Чтобы получить выражения, более естественно связанные с траекторией, рассмотрим два соседних положения точки $P$ и $P^{\prime}$ и проведем в направлении движения соответствующие касательные $P T$ и $P^{\prime} T^{\prime}$ (фиг. 36). Пусть $\delta s-$ дуга $P P^{\prime}, \delta t$ — соответствующий промежуток времени и $\delta \varepsilon-$ угол между направлениями $P T$ и $P^{\prime} T^{\prime}$. Если мы проведем из неподвижной точки $O$ векторы $O V$ и $O V^{\prime}$, представляющие скорости в точках $P$ и $P^{\prime}$, то вектор $V V^{\prime}$ представит приращение скорости за промежуток времени $\delta t$, а $\frac{V V^{\prime}}{\delta t}$ будет изображать среднее ускорение за этот промежуток.

По определению предел этого отношения, когда точка $P^{\prime}$ приближается к точке $P$, есть ускорение движущейся точки в тот момент, когда она находится в положении $P$.

Соприкасающаяся плоскость в точке $P$ к траектории есть предельное положение плоскости, проходящей через $P T$ и параллельной $P^{\prime} T^{\prime}$. Векторы $O V$ и $O V^{\prime}$ параллельны соответственно $P T$ и $P^{\prime} T^{\prime}$. Следовательно, вектор $\frac{V V^{\prime}}{\delta t}$ будет в пределе параллелен соприкасающейся плоскости. Он может быть разложен на два: один в направлении касательной к траектории и другой в награвлении главной нормали, т. е. той нормали к траектории, которая проведена в соприкасающейся плоскости. Если мы опустим перпендикуляр $V^{\prime} N$ на $O V$, то касательная составляющая ускорения будет пределом отношения
Фиг. 36.
Если $v$ есть абсолютная величина скорости, то мы в пределе можем положить $V N=\delta v$, и, следовательно, касательное ускорение равно $\frac{d v}{d t}$. Другим выражением для него будег:
\[
\frac{d v}{d s} \frac{d s}{d t} \text { или } v \frac{d v}{d s} .
\]

Составляющая в направлении главной нормали будет равна пределу отношения $\frac{N V^{\prime}}{\delta t}$. Абсолютное значение этого предела будет равно пределу $O V \frac{\delta \varepsilon}{\delta t}$ или $v \frac{d \varepsilon}{d t}$. Предел $\frac{d \varepsilon}{d s}$ по определению является кривизной траектории в токе $P$, которую обыкновенно обозначают посредством $\frac{1}{\rho}$. Мы имеем, таким образом:
\[
v \frac{d s}{d t}=v \frac{d e}{d s} \frac{d s}{d t}=\frac{v^{2}}{\rho},
\]

так как
\[
\frac{d s}{d t}=v
\]

Следовательно, составляющие ускорения соответственно равны:
\[
\frac{d v}{d t} \text { или } v \frac{d v}{d s} ; \frac{v^{2}}{\rho} .
\]

Эти выводы могут быть полупенн еще и следующим путем. Употребляя штрихи для обозначения диференцирования по дуге $s$, мы найдем:
\[
\dot{x}=\frac{d x}{d s} \frac{d s}{d t}=x^{\prime} ; \quad \ddot{x}=x^{\prime} ; \ddot{s}+x^{\prime \prime} \dot{s}^{2} \text { и т. д. }
\]

Составляющие скорости, следовательно, равны:
\[
x^{\prime} \dot{s}, \quad y^{\prime} \dot{s}, z^{\prime} \dot{s} .
\]

Эти выражения показывают, что полная (равнодействующая) скорость равна $\dot{s}$ и направлена вдоль касательной, которая имеет направляющие косинусы, равные соответственно $x^{\prime}, y^{\prime}$ и $z^{\prime}$. Выражения для составляющих ускорения могут быть написаны в следующем виде:
\[
x^{\prime} \ddot{s}+\rho x^{\prime \prime} \frac{\dot{s}^{2}}{\rho}, y^{\prime} \ddot{s}+p y^{\prime \prime} \frac{\dot{s}^{2}}{\rho}, z^{\prime} \ddot{s}+\rho z^{\prime \prime} \frac{\dot{s}^{2}}{\rho} .
\]

По формулам диференциальной геометрии направляющие косинусы главнон иормали равны $\rho x^{\prime \prime}, \rho y^{\prime \prime}$ и $\rho z^{\prime \prime}$.

Таким образом ускорение может быть разложено на касательное ускорение $\ddot{s}$ и нормальное, равное $\frac{v^{2}}{\rho}$.

Если $F$ обозначает, как всегда, составляющую силы в направлении движения, то мы имеем уравнение:
\[
m v \frac{d v}{d s}=F
\]

и, следовательно,
\[
\frac{1}{2} m v^{2}=\int F d s+\text { const. }
\]

Если точка находится под денствием постоянного во времени поля сил и $V$ есть потенциальная энергия точки в этом поле, то мы имеем:
\[
F=-\frac{\partial V}{\partial s},
\]

и уравнение энергии принимает следующий вид:
\[
\frac{1}{2} m v^{2}+V=\text { const. }
\]