Мгновенная ось вращения. Настоящую главу мы посвятим, главным образом, выводу различных формул, касающихся мгновенного состояния движения твердого тела, без всякого отношения к тем изменениям, которые могут происходить в движении под влиянием внешних сил или даже независимо от них.

Предположим сначала, что одна из точек тела $O$ неподвижна. Изменение положения тела в любой бесконечно малый промежуток времени $\delta t$ равносильно, как мы видели в § 2 , вращению около некоторой оси OJ. Пусть $P$ и $P^{\prime}$ — начальное и последующее положения какой-либо точки тела, а $\delta \theta$ — угол поворота. Мы имеем в таком случае:
\[
P P^{\prime}=2 P N \sin \frac{1}{2} \varepsilon \theta,
\]

где $P N$ есть длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на ось $O J$. Следовательно, средняя скорость рассматриваемой точки перпендикулярна плоскости, проходящей через $O J$ и середину отрезка $P P^{\prime}$.
Она равна
\[
\frac{\sin \frac{1}{2} \delta 0}{\frac{1}{2} \delta t} \cdot P N \text {. }
\]

Предельное положение оси вращения при уменьшении промежутка времени $\delta t$ до нуля называется „мгновенной осью“ вращения, а предел отношения $\frac{\delta \theta}{\delta t}$ \»мгновенной угловой скоростью“. Обозначим ее через ๓. Мы видим, что скорость любой тсчки тела $P$ нормальна к плоскости, проходящей через $P$ и мгновенную ось вращения. Она равна $\omega \cdot P N$, где $P N$ — расстояние точки $P$ до оси вращения. Точки самой оси находятся в данное мгновение в покое.

Если мы рассмотрим прямоугольные оси координат, проходящие через точку $O$, то вращение மо̀t за бесконечно малый промежуток времени $\delta t$ может быть разложено, как и в § 9 , на три составляющие вдоль этих осей. Изменяя слегка обозначения § 9, мы обозначим эти составляющие через $p \delta t, q \delta t$ и iot. Количества $p, q, r$ называются составляющими угловой скорости ш. Если $l, m, n$ — направляющие косинусы мгновенной оси вращения, то мы имеем:

и
\[
p=\omega l, q=\omega m, r=\omega n
\]
\[
p^{2}+q^{2}+r^{2}=\omega^{2},
\]

формулы (3) §9 (в новых обозначениях) дают следующие значения для составляющих сқорости той точки тела, которая занимает мгновенное положение с координатами $x, y, z$ :
\[
\dot{x}=q z-r y, \dot{y}=r x-p z, \dot{z}=p y-q x .
\]