Чтобы получить выражения, более естественно связанные с траекторией, рассмотрим два соседних положения точки $P$ и $P^{\prime }$ и проведем в направлении движения соответствующие касательные $PT$ и $P^{\prime }{T}^{\prime }$ (фиг. 36). Пусть $\delta s-$ дуга $P{P}^{\prime },\delta t$ — соответствующий промежуток времени и $\delta \epsilon -$ угол между направлениями $PT$ и $P^{\prime }{T}^{\prime }$. Если мы проведем из неподвижной точки $O$ векторы $OV$ и $O{V}^{\prime }$, представляющие скорости в точках $P$ и $P^{\prime }$, то вектор $V{V}^{\prime }$ представит приращение скорости за промежуток времени $\delta t$, а $\frac{V{V}^{\prime }}{\delta t}$ будет изображать среднее ускорение за этот промежуток.

По определению предел этого отношения, когда точка $P^{\prime }$ приближается к точке $P$, есть ускорение движущейся точки в тот момент, когда она находится в положении $P$.

Соприкасающаяся плоскость в точке $P$ к траектории есть предельное положение плоскости, проходящей через $PT$ и параллельной $P^{\prime }{T}^{\prime }$. Векторы $OV$ и $O{V}^{\prime }$ параллельны соответственно $PT$ и $P^{\prime }{T}^{\prime }$. Следовательно, вектор $\frac{V{V}^{\prime }}{\delta t}$ будет в пределе параллелен соприкасающейся плоскости. Он может быть разложен на два: один в направлении касательной к траектории и другой в награвлении главной нормали, т. е. той нормали к траектории, которая проведена в соприкасающейся плоскости. Если мы опустим перпендикуляр $V^{\prime }N$ на $OV$, то касательная составляющая ускорения будет пределом отношения
Фиг. 36.
Если $v$ есть абсолютная величина скорости, то мы в пределе можем положить $VN=\delta v$, и, следовательно, касательное ускорение равно $\frac{dv}{dt}$. Другим выражением для него будег:
$$\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}\text{ или }v\frac{dv}{ds}.$$

Составляющая в направлении главной нормали будет равна пределу отношения $\frac{N{V}^{\prime }}{\delta t}$. Абсолютное значение этого предела будет равно пределу $OV\frac{\delta \epsilon }{\delta t}$ или $v\frac{d\epsilon }{dt}$. Предел $\frac{d\epsilon }{ds}$ по определению является кривизной траектории в токе $P$, которую обыкновенно обозначают посредством $\frac{1}{\rho }$. Мы имеем, таким образом:
$$v\frac{ds}{dt}=v\frac{de}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{v^2}{\rho },$$

так как
$$\frac{ds}{dt}=v$$

Следовательно, составляющие ускорения соответственно равны:
$$\frac{dv}{dt}\text{ или }v\frac{dv}{ds};\frac{v^2}{\rho }.$$

Эти выводы могут быть полупенн еще и следующим путем. Употребляя штрихи для обозначения диференцирования по дуге $s$, мы найдем:
$$\dot{x}=\frac{dx}{ds}\frac{ds}{dt}=x^{\prime };\ddot{x}=x^{\prime };\ddot{s}+x^{\prime \prime }{\dot{s}}^2\text{ и т. д. }$$

Составляющие скорости, следовательно, равны:
$$x^{\prime }\dot{s},y^{\prime }\dot{s},z^{\prime }\dot{s}.$$

Эти выражения показывают, что полная (равнодействующая) скорость равна $\dot{s}$ и направлена вдоль касательной, которая имеет направляющие косинусы, равные соответственно $x^{\prime },y^{\prime }$ и $z^{\prime }$. Выражения для составляющих ускорения могут быть написаны в следующем виде:
$$x^{\prime }\ddot{s}+\rho x^{\prime \prime }\frac{{\dot{s}}^2}{\rho },y^{\prime }\ddot{s}+p{y}^{\prime \prime }\frac{{\dot{s}}^2}{\rho },z^{\prime }\ddot{s}+\rho z^{\prime \prime }\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }.$$

По формулам диференциальной геометрии направляющие косинусы главнон иормали равны $\rho x^{\prime \prime },\rho y^{\prime \prime }$ и $\rho z^{\prime \prime }$.

Таким образом ускорение может быть разложено на касательное ускорение $\ddot{s}$ и нормальное, равное $\frac{v^2}{\rho }$.

Если $F$ обозначает, как всегда, составляющую силы в направлении движения, то мы имеем уравнение:
$$mv\frac{dv}{ds}=F$$

и, следовательно,
$$\frac{1}{2}m{v}^2=\int Fds+\text{ const. }$$

Если точка находится под денствием постоянного во времени поля сил и $V$ есть потенциальная энергия точки в этом поле, то мы имеем:
$$F=-\frac{\partial V}{\partial s},$$

и уравнение энергии принимает следующий вид:
$$\frac{1}{2}m{v}^2+V=\text{ const. }$$