Пусть $m_{1}, m_{2}, \ldots m_{n}$ – материальные точки системы и $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$-их расстояния от какой-либо данной оси. Сумма $\Sigma\left(m p^{2}\right)$ называется \”квадратичным моментом“ или »моментом инерции \” системы относительно этой оси.

Далее, \”средним квадратичным расстоянием\” или „радиусом инерции “ относительно оси называют количество $k$, значение которого ompeделяется выражением
\[
\sum\left(m p^{2}\right)=k^{2} .
\]

Вычисление моментов инерции тел данной формы и данного распре$\S 71,72)$.

Так мы находим, например, что радиус инерции однородного кругового цилиндра или круглого диска относительно своей оси определяется выражением:
\[
k^{2}=\frac{1}{2} a^{2},
\]

где $a$-радиус. Для тонкой сферической оболочки и для сплошного шара с радиусом а мы соответственно получим:
\[
k^{2}=\frac{2}{3} a^{2} \quad \text { и } \quad k^{2}=\frac{2}{5} a^{2} .
\]

В случае однородного эллипсоида с полуосями $a, b, c$ для момента инерции относительно оси $2 a$ мы получим выражение:
\[
k^{2}=\frac{1}{5}\left(b^{2}+c^{2}\right) \text {. }
\]

Для того чтобы получить соотношение между моментами инерции относительно различных осей, проходящих через одну и ту же точку $O$, мы примем эту точку за начало прямоугольной системы координат (фиг. 26).

Пусть ( $\lambda, \mu,
u$ ) — направляющие косинусы какой-либо оси $\mathrm{OH}$, a $(x, y, z)$ – координаты, определяющие положение $P$ материальной точки системы. Пусть далее $O N$ – ортогональная проекция $O P$ на $O H$. Мы получим:
\[
\begin{aligned}
P N^{2} & =O P^{2}-O N^{2}= \\
& =\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(\lambda^{2}+\mu^{2}+
u^{2}\right)-(\lambda x+\mu y+
u z)^{2}= \\
& =\left(y^{2}+z^{2}\right) \lambda^{2}+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mu^{2}+\left(x^{2}+y^{2}\right)
u^{2}- \\
& \quad-2 y z \mu
u-2 z x
u \lambda-2 x y \lambda \mu .
\end{aligned}
\]

Момент инерции относительно оси $O H$ будет следовательно равен:
\[
I=\Sigma\left(m \cdot P N^{2}\right)=A \lambda^{2}+B \mu^{2}+C
u^{2}-2 F \mu
u-2 G
u \lambda-2 H \lambda \mu,
\]

где
\[
\left.\begin{array}{lll}
A=\Sigma m\left(y^{2}+z^{2}\right), & B=\Sigma m\left(z^{2}+x^{2}\right), & C=\Sigma m\left(x^{2}+y^{2}\right) \\
F=\Sigma(m y z), & G=\Sigma(m z x), & H=\Sigma(m x y) .
\end{array}\right\}
\]

Количества $A, B$ и $C$ представляют соответственно моменты инерции относительно осей $O x, O y, O z$. Количества $F, G, H$ называются „произведениями инерции\” относительно системы этих осей.

Геометрическое представление формулы (3) получается следующим образом. Мы строим поверхность вгорого порядка, имеющую уравнение:
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}-2 F y z-2 G z x-2 H x y=M s^{4},
\]

где $\varepsilon$-любая величина размерности длины, а $M$ – полная масса системы $\Sigma(m)$.

Если $\rho$ есть радиус-вектор этои поверхности в направлении $O H$, то, полагая $x=\lambda \rho, y=\mu \rho, z=
u \rho$, получим
\[
I=\frac{M \varepsilon^{4}}{\rho^{2}} .
\]

Следовательно, момент инерцин, относительно любого радиуса-вектора изменяется обратно пропорционально квадрату его длины. Вследствие того, что количество $I$ всегда положительно, каждый радиус пересекает поверхность в действительной точке, и следовательно, поверхность явля.тся эллипсоидом. Он называется пэллипсоидом инерции \”, огносящимся к точке $O^{1}$ ).

Относя поверхность к системе координат, совпадающей с главными осями, уравнение ее получаем в виде:
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=M z^{4} .
\]

Эти оси носят название \”главных осей инерции \”в точке $O$, а моменты $A, B, C-$, главнымм моментами инерции “, относящимися к точке $O$. Произведения инерции $\Sigma(m y z), \Sigma(m z x), \Sigma(m x y)$ относительно главных осей равны нулю.
1) Повидимому, он был введен впервые Коши (1827).

Заметим, что существуют известные ограничения относительно возможной формы эллипсоида инерции.
Из равенства (4) видно, что мы должны иметь в общем случае:
\[
B+C>A, \quad C+A>B, \quad A+B>C .
\]

Наибольший главный момент, таким образом, должен быть меньше суммы двух других. Исключением является только тот случай, когда массы распределены вдоль плоскости. Если эта плоскость есть плоскость координат $z=0$, то мы имеем:
\[
A+B=C .
\]

Если $A=B=C$, то эллипсоид инерции есть шар. Все проходащие через $O$ оси являются тогда главными, а момент инерции одия и тот же для всех этих осей. Система, как говорят, „кинетически симметрична “ относительно точки $O$.

Если два главных момента равны, например $A=B$, то эллипсоид будет эллипсоидом вращения околб оси $O z$; говорят, что система имеет кинетическую симметрию около этой оси. Все перпендикулярные к оси диаметры являются главными осями ${ }^{1}$ ).

Особое значение имеет эллипсонд инерции, относящийся к центру масс $G$ системы, так как если известен момент инерции относительно оси, проходящей через $G$, то легко определить момент и относительно всякой другой параллельной оси, находящейся на расстоянии $f$. Этот момент инерции будет получаться прибавлением $M f^{2}$ ( птатика“, § 73).

Динамическое значение этого эллипсоида, который Пуансо назвал „центральным“, будет видно ниже ( $\S 44-46$ ).

Если $(\alpha, \beta, \gamma)$ – радиусы инерции относительно главных осей, проходящих через точку $O$, так что
\[
A=M \alpha^{2}, \quad B=M \beta^{2}, \quad C=M \gamma^{2},
\]

то момент инерции относительно оси, проходящей через $O$ и имеющей направляющие косинусы $(\lambda, \mu,
u)$, будет:
\[
I=A \lambda^{2}+B \mu^{2}+C
u^{2}=M\left(\alpha^{2} \lambda^{2}+\beta 2 \mu^{2}+\gamma^{2}
u^{2}\right)
\]

или
\[
I=M p^{2},
\]

где $p$ есть длина перпендикуляра, опущенного в направлении ( $\lambda, \mu, v$ ) на соответствующую касательную плоскость к эллипсоиду,
\[
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\beta^{2}}+\frac{z^{2}}{\gamma^{2}}=1,
\]

и носящему название гирационного эллипсоида. Он является взаимнополярным эллипсоида инерции относительно концентрической сферы ${ }^{2}$ ).
1) Payc (Routh) для обозначения таких тел употребляет выражение подноoсное\”.
2) Он был введен Мак-Куллахом [Mac-Cullagh (1844)].