Условия \”равновесия“ системы со „скрытыми“ (циклическими) движениями вытекают непосредственно из принципа энергии. Если с:стема из состояния видимого покоя с конфигурациен $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}\right)$ переведена в сос ояние покоя со смежной конфигурацией при помощи внешних сил $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{m}$, то затраченная работа должна быть равна приращению циклической (скрытой) кинетической энергии. Таким образом
\[
\sum_{r} Q_{r} \delta q_{r}=\delta \mathrm{K},
\]

или
\[
Q_{r}=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial q_{r}} .
\]

Эго вытекает из уравнении (17) предыдущего параграфа, если положить $\dot{q}_{1}=\dot{q}_{2}=\ldots=\dot{q}_{m}=0$.
формулы (22) § 84 теперь примут вид:
\[
\dot{\chi}=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial \mathrm{x}}, \quad \dot{\chi}^{\prime}=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial x^{\prime}}, \quad \dot{\chi}^{\prime \prime}=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial x^{\prime \prime}}, \ldots
\]

Эти равенства определяют $x, x^{\prime}, x^{\prime \prime}$, как линейные функции от $\dot{\chi}, \dot{\chi}^{\prime}, \dot{\chi}^{\prime \prime}$, и тогда $\mathrm{K}$ можно выразить иначе, как однородную квадратичную функцию этих циклических скоростей. Обозначив эту функцию через $T_{0}$, мы на основании (5) §82 будем иметь:
\[
\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial T_{0}}{\partial q_{r}} .
\]

Тогда формула (2) принимает вид:
\[
Q_{r}=-\frac{\partial T_{0}}{\partial q_{r}} .
\]

Пример дает волчок. Циклическими координатами являются $\psi$, , и мы имеем $[(7) \S 84]$ :
\[
\begin{array}{l}
2 \mathfrak{T}=A^{\dot{\xi}^{2}}, \\
\left.\begin{array}{rl}
2 \mathrm{~K} & =\frac{(\mu-
u \cos \theta)^{2}}{A \sin ^{2} \theta}+\frac{
u^{2}}{C}, \\
2 T_{0} & =A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+C(\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi})^{2} .
\end{array}\right\} \\
\end{array}
\]

На основании этих равенств можно вывести соотношение:
\[
\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial \theta}=-\frac{\partial T_{0}}{\partial f} .
\]

Если потенциальную энергию обозначить через $V$, то условие „равновесия“ (1) дает
\[
\frac{\partial}{\partial \theta}(\mathrm{K}+V)=0 \text {. }
\]

Это равенство привидит к условик для равномерной прецессии (§54).