В случае движения под действием одной лишь кажу-
1) Выведенных Пуассоном (1838).

щейся силы тяжести уравнения движения при упрощениях, указанных в $\S 64$, примут вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d y}{d t} \sin \lambda+2 \omega \frac{d z}{d t} \cos \lambda & =0, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \omega \frac{d x}{d t} \sin \lambda & =0, \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d x}{d t} \cos \lambda & =-g .
\end{array}\right\}
\]

Второе и третье из этих уравнений дают:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v_{0}-2 \omega x \sin \lambda, \\
\frac{d z}{d t}=w_{0}-g t+2 \omega x \cos \lambda,
\end{array}\right\}
\]

где $v_{0}$, $w_{0}$ означают постоянные интегрирования. Произведя подстановку в первое уравнение, получим уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+4 \omega^{2} x=2 \omega\left(v_{0} \sin \lambda-w_{0} \cos \lambda\right)+2 \omega g t \cos \lambda,
\]

интеграл которого будет
\[
x=A \cos 2 \omega t+B \sin 2 \omega t+\frac{v_{0} \sin \lambda-\omega_{0} \cos \lambda}{2 \omega}+\frac{g t \cos \lambda}{2 \omega} .
\]

Значения $y$ и $z$ найдутся путем подстановки найденного выражения $x$ в (2) и интегрирования.

В случае свободного падения без начальной (относительной) скорости из начала координат начальные значения $x, y, z, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ будут равны нулю. Следовательно,
\[
v_{0}=0, \quad w_{0}=0, \quad A=0, \quad B=-\frac{g \cos \lambda}{4 \omega^{2}} .
\]

Так как угол $\omega t$, на котори Земля повернется за время падения, очень мал, то мы в уравнении (4) опустим $\sin 2 \omega t$ и сохраним лишь наиболее существенную часть полученного результата. Таким образом отклонение к востоку ог вертикали, проведенной через начальное положение точки, будет:
\[
x=\frac{1}{3} g_{\omega} t^{3} \cos \lambda .
\]

Произведя подстановку в (2), мы для отклонения к северу найдем величину:
\[
y=\frac{1}{6} g^{2}{ }^{2} t^{4} \sin \lambda \cos \lambda .
\]

Но отношение этой величины к величине, определяемой по формуле (6), будет порядка $\omega t$, и, следовательно, отклонением к северу можно совершенно пренебречь. Далее мы имеем приближенно:
\[
z=-\frac{1}{2} g t^{2},
\]

если опустить члены того же порядка иалости, что и (7). Единственное влияние вращения Земли, которое, как можно ожидать, будет вообще заметно, это отклонение к востоку, величину которого дает формула (6). При падении с высоты $100 \boldsymbol{\mu}$ это отклонение составит около $2,2 \cos \lambda$ см. Отклонение это настолько незначительно и на него так легко влияют случайные возмущения, что его трудно проверить с достаточной убедительностью экспериментальным путем. Сделанные попытки имели, однако, некоторый успех ${ }^{1}$ ).

В применении к полету снаряда в несопротивляющейся среде начальные условия можно написать в виде:

Следовательно, в формуле (4) мы имеем:
\[
A=-\frac{v_{0} \sin \lambda-w_{0} \cos \lambda}{2 \omega}, \quad B=\frac{u_{0}}{2 \omega}-\frac{g \cos \lambda}{4 \omega^{2}} .
\]

Таким образом
\[
x=\frac{v_{0} \sin \lambda-w_{0} \cos \lambda}{2 \omega}(1-\cos 2 \omega t)+\frac{g \cos \lambda}{4 \omega^{2}}(2 \omega t-\sin 2 \omega t)+\frac{u_{0}}{2 \omega} \sin 2 \omega t .
\]

Если прсизвести подстановку в (2) и подобрать постоянные интегрирования так, чтобы $у$ и $z$ при $t=0$ обращались в пуль, то мы найдем следующие формулы:
\[
\begin{array}{c}
y=\sigma_{0} t-\frac{\sin \lambda\left(v_{0} \sin \lambda-w_{0} \cos \lambda\right)}{2 \omega}(2 \omega t-\sin 2 \omega t)- \\
-\frac{g \sin \lambda \cos \lambda}{4 \omega^{2}}\left(2 \omega^{2} t^{2}+\cos 2 \omega t-1\right)-\frac{u_{0} \sin \lambda}{2 \omega}(1-\cos 2 \omega t), \\
z=w_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}+\frac{\cos \lambda\left(v_{0} \sin \lambda-w_{0} \cos \lambda\right)}{2 \omega}(2 \omega t-\sin 2 \omega t)+ \\
+\frac{g \cos ^{2} \lambda}{4 \omega^{2}}\left(2 \omega^{2} t^{2}+\cos 2 \omega t-1\right)+\frac{u_{0} \cos \lambda}{2 \omega}(1-\cos 2 \omega t) .
\end{array}
\]

Эти формулы точны лишь в пределах возможности пренебрежения изменениями величины $g$; достаточное приближение мы получим, если опустим члены с круговыми функциями от аргумента и оставим лишь наиболее существенные члены. Таким путем мы найдем следуюцие формулы:
\[
\begin{array}{l}
x=u_{0} t+\left(v_{0} \sin \lambda-w_{0} \cos \lambda\right) \omega t^{2}+\frac{1}{3} g \cos \lambda \cdot \omega t^{3}, \\
y=v_{0} t-u_{0} \sin \lambda \cdot \omega t^{2}, \\
z=w_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}+u_{0} \cos \lambda \cdot \omega t^{2} .
\end{array}
\]

Члены, опущенные нами, будут порядка $\omega^{2} t^{2}$.
Если вертикальная плоскость, в которой происходит движение спаряда, составляет с плоскостью $z$ เ угол $\beta$, то мы имеем:
\[
u_{0}=u_{0}^{\prime} \cos \beta, v_{0}=u_{0}^{\prime} \sin \beta,
\]
1) Cм. Routh, Dynamics of a Particle, 627 .

где $u_{0}^{\prime}$ означает начальную горизонтальню (относительную) скорость. Горизонтальное расстояние, пройденное в плоскости полета снаряда, составляет
\[
x^{\prime}=x \cos \beta+y \sin \beta=u_{0}^{\prime} t-\left(\frac{1}{3} g t-w_{0}\right) \cos \beta \cos \lambda \cdot \omega t^{2},
\]

а отклонение от этой плоскости будет
\[
y^{\prime}=y \cos \beta-x \sin \beta=\left\{\left(w_{0}-\frac{1}{3} g t\right) \sin \beta \cos \lambda-t_{0}^{\prime} \sin \lambda\right\} \omega t^{2} .
\]

Оно имеет положительный знак, когда направлено влево.