Употребляя в настолщем сочинении декартовы прямоугольные координаты, мы будем предполагать, что они представляют правую систему, т. е. положительные направления осей $Ox,Oy,Oz$ так ориентированы, что положительный поворот на угол $\frac{\pi }{2}$ приводит $Oy$ в начальное положение оси $Oz$, с аналогичным результатом для других осей при циклической перестановке буќв. Так, если оси $Ox$ и Oy расположены обычным способом в плоскости чертежа, то ось $Oz$ будет направлена вверх.
Если бы для одной из осей мы выбрали обратное этому направление, то мы получили бы левую систему координат. Только в том случае, когда две системы $Oxyz$ и $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ одновременно обе правые или обе левые, мы можем простым перемещением привести систему $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ к совпадению с системою $Oxyz$, так что $O{x}^{\prime }$ совпадет с $Ox,O{y}^{\prime }$ с $Oy$, а ось $O{z}^{\prime }$ с осью $O{z}^1$ ).

Переходя к аналитическому исследованию бесконечно малых перемещений твердого тела, мы начнем с рассмотрения того случая, когда одна из точек тела $O$ неподвижна. Мы видели в $\mathrm{\S }2$, что всякое малое перемещение равносильно в этом случае повороту на угол а около некоторой оси $OJ$. Принимая точку $O$ за начало координат, мы можем разложить это вращение на три составляющих вращения $p,q,r$ соответственно около $Ox,Oy,Oz$. Обозначая через $\lambda$, $\mu$, v направляющие косинусы оси $OJ$, мы получим:
$$p=\lambda \omega ,q=\mu \omega ,r=u\omega ,$$

и
$$p^2+q^2+r^2={\omega }^2.$$

Для того чтобы определить составляющие перемещений вдоль осей координат точки $P$, координаты которой равны $x,y,z$, мы воспользуемся принципом, по которому составляющие перемещений каких-либо
1) Системы противоположного характера находятся в таком же соответствии друг с другом, как отображение в плоском зеркале с самим предметом. Геометрическое преобразование одной системы в другую называется, отображением\» относительно плоскости.

двух точек тела $A,B$ вдоль прямой $AB$, их соединяющей, равны между собою, так как ддина отрезка $AB$ остается неизменной (\»Статика“, $\mathrm{\S }\mathrm{\S }50,51$ ).

Проведем нормально к плоскости $yz$ прямую $PL$ и опустим перпендикуляры $LB$ и $LC$ соответственно на оси $Oy$ и $Oz$.

Перемещение точки $P$ в направлении $OX$ будет равно перемещению точки $L$, которое сводится к $qz$, т. е. вращению около оси $Oy$, и к -ry, т. е. вращенио около $Oz$. Анадогичные рассуждения дают перемещения точки $P$ :
$$\delta x=qz-ry,\delta y=rx-pz,\delta z=py-qx.$$

Можно заметить, что равенства:
$$\begin{array}{l}x\hat{x}x+y\hat{y}y+z\hat{z}z=0,\\ p\hat{0}x+q\hat{y}y+r\hat{o}z=0,\end{array}$$

показывают, что перемещение $P$ перпендикулярно как к $OP$, так и к $OJ$. Точно так же имеем:
$$\begin{array}{c}(\delta x{)}^2+(\hat{\partial }{)}^2+(\delta z{)}^2=(p^2+q^2+r^2)(x^2+y^2+z^2)-(px+qy+rz{)}^2=\\ ={\omega }^2\cdot \overline{O{P}^2}\cdot {\sin }^2\widehat{JOP}.\end{array}$$

Справедливость равенства очевидна и независимо от этого ${}^1$ ) выводл, так как, проводя $PQ$ нормально к $OJ$, мы видим, что перемещение точки $P$ равно
$$\omega \cdot PQ=\omega \cdot O\dot{P}\cdot \sin JOP.$$

Чтобы выразить самое общее перемещение твердого тела относительно неподвижных осей координат, достаточно присоединить поступательное перемещение с составляющими $l,m,n$ по осям, которые являются перемещениями вдоль осей той точки тела, которая совпадает с началом’ $O^2$ ).
Таким образом получаем
$$\begin{array}{c}\delta x=l+qz-ry,\\ \delta y=m+rx-pz\\ \delta z=n+py-qx\end{array}\}$$

Геометрическое место точек, перемещения которых параллельны оси вращения, определяется уравнениями:
$$\frac{\delta x}{p}=\frac{\delta y}{q}=\frac{\delta z}{r},$$

или
$$\frac{l+qz-ry}{p}=\frac{m+rx-pz}{q}=\frac{n+py-qx}{r}\text{. }$$
1) Обозначая $OP$ через $\rho$, имеем
$$\cos JOP=\frac{p}{\omega }\cdot \frac{x}{\rho }+\frac{q}{\omega }\cdot \frac{y}{\rho }+\frac{r}{\omega }\cdot \frac{z}{\rho }.$$
2) Обозначения приняты в соответствии с аналогичными формулами, приводимыми в \»Статике“, § 19.

