежит на одной из главных осей инерцик.

Если тело симметрично относительно какой-либо оси (как, например, Земля), то, принимая ось симметрии за ось $Oz$, мы получим $A=B$ и $N=0$. Плоскость пары будет проходить, очеввдно, через ось симметрии и притягивающую точку $M_0$. Обозначим через $\theta$ угол оси симметрии с направлением $O{M}_0$; тогда, полагая
$$y=0,z=r\cdot \cos \theta ,x=r\sin \theta ,$$

мы получим следующее выражение для момента пары, стремящейся увеличить угол $\theta$ :
$$\frac{3\gamma M_0}{r^3}(C-A)\sin \theta \cos \theta .$$

Это выражение понадобится нам в теории прецессии (§ 61).
ПримеР 3. Если ( $l,m,n,p,q,r)$—координаты прямой (§10), то составляющие динамы, эквивалентной силе $F$, действующей вдоль прямой, будут равны
$$lF,mF,nF,pF,qF,rF\text{. }$$

Условия, необходимые для того, чтобы шесть сил $F_1,F_2,\dots ,F_6$, направленных вдоль шести прямых были в равновесии, будут выражаться уравнениями:
$$\begin{array}{c}{l}_1{F}_1+l_2{F}_2+\dots +l_6{F}_6=0\\ m_1{F}_1+m_2{F}_2+\dots +m_6{F}_6=0\\ \cdot :\cdot \cdot +r_6{F}_6=0.\\ r_1{F}_1+r_2{F}_2+\dots +r_1\end{array}\}$$

Эти уравнения дают $F_1=0,F_2=0,\dots ,F_6=0$, если только не равен нулю оп ределитель системы, т. е. если
$$\left|\begin{array}{cccc}{l}_1& l_2& \dots & l_6\\ m_1& m_2& \dots & m_6\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdot \\ r_1& r_2& \dots & r_6\end{array}\right|eq0$$

На основании сказанного в § 10 [равенство (5)] мы видим, что в последнем случае шесть личий действия сил должны принадлежать к одному и тому же линейному комплексу. Таково, например, условие, необходимое для того, чтобы система шести шарнирных стержней, соединяющих жесткое сооружение с земной поверхностью, могла быть самонапряженной. Если эти у словия выполнены, то всякие приложенные к сооружению силы создадут в опорах статически неопределимые напряжения.

Теория сложения динам совершенно аналогична геометрической теории сложения винтовых перемещений. Например, две динамы данных типов, но произвольной величины равносильны динаме с осью, принадлежащей определенному цилиндроиду. Бесполезно повторять анализ, уже приведенный выше.