В случае движения под действием одной лишь кажу-
1) Выведенных Пуассоном (1838).

щейся силы тяжести уравнения движения при упрощениях, указанных в $\mathrm{\S }64$, примут вид:
$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2\omega \frac{dy}{dt}\sin \lambda +2\omega \frac{dz}{dt}\cos \lambda & =0,\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\omega \frac{dx}{dt}\sin \lambda & =0,\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}-2\omega \frac{dx}{dt}\cos \lambda & =-g.\end{array}\}$$

Второе и третье из этих уравнений дают:
$$\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=v_0-2\omega x\sin \lambda ,\\ \frac{dz}{dt}=w_0-gt+2\omega x\cos \lambda ,\end{array}\}$$

где $v_0$, $w_0$ означают постоянные интегрирования. Произведя подстановку в первое уравнение, получим уравнение
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+4{\omega }^{2}x=2\omega (v_0\sin \lambda -w_0\cos \lambda )+2\omega gt\cos \lambda ,$$

интеграл которого будет
$$x=A\cos 2\omega t+B\sin 2\omega t+\frac{v_0\sin \lambda -{\omega }_0\cos \lambda }{2\omega }+\frac{gt\cos \lambda }{2\omega }.$$

Значения $y$ и $z$ найдутся путем подстановки найденного выражения $x$ в (2) и интегрирования.

В случае свободного падения без начальной (относительной) скорости из начала координат начальные значения $x,y,z,\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}$ будут равны нулю. Следовательно,
$$v_0=0,w_0=0,A=0,B=-\frac{g\cos \lambda }{4{\omega }^2}.$$

Так как угол $\omega t$, на котори Земля повернется за время падения, очень мал, то мы в уравнении (4) опустим $\sin 2\omega t$ и сохраним лишь наиболее существенную часть полученного результата. Таким образом отклонение к востоку ог вертикали, проведенной через начальное положение точки, будет:
$$x=\frac{1}{3}{g}_{\omega }{t}^3\cos \lambda .$$

Произведя подстановку в (2), мы для отклонения к северу найдем величину:
$$y=\frac{1}{6}{g}^2{}^2{t}^4\sin \lambda \cos \lambda .$$

Но отношение этой величины к величине, определяемой по формуле (6), будет порядка $\omega t$, и, следовательно, отклонением к северу можно совершенно пренебречь. Далее мы имеем приближенно:
$$z=-\frac{1}{2}g{t}^2,$$

если опустить члены того же порядка иалости, что и (7). Единственное влияние вращения Земли, которое, как можно ожидать, будет вообще заметно, это отклонение к востоку, величину которого дает формула (6). При падении с высоты $100\mathit{\mu }$ это отклонение составит около $2,2\cos \lambda$ см. Отклонение это настолько незначительно и на него так легко влияют случайные возмущения, что его трудно проверить с достаточной убедительностью экспериментальным путем. Сделанные попытки имели, однако, некоторый успех ${}^1$ ).

В применении к полету снаряда в несопротивляющейся среде начальные условия можно написать в виде:

Следовательно, в формуле (4) мы имеем:
$$A=-\frac{v_0\sin \lambda -w_0\cos \lambda }{2\omega },B=\frac{u_0}{2\omega }-\frac{g\cos \lambda }{4{\omega }^2}.$$

Таким образом
$$x=\frac{v_0\sin \lambda -w_0\cos \lambda }{2\omega }(1-\cos 2\omega t)+\frac{g\cos \lambda }{4{\omega }^2}(2\omega t-\sin 2\omega t)+\frac{u_0}{2\omega }\sin 2\omega t.$$

Если прсизвести подстановку в (2) и подобрать постоянные интегрирования так, чтобы $у$ и $z$ при $t=0$ обращались в пуль, то мы найдем следующие формулы:
$$\begin{array}{c}y={\sigma }_{0}t-\frac{\sin \lambda (v_0\sin \lambda -w_0\cos \lambda )}{2\omega }(2\omega t-\sin 2\omega t)-\\ -\frac{g\sin \lambda \cos \lambda }{4{\omega }^2}(2{\omega }^2{t}^2+\cos 2\omega t-1)-\frac{u_0\sin \lambda }{2\omega }(1-\cos 2\omega t),\\ z=w_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2+\frac{\cos \lambda (v_0\sin \lambda -w_0\cos \lambda )}{2\omega }(2\omega t-\sin 2\omega t)+\\ +\frac{g{\cos }^2\lambda }{4{\omega }^2}(2{\omega }^2{t}^2+\cos 2\omega t-1)+\frac{u_0\cos \lambda }{2\omega }(1-\cos 2\omega t).\end{array}$$

Эти формулы точны лишь в пределах возможности пренебрежения изменениями величины $g$; достаточное приближение мы получим, если опустим члены с круговыми функциями от аргумента и оставим лишь наиболее существенные члены. Таким путем мы найдем следуюцие формулы:
$$\begin{array}{l}x=u_{0}t+(v_0\sin \lambda -w_0\cos \lambda )\omega t^2+\frac{1}{3}g\cos \lambda \cdot \omega t^3,\\ y=v_{0}t-u_0\sin \lambda \cdot \omega t^2,\\ z=w_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2+u_0\cos \lambda \cdot \omega t^2.\end{array}$$

Члены, опущенные нами, будут порядка ${\omega }^2{t}^2$.
Если вертикальная плоскость, в которой происходит движение спаряда, составляет с плоскостью $z$ เ угол $\beta$, то мы имеем:
$$u_0=u_0^{\prime }\cos \beta ,v_0=u_0^{\prime }\sin \beta ,$$
1) Cм. Routh, Dynamics of a Particle, 627 .

где $u_0^{\prime }$ означает начальную горизонтальню (относительную) скорость. Горизонтальное расстояние, пройденное в плоскости полета снаряда, составляет
$$x^{\prime }=x\cos \beta +y\sin \beta =u_0^{\prime }t-(\frac{1}{3}gt-w_0)\cos \beta \cos \lambda \cdot \omega t^2,$$

а отклонение от этой плоскости будет
$$y^{\prime }=y\cos \beta -x\sin \beta =\{(w_0-\frac{1}{3}gt)\sin \beta \cos \lambda -t_0^{\prime }\sin \lambda \}\omega t^2.$$

Оно имеет положительный знак, когда направлено влево.