Решение уравнения (1) $\S 50$ в общем случае производится следующим образом ${ }^{1}$ ).
1) Повидимому, в основных чертах оно дано впервые Руэбом (Rueb) в $1834 \mathrm{r}$.

Применяя обычные обозначения эллиптических функцић, мы положим:
\[
u=\int_{0}^{\gamma} \frac{d \chi}{\Delta \chi},
\]

где
\[
\Delta \chi=\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \chi}
\]

и обозначим
\[
\chi=a m a .
\]

Три функции $\cos \chi, \sin \chi, \Delta u$ или $\cos a m u, \sin a m u ; \Delta a m u$ для сокращения обозначаются так:
\[
\operatorname{cn} u, \quad \operatorname{sn} u, \operatorname{dn} u .
\]

Их производные равны:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d u} \operatorname{cn} u=-\operatorname{sn} u \operatorname{dn} u, \\
\frac{d}{d u} \operatorname{sn} u=\operatorname{cn} u \operatorname{dn} u \\
\frac{d}{d u} \operatorname{dn} u=-k^{2} \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u
\end{array}\right\}
\]

Подобие этих равенств уравнениям Эйлера приводит к мысли найти решение последних, приравнивая $p, q, r$ соответственным произведениям функций $\operatorname{cn} \lambda t$, sn $\lambda t$ и $\mathrm{dn} \lambda t$ на постоянные множители.

Рассмотрение фиг. 42 , на которой изображено общее расположение конусов полодии, показывает, что единственной главной плоскостью инерции, через которую во всех случаях проходит мгновенная ось вращения, является плоскость, нормальная к оси $O B$ среднего момента инерции.

Далее, если конус полодии заключает внутри себя ось $O C$ с наименьшим моментом инерции, то скорость $r$ не может быть равна нулю.
Поэтому для этого случая мы полагаем
\[
\left.\begin{array}{l}
p=p_{0} \operatorname{cn} \lambda t, \\
q=b \operatorname{sn} \lambda t, \\
r=r_{0} \operatorname{dn} \lambda t .
\end{array}\right\}
\]

Время отсчитывается с того момента, когда мгновенная ось вращения переходит через плоскость $y=0$. Постоянные $p_{0}$ и $r_{0}$ являются значениями $p$ и $r$ в этот момент времени и могут считаться произвольными. Что же касается коэфициента $b$, то он должен быть определен наравне с постоянными $\lambda$ и $k^{2}$.

Делая подстановку выражений (5) в уравнения Эйлера, мы найдем, что последние удовлетворяются при условиях:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\lambda p_{0} & =-\frac{B-C}{A} b r_{0}, \\
\lambda b & =-\frac{A-C}{B} r_{0} p_{0}, \\
-k^{2 \lambda} r_{0} & =\frac{A-B}{C} p_{0} b .
\end{array}\right\}
\]

Из первых двух равенств путем деления получаем:
\[
\frac{b^{2}}{p_{0}^{2}}=\frac{A(A-C)}{B(B-C)},
\]

и тем самым определяем $b^{2}$. Из первого и третьего выводим:
\[
k^{2}=\frac{(A-B) A p_{0}^{2}}{(B-C) C r_{0}^{2}} .
\]

Наконец, после перемножения первых двух равенств имеем:
\[
\lambda^{2}=\frac{(A-C)(B-C)}{A B} \cdot r_{0}^{2} .
\]

По предположению $A>B>C$, следовательно, все полученные выражения положительны. Для $\lambda$ мы принимаем любой знак, выбирая в то же время знак для $b$ на основании одного из равенств (6). Ясно, что одновременное изменение знака у $\lambda$ и $b$ ничего не изменяет.

Далее необходимо, чтобы значение для $k^{2}$, получаемое из равенства (8), было меньше единицы. Для этого требуется, чтобы
\[
A^{2} p_{0}^{2}+C^{2} r_{0}^{2}<B\left(A p_{0}^{2}+C r_{\theta}^{2}\right)
\]

или чтобы
\[
H^{2}<2 B T \text {. }
\]

Это является необходимым условием для того, чтобы конус полодии заключал внутри себя ось наименьщего момента инерции.

