Употребляя в настолщем сочинении декартовы прямоугольные координаты, мы будем предполагать, что они представляют правую систему, т. е. положительные направления осей $O x, O y, O z$ так ориентированы, что положительный поворот на угол $\frac{\pi}{2}$ приводит $O y$ в начальное положение оси $O z$, с аналогичным результатом для других осей при циклической перестановке буќв. Так, если оси $O x$ и Oy расположены обычным способом в плоскости чертежа, то ось $O z$ будет направлена вверх.
Если бы для одной из осей мы выбрали обратное этому направление, то мы получили бы левую систему координат. Только в том случае, когда две системы $O x y z$ и $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ одновременно обе правые или обе левые, мы можем простым перемещением привести систему $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ к совпадению с системою $O x y z$, так что $O x^{\prime}$ совпадет с $O x, O y^{\prime}$ с $O y$, а ось $O z^{\prime}$ с осью $O z^{1}$ ).

Переходя к аналитическому исследованию бесконечно малых перемещений твердого тела, мы начнем с рассмотрения того случая, когда одна из точек тела $O$ неподвижна. Мы видели в $\S 2$, что всякое малое перемещение равносильно в этом случае повороту на угол а около некоторой оси $O J$. Принимая точку $O$ за начало координат, мы можем разложить это вращение на три составляющих вращения $p, q, r$ соответственно около $O x, O y, O z$. Обозначая через $\lambda$, $\mu$, v направляющие косинусы оси $O J$, мы получим:
\[
p=\lambda \omega, \quad q=\mu \omega, \quad r=
u \omega,
\]

и
\[
p^{2}+q^{2}+r^{2}=\omega^{2} .
\]

Для того чтобы определить составляющие перемещений вдоль осей координат точки $P$, координаты которой равны $x, y, z$, мы воспользуемся принципом, по которому составляющие перемещений каких-либо
1) Системы противоположного характера находятся в таком же соответствии друг с другом, как отображение в плоском зеркале с самим предметом. Геометрическое преобразование одной системы в другую называется, отображением\» относительно плоскости.

двух точек тела $A, B$ вдоль прямой $A B$, их соединяющей, равны между собою, так как ддина отрезка $A B$ остается неизменной (\»Статика“, $\S \S 50,51$ ).

Проведем нормально к плоскости $y z$ прямую $P L$ и опустим перпендикуляры $L B$ и $L C$ соответственно на оси $O y$ и $O z$.

Перемещение точки $P$ в направлении $O X$ будет равно перемещению точки $L$, которое сводится к $q z$, т. е. вращению около оси $O y$, и к -ry, т. е. вращенио около $O z$. Анадогичные рассуждения дают перемещения точки $P$ :
\[
\delta x=q z-r y, \quad \delta y=r x-p z, \quad \delta z=p y-q x .
\]

Можно заметить, что равенства:
\[
\begin{array}{l}
x \hat{x} x+y \hat{y} y+z \hat{z} z=0, \\
p \hat{0} x+q \hat{y} y+r \hat{o} z=0,
\end{array}
\]

показывают, что перемещение $P$ перпендикулярно как к $O P$, так и к $O J$. Точно так же имеем:
\[
\begin{array}{c}
(\delta x)^{2}+(\hat{\partial})^{2}+(\delta z)^{2}=\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-(p x+q y+r z)^{2}= \\
=\omega^{2} \cdot \overline{O P^{2}} \cdot \sin ^{2} \widehat{J O P} .
\end{array}
\]

Справедливость равенства очевидна и независимо от этого ${ }^{1}$ ) выводл, так как, проводя $P Q$ нормально к $O J$, мы видим, что перемещение точки $P$ равно
\[
\omega \cdot P Q=\omega \cdot O \dot{P} \cdot \sin J O P .
\]

Чтобы выразить самое общее перемещение твердого тела относительно неподвижных осей координат, достаточно присоединить поступательное перемещение с составляющими $l, m, n$ по осям, которые являются перемещениями вдоль осей той точки тела, которая совпадает с началом’ $O^{2}$ ).
Таким образом получаем
\[
\left.\begin{array}{c}
\delta x=l+q z-r y, \\
\delta y=m+r x-p z \\
\delta z=n+p y-q x
\end{array}\right\}
\]

Геометрическое место точек, перемещения которых параллельны оси вращения, определяется уравнениями:
\[
\frac{\delta x}{p}=\frac{\delta y}{q}=\frac{\delta z}{r},
\]

или
\[
\frac{l+q z-r y}{p}=\frac{m+r x-p z}{q}=\frac{n+p y-q x}{r} \text {. }
\]
1) Обозначая $O P$ через $\rho$, имеем
\[
\cos J O P=\frac{p}{\omega} \cdot \frac{x}{\rho}+\frac{q}{\omega} \cdot \frac{y}{\rho}+\frac{r}{\omega} \cdot \frac{z}{\rho} .
\]
2) Обозначения приняты в соответствии с аналогичными формулами, приводимыми в \»Статике“, § 19.

