Подобная установка, если бы ее можно было практически осуществить, указывала бы истинное положение севера, вместо магнитного северного полюса. Но во всех опытах, по крайней мере в их первоначальном виде, было очень трудно добиться желаемого успеха. Не говоря уже о чрезвычаинной точности прибора и особенно тщательной его центрировке, которые при этом необходимы, следует заметить, что получающиеся гироскопические силы очень незначительны, тй что их деиствие уничтожается неизбежным трением цапф. Эти силы с уменьшением угловой скорости колеса, если Фиг. 52. последняя не поддерживается искусственно, как в современном гироскопическом компасе, с течением времени все больше и больше уменьшаются. В этом приборе колесо вращается вокруг оси, неподвижно ориентированной относительно основания, которое плавает в ртути. Остающиеся силы трения сведены, таким образом, к возможному минимуму. Ось $O C$ имеет, однако, в таком случае уже две степени свободы, и теория прибора должна быть видоизменена (фиг. 52).

Пусть $\theta$ — отклонение вниз оси $O C$ от горизонта, а $\varphi$-азимут $Y Z C$. Угловая скорость $\omega$ Земли может быть разложена на две составляющих: $\omega \sin \lambda$ вокруг $O Z$ и $\cos \lambda$ вокруг $O Y$. Последняя в свою очередь разіагается на скоростн $\omega \cos \lambda \sin \varphi$ вокруг $O A$ и $\omega \cos \lambda \cos \varphi$ вокруг $O C^{\prime}$ (фиг. 52). Дуга $Z C$ вращается вокруг $O Z$ со скоростью $\omega \sin \lambda-\dot{\varphi}$, а потому полная скорость точки $C$ в направлении, нормальном к вертикальному кругу $Z C$, равна
$(\omega \sin \lambda-\dot{\varphi}) \sin Z C+\omega \cos \lambda \cos \varphi \sin C^{\prime} C=(\omega \sin \lambda-\dot{\varphi}) \cos \theta+\omega \cos \lambda \cos \varphi \sin \theta$.
Скорость же вдоль $Z C$ равна $\dot{\theta}+\infty \cos \lambda \sin q$.
При дальнейшем изложении теории прибора мы будем предполагать углы $\theta$ и $\varphi$ очень малыми, так что последние выражения могут быть приравщены следующим:
\[
\omega \sin \lambda-\dot{\varphi}+\omega \theta \cos \lambda
\]

H
\[
\dot{\theta}+\cos \lambda \text {. }
\]

Таким образом уравнения для движения о и колєса при обычных обозначениях моментов инерции принимают следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
A(\ddot{\theta}+\omega \dot{\varphi} \cos \lambda)=C n(\dot{\varphi}-\omega \sin \lambda-\omega \theta \cos \lambda)+L, \\
A(\varphi \varphi \omega-\omega \cos \lambda)=-C n(\dot{\theta}+\omega \varphi \cos \lambda)+M,
\end{array}\right\}
\]

где $L$ и $M$ — составляющие момента пары сил реакции в подшипниках. Уравнення движе ния основания прибора, рассмагриваемого отдельно от колеса, примут вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{1}(\ddot{\theta}+\omega \dot{\varphi} \cos \lambda)=-L-K(\theta-\alpha), \\
\left.A_{2} \ddot{\varphi}-\omega \dot{\theta} \cos \lambda\right)=-M,
\end{array}\right\}
\]

где $K(\theta-\alpha)$ представляет момент противодействующих сил тяжести и гидростатического давления, и $\alpha$ обозначаєт то значение угла $\theta$, которое он принимает при равновесии и при отсутствии вращения колеса.
Когда колесо вращается, положениє равновесия дается уравнениями
\[
\varphi=0, \quad \operatorname{Cn} \omega(\sin \lambda+\theta \cos \lambda)+K(\theta-\alpha)=0 .
\]

