Предположим, что мы имеем динамическую систему, состоящую из материальных точек или абсолютно твердых тел, движущихся независимо друг от друга или связанных каким-либо образом, подверженных действию взаимных сил, а также действию заданных „внешних“ сил, т. е. сил, действующих на систему извне. Любая данная конфигурация системы ${ }^{1}$ ) может быть полностью охарактеризована ‘значениями, принимаемыми определенным конечным числом $n$ независимых количеств, называемых „обобщенными координатами системы. Эти координаты можно выбрать бесконечным числом способов, но число их является вполне определенным и выражает число степеней свободы системы. Мы обозначим координаты через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Подразумевается, что декартовы координаты $x, y, z$ любой данной материальной точки $m$ являются определенными функциями от всех $q$, конечно, для разных точек разными.
Следовательно, имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\frac{\partial x}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial x}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial x}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}, \\
\dot{y}=\frac{\partial y}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial y}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial y}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}, \\
\dot{z}=\frac{\partial z}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial z}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial z}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n} .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом скорость каждой точки системы в данный момент времени полностью определена, если известны конфигурация и производные по времени от координат, а именно: $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Эти производные называются \»обобщенными компонентами скорости\».

Если под знаком $\Sigma$ понимать суммирование по всем точкам системы, то кинетическая энергия $T$ системы определится при помощи формулы:
\[
2 T=\sum m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\ldots+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\ldots,
\]
1) Под этим термином мы понимаем как относительне расположение отдельных частей системы, так и положение тел в пространстве.

где
\[
\begin{array}{l}
\left.a_{r s}=\sum m^{\prime}\left(\frac{\partial x}{\partial q_{r}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial q_{r}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)^{2}\right\} \\
a_{r s}=\sum m\left\{\frac{\partial x}{\partial q_{r}} \frac{\partial x}{\partial q_{s}}+\frac{\partial y}{\partial q_{r}} \frac{\partial y}{\partial q_{s}}+\frac{\partial z}{\partial q_{r}} \frac{\partial z}{\partial q_{s}}\right\}=a_{s r}
\end{array}
\]

Таким образом $T$ выражается как однородная квадратичная функция обобщенных скоростей.

Коэфициенты $a_{r r}, a_{r g}$ называются „коэфициентами инерции “ системы; они вообще не постоянны, а являются функциями кэординат $q_{r}$ и, следовательно, изменяются вместе с конфигурацией системы. Они подчинены определенным алгебраическим огравичениям, необходимым для обеспечения положительности выражения (2) для всех значений скоростей, больших нуля. Если положим:
\[
\Delta_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right|
\]

и обозначим через $\Delta_{n-1}$ определитель, получаемый путем вычеркивания последних строки и столбца, через $\Delta_{n-2}$ определитель, получаемый путем вычеркивания двух последних строк и столбцов, и т. д., то необходимое и достаточное условия для положительности выражения (2) заключаются в том, чтобы определители
\[
\Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots, \Delta_{n-1}, \Delta_{n}
\]

все были больше нуля.
Простейшим доказательством является следующее 1). Известно, что при любом линейном преобразовании квадратичной формы
\[
\varphi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{3}+a_{22} x_{8}^{2}+\ldots+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\ldots
\]

дискримичант умножается на квадрат определителя преобразования. Все члены, входящие в выражение $\varphi$ и содержацие $x_{1}$, заключаются в выражении
\[
\frac{1}{a_{11}}\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2},
\]

если это выражение вычесть из (5), то остаток будет однородной квадратичной формой остальных переменных $x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$. Члены получаемой разности, содержащие $x_{2}$, можно выделить аналогичным образом, и таким путем $\varphi$ можно выразить как сумму квадратов следующего вида:
\[
\varphi=p_{1}\left(x_{1}+\ldots\right)^{2}+p_{2}\left(x_{2}+\ldots\right)^{2}+p_{n} x_{n}^{2}
\]

или
\[
\varphi=p_{1} X_{1}^{2}+p_{2} X_{2}^{2}+\ldots+p_{n} X_{n}^{2},
\]
1) Burnslde and Panton, Theory of Equations.

причем заметим, что $p_{1}=a_{11}=\Delta_{1}$. Дискриминант формы (6) имеет величину
\[
p_{1} p_{2} \ldots p_{n}
\]

а определитель преобразования, очевиднา, равен единице. Следовательно,
\[
\Delta_{n}=p: p_{2}, \ldots, p_{n} .
\]

Те же сооражения применимы к функци $\varphi\left(x_{1}{ }^{i}{ }^{\prime} x_{2}, \ldots, x_{m}, 0,0, \ldots\right)$, где все переменные после $x_{m}$ равны нулю. Таким образом
\[
\Delta_{1}=p_{1}, \Delta_{2}=p_{1} p_{2}, \Delta_{3}=p_{1} p_{2} p_{3} .
\]

Следовательно, необходимые и достаточные условия для того, чтобы все значения $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ были положительны, формулируются так, как и указано выше.
Следует заметить, что в наших приложеннях ни один из определителей
\[
\Delta_{1}, \Delta_{2} \ldots, \Delta_{n}
\]

не может обратиться в нуль. Так, если бы велччина $\Delta_{m}$ была равна нулю, то уравнение
\[
a_{r 1} \dot{q}_{1}+a_{r 2} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{r m} q_{m}=0
\]

для $r=1,2, \ldots, m$ удовлетворялось бы значениями $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{m}$, отличнымь ol нуля. Произведя подстановку этих значений в выражение для $T$ в § 74, (7) и полаган
\[
\dot{q}_{m+1}=\dot{q}_{m+2}=\ldots=\dot{q}_{n}=0,
\]

мы получили бы энергию, равную нулю, при скоростях, отличных от нуля.