Силы притяжения Земли Солнцем приводятся к силе, приложенной к центру масс и к паре с моментом, нормальным к плоскости, проходящей через ось Земли и прямую, соединяющую центр Солнца с центром Земли.
Приближенное значение момента было определено в § 19:
На фиг. $53 Z$ обозначает полюс эклиптики, $C$ – полюс экватора, так что дуга $Z C$ измеряет наклон эклиптики, обозначаемый обычно через ш. Пусть $B$ – восходящий узел эклиптики, $A$-точка экватора, выбранная так, чтобы $O A, O B$ и $O C$ представляли прямоугольную правую систему осей. Пусть далее $l$-долгота $B S$ Солнца $\mathcal{S}$, считаемая, как обычно, от узла $B$. Мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\cos S A=-\cos \omega \sin l, \\
\cos S B=\cos l, \\
\cos S C=\sin \omega \sin l .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, если $r$ означает расстояние центра Солнца от центра Земли, то координаты Солнца относительно осен $O A, O B, O C$ будут:
\[
x=-r \cos \omega \sin l, \quad y=r \cos l, \quad z=r \tilde{\sin } \omega \sin l .
\]

Таким образом, вводя обозначение
\[
x=\frac{3}{2} \frac{\gamma S(C-A)}{r^{3}},
\]

где $S$-масса Солнца, мы получим для составляющих момента из выражений (23) § 19, полагая в них $A=B$, следующие выражения:
\[
L=x \sin \omega \sin 2 l, \quad M=x \sin \omega \cos \omega(1-\cos 2 l), \quad N=0 .
\]

Ввиду обращения Солнца по эклиптике, периодические функции $\sin 2 l$ и $\cos 2 l$ принимают равные значения дважды в году. За это время изменение направления оси Земли очень незначительно. Таким образом в среднем мы получаем пару с моментом
\[
M=x \sin \omega \cos \omega
\]

относительно оси $O B$, стремящуюся приблизить $C$ к $Z$. Подставляя это значение в равенство (3) § 54 и изменяя знак в виду перемены направления момента, мы получпм прецессию
\[
\dot{\psi}=-\frac{M}{C n \sin \omega}=-\frac{x}{C n} \cos \omega,
\]

если пренебречь квадратом $\dot{\psi}$.
Отрицательный знак указывает на обратное направление движения оси Земли во время прецессии. Результат прецессии может быть иллюстрирован движением гироскопа, центр тяжести которого находится ниже неподвижной точки.

Функции от $2 l$ в уравнениях (4), которыми мы пренебрегли, производят колебания оси Земли око.о ее среднего положения с полугодовым периодом. Амплитуда этого колебания согласно произведенным вычислениям оказывается настолько незначительной, что ее почти нет возможности заметить.

Если $n^{\prime}$ обозначает угловую скорость движения Земли по ее орбите (которую в данном случае примем за окружность), то мы имеем: $\frac{\gamma S}{r^{2}}=n^{2} r$, так что равенство (6) будет иметь вид:
\[
\dot{\psi}=-\frac{3}{2} \frac{n^{\prime 2}}{n} \frac{C-A}{C} \cos \omega .
\]

Полная прецессия под действием Солнца за один год $\left(\frac{2 \pi}{n^{\prime}}\right)$ будет, следовэтельно, равна
\[
3 \pi \frac{n^{\prime}}{n} \frac{C-A}{C} \cos \omega .
\]

Полагая
\[
\frac{n^{\prime}}{n}=\frac{1}{366 \cdot 25}, \quad \frac{C-A}{C}=0,00327, \quad \omega=23^{\circ} 27^{\prime},
\]

мы в результате получим $15^{\prime \prime}, 9$.
Подобное же, но гораздо более значительное действие оказывает Луна. Результат этого -действия, однако, усложнется тем обстоятельством, что плоскость орбиты Луны сама наклонена к эклиптике и, кроме того, точка пересечения плоскости орбиты с плоскостью эклипики движется непрерывно в обратном направлении.