Это-уравнения прямой. А так как они не изменяются, если мы заменим $x,y$ и $z$ через $x+kp,y+kq,z+kr$, соответственно, при произвольном $k$, то мы видим, что эта прямая параллельна оси вращения. Следовательно, перемещение равносильно вращению около этой оси и поступательному перемещению вдоль нее ${}^1$ ). Следуя приведенному выше способу выражения, мы имеем определенное винтовое вращение, ось которого есть прямая (9).

Шесть количеств $l,m,n,p,q,r$ или любые пропорциональные им количества определяют данное бесконечно малое перемецение твердого тела, а пять отношений определяют ось винта и его параметр; поэтому они могут быть названы „координатами“ винта.
Перемещение какойлибо точки тела вдоль оси винта равно
$$\tau =\frac{p}{\omega }\delta x+\frac{q}{\omega }\delta y+\frac{r}{\omega }\delta z=\frac{lp+mq+nr}{\omega };$$

и параметр винта
$$\tilde{\omega }=\frac{\tau }{\omega }=\frac{lp+mq+nr}{p^2+q^2+r^2}.$$

Относя то же самое перемещение к какой-либо другой конгруэнтной системе прямоугольных координат, мы, разумеется, получим то же значение для $p^2+q^2+r^2$, т. е. для ${\alpha }^2$, которое, конечно, не должно изменяться. Точно так же, если варамерр винта остается тот же, такое же заключение мы можем сделать и относительно выражения $lp+mq+nr$. Таким образом при преобразовании одной правой системы координат в другую, то же правую систему выражения:
$$p^2+q^2+r^2\text{ и }lp+mq+rr$$

являются абсолютными инвариантами.
Если перемещение сводится к одному вращению, то мы имем $\tilde{\omega }=0$ или
$$lp+mq+nr=0.$$

Шесть количеств $l,m,n,p,q,r$, связанных этим соотношением, определяют прям ую, а именно ось вращения. Такая система линейных координат“, как их называют, применяется во иногих геометрических исследованиях ${}^2$ ).

Если $x_1,y_1$ и $z_1$ суть координаты какой-либо точки на этой прямой, то значения $l,m$ и $n$ получаются из равенств (7), если положить в них $\dot{\delta }x=$
$$l=r{y}_1-q{z}_1,m=p{z}_1-r{x}_1,n=q{x}_1-p{y}_1,$$

которые и удовлетворяют, как это и должно быть, равенству (12).
1) Эта теорема была дана в 1827 г. Коши (A. L. Cauchy, 1789-1857). Как уже сказано, ее обобщение для конечных перемещении дано Шалем.
2) Она была введена Кэли (Cayley) в 1860 г. и впоследствии применялась Плюкером (Plicker) в его исследования по геометрии прямых.

В том смысле, в котором они были опрелелены, имеют значение только их взаумные отношения, следовательно, дополнительное соотношение (12) оставляет только четыре независимых переменных.

Мы можем теперь написать условие того, чтобы прямая ( $l,m,n,\mathit{p},q,r$ ) была нулевой прямой относительно винта $(l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime },p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime }$ ).

Так как направляющие косинусы прямой пропорциональны $p,q,r$, то условие того, что перемещение вдоль прямой равно нулю, будет выражаться равенством:
$$p(l^{\prime }+q^{\prime }{z}_1-r^{\prime }{y}_1)+q(m^{\prime }+r^{\prime }{x}_1-p^{\prime }{z}_1)+r(n^{\prime }+p^{\prime }{y}_1-q^{\prime }{x}_1)=0,$$

или на основании (13)
$$l{p}^{\prime }+m{q}^{\prime }+n{r}^{\prime }+l^{\prime }p+m^{\prime }q+n^{\prime }r=0.$$

Это есть уравнение линейного комллекса, образованного нулевыми прямыми отйосительно винта ( $l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime },p^{\prime },q^{\prime },{\overrightarrow{r}}^{\prime })$.

Мы встретимся ниже (§ 22) с соотношением подобного рода в качестве общего условия того, что два винта будут „взаимными“. В последнем случае количества $l,m,n,p,q,r$ уже не будуг связаны больше соотношением (12).