1. Вес вращающейся части аэропланного мотора равен $136 \kappa 2$, радиус инерции составляет 0,3 ж. Вес пропеллера $-16 \kappa 2$, радиус его инерции – 0,75 м. Мотор совершает 20 об/сек. Аэроплан описывает горизонтальную окружность со скоростью одного полного оборота в 10 сек. Найти момент кабрирования (т. е. момент относительно поперечной оси), получающийся вследствие поворота.
2. Круглый диск вращается на гладком столе вокруг своей оси с угловой скоростью n. Доказать, что имеются две скорости регулярной прецессии, определяемые уравнением
\[
\frac{1}{2} k^{2} \sin \alpha \cos \alpha \dot{\psi} 2-k^{2} n \sin \alpha \psi+g a \cos \alpha=0,
\]
Рде $a$-радиус диска, $k$ – радиус инердии относительно оси, $a$-наклон оси к вертикали.
3. Если ось махового колеса в гирсскопе без трения зажата с данным наклоном к вертикали, то достаточно малейей силы, чтобы повернуть вертикальное кольцо вокруг его оси. Если же, однако, ось колеса свободна, то в начале для этого нужна значительная сила. Объяснить это явление.
4. Кольцо, поддерживающее в гироскопе маховое колесо, зажато с данным наклоном $\alpha$ к вертикали. Весь прибор в начале находится в покое, затем вертикальное кольцо поворачивается и делает полный оборот (четыре прямых угла). Найти угол, на который повернулось бы маховое колесо относительно рамы при отсутствии трения на опорах.
\[
[-2 \pi \cos \alpha] \text {. }
\]
5. Волчок вращается на гладкой горизонтальной плоскости. Доказать, что наклон его оси к вертикали колеблется между двумя определенными предельными значениями.
Доказать, что условие для регулярности движения имеет вид равенства (5) в $\$ 54$, если в данном случае $A, A$ и $C$ – главные центральные моменты инерции.
6. Доказать, что у траектории полюса волчка или гироскопического маятника только на одной верхней предельной окружности могут существовать точки возврата.
7. Волчку, вращающемуся вокруг вертикальной оси, сообщают небольшой импульс с моментом $\lambda$ относительно горизонтальной оси. Доказать, что при последующем движении угол оси с вертикалью определяется выражением
\[
\theta=\frac{\lambda}{\sigma A} \sin \sigma t
\]
и что плоскость угла $\theta$, т. е. плоскость, проходящая через ось и вертикаль, вращается с угловой скоростью $\rho$, где $\sigma$ и $\rho$ имеют значения, указанные в § 58 .
1) Указанные сочинения Клейна и Зоммерфельда и Гринхила. См. также A. Gray, Gyrostatics and Rotational Motion, London 1919.
8. Доказать, что, если ось волчка проходит через вертикальное положение, то имеет место равенство:
\[
\dot{\theta}^{2}=\sigma^{2}+\frac{4 M g h}{A} \sin ^{2} \frac{\theta}{2}-\frac{v^{2}}{A^{2}} \operatorname{tg}^{2} \frac{\theta}{2},
\]
где $\sigma$ представляет значение, принимаемое $\dot{\theta}$ при $\theta=0$.
Показать, что имеется только одно максимальное значение для $\theta$.
9. Показать для предыдущего примера, что при малом значении $\sigma$ решение, имеющее место для небольших значений $\theta$, имеет один из следующих двјх видов:
\[
\theta=\frac{\sigma}{\beta} \cos (\beta t+\varepsilon), \quad \theta=\frac{\sigma}{\beta} \operatorname{sh}(\beta t+\varepsilon),
\]
и дать истолкование обоих случаев.
Доказать далее, что при соблюдении особого условия траектория полюса асимптотически приближается к наивысшей точке сферы. Исследовать характер такой траекторин.
10. Волчок очень быстро вращается вокруг своей оси, которая наклонена к вертикали под углом $\alpha$, и мгновенно останавливается. Доказать, что ось сначала опустится на угол, равный приблизительно
\[
\frac{2 A M g h}{C^{2} n^{2}} \sin \alpha
\]
а затем начнет снова подниматься. Дать числовой расчет, принимая
\[
M=1000, \quad C=\frac{2}{5} A=12500, \quad h=5 \cdot(C G S), \quad \alpha=30^{\circ}, \quad \frac{n}{2 \pi}=50 .
\]
$\left[34^{\prime}\right]$.
11. Доказать, что движение оси золчка с моментами инерции $A, A, C$ и угловой скоростью $n$ может быть такое же, как и движение оси второго волчка с тремя моментами, равными моментам инерции $A$, но с угловой скоростью вращения равной $\frac{C n}{A}$, если соблюдается условие $M^{\prime} h^{\prime}=M h$ и берутся соответствующие начальные данные для второго волчка. Доказать, что углы Эйлера ү и $\varphi^{\prime}$ будут при этом связаны соотношением
\[
\varphi^{\prime}=\varphi+\frac{C-A}{A} n t .
\]
[Дарбу].
12. Доказать, что выражение (13) в § 57 может быть написано еще следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
p^{2}=\frac{A^{2} \omega^{4}-2 A M g h \omega^{2} \cos \alpha+M^{2} g^{2} h^{2}}{A^{2} \omega^{2}}, \\
p^{2}=\frac{(\mu-
u \cos \alpha)^{2}-2(\mu-
u \cos \alpha)(
u-\mu \cos \alpha) \cos \alpha+(
u-\mu \cos \alpha)^{2}}{A^{2} \sin ^{4} \alpha} .
\end{array}
\]
[Феррерс (Ferrers); Клейн и Зоммерфельд].
13. Доказать, что, принимая во внимание инерцию подвижных колец гироскопа (предполагаемых симметричнымв), можно выразить его кинетическую энергию следующим образом:
\[
2 T=\left(A+B_{1}\right) \dot{6}^{2}+\left\{\left(A+A_{1}\right) \sin ^{2} \theta+B_{1} \cos ^{2} \theta+I\right\} \dot{\psi} 2+C(\dot{p}+\cos \theta \dot{\psi})^{2},
\]
где $A_{1}, B_{1}, I$ – постоянные, зависящие от формы колец.
14. Направляющие косинусы оси махового колеса относительно неподвижной системы координат с началом в центре колеса равны $l, m, n$. Доказать, что составляющие вдоль этих осей момента количеств движения равны
\[
x l+A(m \dot{n}-n \dot{m}) \text { и т. д., }
\]
где $\%$-момент количеств движения относительно оси симметрии колеса.
15. Показать, что в случае, когда горизонтальная прямая, проведенная через опоры барогироскопа Джильберта, составляет угол $\beta$ с меридианом, то угол $\chi$ отклонения оси колеса от вертикали в состоянии разновесия определяется равенством
\[
\operatorname{tg} \chi=\frac{C n \omega \cos \lambda \sin \beta}{M g h+C n \omega \sin \lambda} .
\]
16. Судно движется со скоростью, составляющая которой в направлении к северу равна $v$. Доказать, что показания гироскопического компаса (в состоянии равновесия) будут давать девнацию отклонение к западу от северного направления, равную углу
\[
\frac{v}{\omega a \cos \lambda},
\]
где $a$ – радиус Земли.
Вычислить девиацию для судна, идущего со скоростью в 30 узлов в северном направлении на широте $60^{\circ}$.
\[
\left[3^{\circ} 50^{\prime}\right] \text {. }
\]