При решении мы получили три произвольные постоянные, а именно $p_{0}, r_{0}$ и третью, которую можно прибавить ко времени $t$. Мы получили таким образом, общее решение, если только соблюдено условие (11). Если же
\[
H^{2}>2 B T \text {, }
\]

так что конус полодии заключает внутри себя ось с наибольшим моменто инерции то мы должны положить
\[
p=p_{0} \mathrm{dn} \lambda t, \quad q=b \operatorname{sn} \lambda t, \quad r=r_{0} \mathrm{cn} \lambda t .
\]

Ясно, что это приводит только к взаимной замене $p_{0}$ и $r_{0}$, а так е $A$ и $C$, в формулах (7), (8) и (9).

В критическом случае, когда
\[
H^{2}=2 B T,
\]
т. е. когда конус полодии распадается на две плоскости, мы имеем $k^{2}=1$, и эллиптические функции принимают более простой вид.
Так, выражение (1) дает в этом случае
\[
u=\ln \operatorname{tg}\left(\frac{1}{4} \pi+\frac{1}{2} \%\right),
\]

а формулы (5) заменяются следующими:
\[
p=\frac{p_{0}}{\operatorname{ch} \lambda t}, \quad q=b \text { th } \lambda t, \quad r=\frac{r_{0}}{\operatorname{ch} \lambda t} .
\]

Далее, мы находим:
\[
\begin{array}{c}
b^{2}=\frac{2 T}{B}, \\
\lambda^{2}=\frac{(A-B)(B-C)}{A C} \cdot \frac{2 T}{B} .
\end{array}
\]

Мгновенная ось вращения стремится асимптотически занять положение главной оси среднего момента инерции, т. е. стремится к направлению неизменяемой прямой. Если тело первоначально вращалось вокруг средней оси инерции, а затем получило возмущающий импульс, в результате которого движение стало удовлетворять условию (14), то мгновенная ось будет пробегать вдоль плоскости полодии. Тело будет опять стремиться асимптотически к врацению вокруг средней оси инерции, но с мгновенной осью вращения, направленной в диаметрально противоположную сторону по сравнению с первоначальным направлением.

После того как в какой-либо задаче, касающейся свободного вращения тела, мы определим угловне скорости $p, q, r$ вокруг главных осей инерции в функции времени $t$, нам еще останется отнести положение тела к неподвижным координатным осям или плоскостям в пространстве. Для этой цели можно воспользоваться координатами Эйлера (33). Имеем:
\[
\begin{array}{c}
\dot{\theta}=p \sin \varphi+q \cos \varphi, \\
\sin \dot{\theta} \dot{\psi}=-p \cos \varphi+q \sin \varphi, \\
\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi}=r .
\end{array}
\]

Из этих уравнений, теоретически говоря, можно получить $\theta, \psi$ и Задача эта упрощается, если мы примем отсчет угла $\theta$ от неизменяемой прямой. Как видно из фиг. 32 , имеем:
\[
\cos A Z=-\sin \theta \cos \varphi, \quad \cos B Z=\sin \theta \sin \varphi, \quad \cos C Z=\cos \theta,
\]

откуда
\[
A p=-H \sin \theta \cos \varphi, \quad B q=H \sin \theta \sin \varphi, \quad C r=H \cos \theta .
\]

Таким образом
\[
\operatorname{tg} \varphi=-\frac{B q}{A p}
\]

что определяет угол $\varphi$.
Из равенств (19) и (23) выводим:
\[
\frac{\dot{\theta}}{\sin \theta}=\frac{(A-B) H}{A B} \sin \varphi \cos \varphi,
\]

откуда определяется $\theta$.
Из (20) и (23) получаем наконец
\[
\dot{\psi}=\frac{H}{A B}\left(A \sin ^{2} \varphi+B \cos ^{2} \varphi\right) .
\]

Когда $A=B$, согласно равенству (25) $\theta$ постоянно. В этом случае мы нашли (§50), что
\[
p=K \cos (\lambda t+\varepsilon), \quad q=K \sin (\lambda t+\varepsilon),
\]

где
\[
\lambda=\frac{C-A}{A} n \text {. }
\]

Следовательно, из равенства (20) получим:
\[
\varphi=-(\lambda t+\varepsilon),
\]
a $и 3(26)$
\[
\dot{\psi}=\frac{H}{A},
\]

что согласно с предшествующими результатами.