Это уравнение дает небольшой наклон, зависящий от широты. Обозначая теперь через $\theta$ и $\varphi$ отклонения от этих значений при равновесии и исключая моменты $L$ и $M$, имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
I \ddot{\theta}+\omega \dot{\varphi} \cos \lambda)=C n(\dot{\varphi}-\omega \theta \cos \lambda)-K \theta, \\
J(\ddot{\varphi}-\omega \dot{\theta} \cos \lambda)=-C n(\dot{\theta}+\omega \dot{\varphi} \cos \lambda),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
I=A+A_{1} . \quad J=A+A_{2} .
\]

При отсутствии вращения мы имели бы $\ddot{\varphi}=\omega \dot{\theta} \cos \lambda$. Оставляя без внимания возможное установившееся движенне, которое прекращается под действием трения жидкости, получим:
\[
I \ddot{\theta}+\left(K+I \omega^{2} \cos ^{2} \lambda\right) \theta=0 .
\]

Это уравнение дает колебание с периодом $\frac{2 \pi}{p}$, где
\[
p^{2}=\frac{K}{I}+\omega^{2} \cos ^{2} \lambda .
\]

Вторым членом можно пренсбречь по сравнению с первым, а потому в дальнейшем вместо $K$ мы будем писать $p^{2} I$. Возвращаясь к случаю быстрого вращения и предполагая, что зависимость $\theta$ и $\psi$ от времени может быть выражена множителем $e^{i s t}$, из уравнений (4) мы получим следующие:
\[
\left.\begin{array}{rl}
-\left(\sigma^{2}-p^{2}-\frac{C n}{I} \omega \cos \lambda\right) \theta+i \sigma\left(\frac{C n}{I}-\omega \cos \lambda\right) \varphi & =0, \\
-i \sigma\left(\frac{C n}{J}-\omega \cos \lambda\right) \theta-\left(\sigma^{2}-\frac{C n}{J} \omega \cos \lambda\right) \varphi & =0,
\end{array}\right\}
\]

откуда
\[
\sigma^{4}-\sigma^{2}\left(\frac{C^{2} n^{2}}{I J}+p^{2}+\omega^{2} \cos ^{2} \lambda\right)+\frac{C n \omega \cos \lambda}{J}\left(p^{2}+\frac{C n}{I} \omega \cos \lambda\right)=0 .
\]

Практически $n$ чрезвычанно велико по сравнению с и и $p$ и в то же время $p^{2} I$ очень велико сравнительно с $\operatorname{Cn} \omega^{1}$ ). Поэтому мы можем написать с бодьшой степенью приближения:
\[
\sigma^{4}-\frac{C^{2} n^{2}}{I J} \sigma^{2}+\frac{C n}{J} p^{2} \omega \cos \lambda=0 .
\]

Корни этого уравнения также с большой точностью равны:
\[
\left.\sigma_{1}^{2}=\frac{C^{2} n^{2}}{I J}, \quad \sigma_{2}^{2}=\frac{I \omega \cos \lambda}{C n} p^{2}\right) .
\]

Первый корень дает очень быстрые колебания, для которых
\[
\frac{\varphi}{\theta}=-i \sqrt{\frac{I}{J}} \text {. }
\]

Эти колебания быстро затухают.
Второй корень имеет бо́льшее значьние. Он дает медленные колебания, для которых приближенно
\[
\frac{\theta}{\varphi}=\frac{i \omega \cos \lambda}{\sigma_{2}}=i \sqrt{\frac{\overline{C n \omega \cos \lambda}}{p^{2} I}} .
\]

Как мы предположили, Спю очень мало по сравнению с $p^{2} I$, а потому это отношение тоже очень мало. Практически период $\frac{2 \pi}{\sigma_{2}}$ имеет величину, близкую к 1 часу.

В современных приборах имеются приспособления против затухания, это вьодит новые осложнения в теорию прибора ${ }^{3}$ ).