Теория подвижных осей имеет важное применение в случае движения относительно вращающейся Земли. Пусть начало координат взято в точке, расположенной вблизи поверхности Земли на широте $\lambda$; предположим, что ось $\mathit{x}$ направлена горизонтально к востоку, ось $y$-к северу, а ось $z$ — вертикально вверх. Конечно, термины \»горизонтально\», \»вертикально\» относятся к направлению наблюдаемой (кажущейся) силы тяжести. Если угловую скорость вращения земли обозначить через ю, то компоненты угловой скорости вдоль мгновенных направлений осей будут:
$$p^{\prime }=0,q^{\prime }=\omega \cos \lambda ,r^{\prime }=\omega \sin \lambda .$$

Следовательно, на основании (5) § 63 компоненты скорости движущейся точки будут:
$$\begin{array}{rl}u& =\frac{dx}{dt}-\omega y\sin \lambda +\omega z\cos \lambda ,\\ v& =\frac{dy}{dt}+\omega x\sin \lambda ,\\ w& =\frac{dz}{dt}-\omega x\cos \lambda .\end{array}\}$$

Компоненты ускорения будут
$$\begin{array}{l}\alpha =\frac{du}{dt}-\omega v\sin \mu +\omega w\cos \lambda ,\\ \beta =\frac{dv}{dt}+\omega u\sin \lambda ,\\ \gamma =\frac{dw}{dt}-\omega u\cos \lambda .\end{array}\}$$

Уравнения движения точки $m$, подверженной действию сил $X,Y,Z$ и действию кажущейся силы тяжести, будут иметь вид:
$$m\alpha =X,m\beta =Y,m\gamma =Z-mg.$$

Здесь нужно сделать одно замечание. Мы предполагали начало координат $O$ неподвижным, в то время как в действительности оно движется по кругу и, следовательно, имеет на этом круге скорость $\omega \alpha \cos \lambda$. Это обстоятельство можно учесть, добавив надлежащие члены в (2) и (3), выражающие скорости и ускорения относительно точки $O$. Но различие в уравнениях (4) исчезнет, если их написать в развернутом виде; это происходит благодаря тому, что ось $z$ по предположению совпадает с направлением ка-
Фиг. 5 .
жущейся силы тяжести $y$, на которую влияет „центробежная сила“, и что $\lambda$ соответственно обозначает „географическую\» широту, отличаюшуюся от „геоцентрической “.
Произведя подстановку из (2) и (3) в (4), мы получим:
$$\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2\omega \frac{dy}{dt}\sin \lambda +2\omega \frac{dz}{dt}\cos \lambda -{\omega }^{2}x=\frac{X}{m},\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\omega \frac{dx}{dt}\sin \lambda -{\omega }^{2}y{\sin }^2\lambda +{\omega }^{2}z\sin \lambda \cos \lambda =\frac{Y}{m}\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}-2\omega \frac{dx}{dt}\cos \lambda +{\omega }^{2}y\sin \lambda \cos \lambda -{\omega }^{2}z{\cos }^2\lambda =\frac{Z}{m}-g.\end{array}\}$$

В этих уравнениях ${}^1$ ) членами, содержащими ${\omega }^{2}x,{\omega }^{2}y,{\omega }^{2}z$, на практике можно, однако, совершенно пренебречь. Значения $x,y,z$ в сравнении с радиусом Земли $a$ всегда незначительны, а величина ${\omega }^{2}a$ сама мала в сравнении с $g$. Если мы удержим рассматриваемые члены, то мы должны включить и члены, связанные с местным изменением $g$.
65. Маятник Фуко. Чтобы применить уравнения к малым колебаниям маятника, положим:
$$X=-\frac{Tx}{l},Y=-\frac{Ty}{l},Z=-\frac{Tz}{l},$$

где $l$ означает длину. Здесь $T$ — натяжение нити, а $x,y$-горизонтальные составляющие перемещения груза маятника из его среднего положения. Третье из уравнений (5) § 64 показывает, что приближенно мы имеем $T=mg$. Следовательно, пренебрегая членами второго порядка, получим:
$$\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2\omega \frac{dy}{dt}\sin \lambda =-n^{2}x,\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\omega \frac{dx}{dt}\sin \lambda =-n^{2}y,\end{array}\}$$

где
$$n^2=\frac{g}{l}.$$

Если положим $\zeta =x+iy$, то эти два уравнения объединятся в одно:
$$\frac{d^2}{d{t}^2}+2i_0\frac{dt}{dt}\sin \lambda +n^2\zeta =0.$$

Следовательно,
$$\zeta e^{i\omega t\sin \lambda }=H{e}^{ist}+K{e}^{-ist},$$

где
$$\sigma =\sqrt{n^2+{\omega }^2{\sin }^2\lambda },$$

а $H$ и $K$ означают произвольные комплексные постоянные. Эти формулы дают движение по эллипсу, вращающемуся вокруг вертикали в отрицательном направлении с постоянной угловой скоростью $\omega \sin \lambda$, причем период обращения по эллипсу составляет $\frac{3\pi }{\sigma }$. Конечно, во многих практических случаях разницей между $\sigma$ и $n$ можно пренебречь.

Наблюдаемые явления можно истолковать так, что Земля под маятником вращается в положительном направлении около вертикальной оси со скоростью $\omega \sin \lambda$.