Если бы орбита Луны оставалась ғеизменной, то лунная прецессия происходила бы вокруг ее полюса, но вследствие того, что эта орбита возмущается солнечным притяжением, полюс орбиты описывает на небесной сфере небольшую окружность с радиусом приблизительно равным $5^{\circ} 9^{\prime}$ вокруг полюса эклиптнки, причем двнжение совершается в обратном направлении со сравнительно очень коротким периодом 18,6 лет. В результате этого получается прецессия около полюса эклиптики, периодически возмущаемая неравенством с указанным периодом. Это неравенство известно под названием, лунной нутации“.

Нетрудно вычислить с хорошим приближением среднее значение лунной прецессии. Пусть $Z$ (фиг. 54) – полюс эклиптики, $C$ – полюс Земли, $M$ – полюс лунной орбить. Средняя скорость $C$ под действием Луны будет равна
\[
\text { – } \frac{x_{1}}{C n} \sin M C \cos M C
\]

в нормальном к $M C$ направлении, где
\[
x_{1}=\frac{3}{2} \frac{\gamma M(C-A)}{r_{1}^{3}}=\frac{3}{2} \frac{M}{E} n^{\prime 2}(C-A) .
\]

Здесь $M$ обозначает массу Луны, $E$-массу Земли, $r_{1}$ – расстояние Луны от Земли, $n^{\prime \prime}$ – угловую скорость обращения Луны по своей орбите. Определяя составляющую скорости (10) в направлении, нормальном к $Z C$, и деля на $\sin \omega$, получим скорость прецессии вокруг $Z$ равной
\[
-\frac{x_{1}}{C n} \frac{\sin M C \cos M C \cos Z C M}{\sin \omega} .
\]

Обозначая через $i$ угол $Z M$ наклона плоскости лупной орбиты к плоскости эклиптики и, полагая угол $M Z C=\chi$, мы получим:

откуда
\[
\begin{aligned}
\cos i & =\cos M C \cos \omega+\sin M C \sin \omega \cos Z C M, \\
\cos M C & =\cos i \cos \omega+\sin i \sin \omega \cos , \\
\sin M C \cos Z C M & =\cos i \sin \omega-\sin i \cos \omega \cos \%,
\end{aligned}
\]

Таким образом выражение (12) принимает г ид
\[
\frac{x_{1}}{C n} \cdot \frac{(\cos i \sin \omega-\sin i \cos \omega \cos \gamma)(\cos i \cos \omega+\sin i \sin \omega \cos \gamma)}{\sin \omega} .
\]

Период изменения угла $\chi$ составляет около 19 лет, в течение которых $i$ и остаются приближенно неизменными. Таким образом, оставляя без внимания периодические члены, для среднего значения получим выражение
\[
-\frac{x_{1}}{C n} \frac{3 \cos ^{2} i–1}{2} \cos \omega .
\]

Принимая во внимание (6), найдем, что отношение его к солнечной прецессин будет таким
\[
\frac{M}{\bar{E}}\left(\frac{n^{\prime \prime}}{n^{\prime}}\right)^{2} \frac{3 \cos ^{2} i-1}{2} .
\]

Полагая
\[
\frac{M}{E}=\frac{1}{81,4}, \frac{n^{\prime \prime}}{n^{\prime}}=13,4, \quad i=5^{\circ} 9^{\prime \prime},
\]

найем, что указанное отношение равно 2,18 .
Прн уже найденном значенни солнечной прецессии мы для полной прецессии за годовой пєриод вғемени находим значение $50^{\prime \prime}, 5$, что очень блиэко совпадает с действительно наблюдаемой величиной.

Все вычнсления основаны на принятом значении отношения $\frac{C-A}{C}$ в равенстве (9) и могут рассматриваться в качєстве его проверки. В действительности значение этого очень важного отношения определяется обратным путем, а именно – сравнением теоретической величины прецессии с наблюдаемой.

Настоящая глава ограничивается рассмотрением только некоторых из наиболее простых и интересных примеров теории гироскопов. Некоторые другие примеры будут даны дополнительно в гл. X.

За более подробным изложением с аналитическими исследованиями отсылаем к приведенным выше сочинениям ${ }^{1}$ ).