Теория подвижных осей имеет важное применение в случае движения относительно вращающейся Земли. Пусть начало координат взято в точке, расположенной вблизи поверхности Земли на широте $\lambda$; предположим, что ось $\boldsymbol{x}$ направлена горизонтально к востоку, ось $y$-к северу, а ось $z$ – вертикально вверх. Конечно, термины \”горизонтально\”, \”вертикально\” относятся к направлению наблюдаемой (кажущейся) силы тяжести. Если угловую скорость вращения земли обозначить через ю, то компоненты угловой скорости вдоль мгновенных направлений осей будут:
\[
p^{\prime}=0, \quad q^{\prime}=\omega \cos \lambda, \quad r^{\prime}=\omega \sin \lambda .
\]

Следовательно, на основании (5) § 63 компоненты скорости движущейся точки будут:
\[
\left.\begin{array}{rl}
u & =\frac{d x}{d t}-\omega y \sin \lambda+\omega z \cos \lambda, \\
v & =\frac{d y}{d t}+\omega x \sin \lambda, \\
w & =\frac{d z}{d t}-\omega x \cos \lambda .
\end{array}\right\}
\]

Компоненты ускорения будут
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha=\frac{d u}{d t}-\omega v \sin \mu+\omega w \cos \lambda, \\
\beta=\frac{d v}{d t}+\omega u \sin \lambda, \\
\gamma=\frac{d w}{d t}-\omega u \cos \lambda .
\end{array}\right\}
\]

Уравнения движения точки $m$, подверженной действию сил $X, Y, Z$ и действию кажущейся силы тяжести, будут иметь вид:
\[
m \alpha=X, \quad m \beta=Y, \quad m \gamma=Z-m g .
\]

Здесь нужно сделать одно замечание. Мы предполагали начало координат $O$ неподвижным, в то время как в действительности оно движется по кругу и, следовательно, имеет на этом круге скорость $\omega \alpha \cos \lambda$. Это обстоятельство можно учесть, добавив надлежащие члены в (2) и (3), выражающие скорости и ускорения относительно точки $O$. Но различие в уравнениях (4) исчезнет, если их написать в развернутом виде; это происходит благодаря тому, что ось $z$ по предположению совпадает с направлением ка-
Фиг. 5 .
жущейся силы тяжести $y$, на которую влияет „центробежная сила“, и что $\lambda$ соответственно обозначает „географическую\” широту, отличаюшуюся от „геоцентрической “.
Произведя подстановку из (2) и (3) в (4), мы получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d y}{d t} \sin \lambda+2 \omega \frac{d z}{d t} \cos \lambda-\omega^{2} x=\frac{X}{m}, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \omega \frac{d x}{d t} \sin \lambda-\omega^{2} y \sin ^{2} \lambda+\omega^{2} z \sin \lambda \cos \lambda=\frac{Y}{m} \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d x}{d t} \cos \lambda+\omega^{2} y \sin \lambda \cos \lambda-\omega^{2} z \cos ^{2} \lambda=\frac{Z}{m}-g .
\end{array}\right\}
\]

В этих уравнениях ${ }^{1}$ ) членами, содержащими $\omega^{2} x, \omega^{2} y, \omega^{2} z$, на практике можно, однако, совершенно пренебречь. Значения $x, y, z$ в сравнении с радиусом Земли $a$ всегда незначительны, а величина $\omega^{2} a$ сама мала в сравнении с $g$. Если мы удержим рассматриваемые члены, то мы должны включить и члены, связанные с местным изменением $g$.
65. Маятник Фуко. Чтобы применить уравнения к малым колебаниям маятника, положим:
\[
X=-\frac{T x}{l}, \quad Y=-\frac{T y}{l}, \quad Z=-\frac{T z}{l},
\]

где $l$ означает длину. Здесь $T$ – натяжение нити, а $x, y$-горизонтальные составляющие перемещения груза маятника из его среднего положения. Третье из уравнений (5) § 64 показывает, что приближенно мы имеем $T=m g$. Следовательно, пренебрегая членами второго порядка, получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d y}{d t} \sin \lambda=-n^{2} x, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \omega \frac{d x}{d t} \sin \lambda=-n^{2} y,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
n^{2}=\frac{g}{l} .
\]

Если положим $\zeta=x+i y$, то эти два уравнения объединятся в одно:
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}}+2 i_{0} \frac{d t}{d t} \sin \lambda+n^{2} \zeta=0 .
\]

Следовательно,
\[
\zeta e^{i \omega t \sin \lambda}=H e^{i s t}+K e^{-i s t},
\]

где
\[
\sigma=\sqrt{n^{2}+\omega^{2} \sin ^{2} \lambda},
\]

а $H$ и $K$ означают произвольные комплексные постоянные. Эти формулы дают движение по эллипсу, вращающемуся вокруг вертикали в отрицательном направлении с постоянной угловой скоростью $\omega \sin \lambda$, причем период обращения по эллипсу составляет $\frac{3 \pi}{\sigma}$. Конечно, во многих практических случаях разницей между $\sigma$ и $n$ можно пренебречь.

Наблюдаемые явления можно истолковать так, что Земля под маятником вращается в положительном направлении около вертикальной оси со скоростью $\omega \sin \lambda$.