Это-уравнения прямой. А так как они не изменяются, если мы заменим $x, y$ и $z$ через $x+k p, y+k q, z+k r$, соответственно, при произвольном $k$, то мы видим, что эта прямая параллельна оси вращения. Следовательно, перемещение равносильно вращению около этой оси и поступательному перемещению вдоль нее ${ }^{1}$ ). Следуя приведенному выше способу выражения, мы имеем определенное винтовое вращение, ось которого есть прямая (9).

Шесть количеств $l, m, n, p, q, r$ или любые пропорциональные им количества определяют данное бесконечно малое перемецение твердого тела, а пять отношений определяют ось винта и его параметр; поэтому они могут быть названы „координатами“ винта.
Перемещение какойлибо точки тела вдоль оси винта равно
\[
\tau=\frac{p}{\omega} \delta x+\frac{q}{\omega} \delta y+\frac{r}{\omega} \delta z=\frac{l p+m q+n r}{\omega} ;
\]

и параметр винта
\[
\tilde{\omega}=\frac{\tau}{\omega}=\frac{l p+m q+n r}{p^{2}+q^{2}+r^{2}} .
\]

Относя то же самое перемещение к какой-либо другой конгруэнтной системе прямоугольных координат, мы, разумеется, получим то же значение для $p^{2}+q^{2}+r^{2}$, т. е. для $\alpha^{2}$, которое, конечно, не должно изменяться. Точно так же, если варамерр винта остается тот же, такое же заключение мы можем сделать и относительно выражения $l p+m q+n r$. Таким образом при преобразовании одной правой системы координат в другую, то же правую систему выражения:
\[
p^{2}+q^{2}+r^{2} \quad \text { и } l p+m q+r r
\]

являются абсолютными инвариантами.
Если перемещение сводится к одному вращению, то мы имем $\tilde{\omega}=0$ или
\[
l p+m q+n r=0 .
\]

Шесть количеств $l, m, n, p, q, r$, связанных этим соотношением, определяют прям ую, а именно ось вращения. Такая система линейных координат“, как их называют, применяется во иногих геометрических исследованиях ${ }^{2}$ ).

Если $x_{1}, y_{1}$ и $z_{1}$ суть координаты какой-либо точки на этой прямой, то значения $l, m$ и $n$ получаются из равенств (7), если положить в них $\dot{\delta} x=$
\[
l=r y_{1}-q z_{1}, \quad m=p z_{1}-r x_{1}, \quad n=q x_{1}-p y_{1},
\]

которые и удовлетворяют, как это и должно быть, равенству (12).
1) Эта теорема была дана в 1827 г. Коши (A. L. Cauchy, 1789-1857). Как уже сказано, ее обобщение для конечных перемещении дано Шалем.
2) Она была введена Кэли (Cayley) в 1860 г. и впоследствии применялась Плюкером (Plicker) в его исследования по геометрии прямых.

В том смысле, в котором они были опрелелены, имеют значение только их взаумные отношения, следовательно, дополнительное соотношение (12) оставляет только четыре независимых переменных.

Мы можем теперь написать условие того, чтобы прямая ( $l, m, n, \boldsymbol{p}, q, r$ ) была нулевой прямой относительно винта $\left(l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}\right.$ ).

Так как направляющие косинусы прямой пропорциональны $p, q, r$, то условие того, что перемещение вдоль прямой равно нулю, будет выражаться равенством:
\[
p\left(l^{\prime}+q^{\prime} z_{1}-r^{\prime} y_{1}\right)+q\left(m^{\prime}+r^{\prime} x_{1}-p^{\prime} z_{1}\right)+r\left(n^{\prime}+p^{\prime} y_{1}-q^{\prime} x_{1}\right)=0,
\]

или на основании (13)
\[
l p^{\prime}+m q^{\prime}+n r^{\prime}+l^{\prime} p+m^{\prime} q+n^{\prime} r=0 .
\]

Это есть уравнение линейного комллекса, образованного нулевыми прямыми отйосительно винта ( $\left.l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, \vec{r}^{\prime}\right)$.

Мы встретимся ниже (§ 22) с соотношением подобного рода в качестве общего условия того, что два винта будут „взаимными“. В последнем случае количества $l, m, n, p, q, r$ уже не будуг связаны больше соотношением (12).