„Циклическая“ или „гироскопическая“ система характеризуется следующими свойствами. Во-первых, существуют определенные координаты, мы их обозначим через $\chi, \chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}, \ldots$, значения которых не вхрдят в выражение кинетической энергии, а входят лишь их производные $\dot{\chi}, \dot{\chi}^{\prime}, \dot{\chi}^{\prime \prime}, \ldots$ Во-вторых, нет сил, соответствующих этим координатам. Этот случай, например, имеет место, когда система заключает в себе гироскопы без трения, тогда рассматриваемыми координатами будут угловые координаты маховых колес относительно их рам (обойм).

Координаты такого типа называются „циклическими“. Остальные координаты системы, пусть это будут $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$, называются „позиционными\”; во многих практических случаях только такие координаты и входят непосредственно.

Общая теория таких систем была развита Томсоном и Тэтом, а также Раусом; целью их исследований было получение уравнений движения в одних позиционных координатах. Так как циклические координаты и соответствующие скорости не должны входить в эти уравнения, то они иногда называются „игнорируемыми“ координатами, и излагаемый метод называется \”игнорацией “ или ${ }_{n}$ игнорированием координат\” (Томсон и Тэт).

По предположению уравнения Лагранжа, соответствующие циклическим координатам, сводятся к таким:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\chi}}=0, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\chi}^{\prime}}=0, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\chi}^{\prime \prime}}=0, \ldots,
\]

откуда
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\chi}}=\kappa, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\chi}^{\prime}}=\kappa^{\prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\chi}^{\prime \prime}}=\kappa^{\prime \prime}, \ldots,
\]

где $x, x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots$ – константы, а именно постоянные импульсы соответ* ствующих типов.

Положив
\[
R=T-\dot{\psi}-\dot{\psi}^{\prime} \dot{\psi}^{\prime}-*^{\prime \prime} \dot{\psi}^{\prime \prime}-\ldots,
\]

тде $R$ по предположению выражается через скорости $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{m}$, соответствующие позиционным координатам, и через импульсы $x$, $x^{\prime}$, $*^{\prime \prime}, \ldots$, соответствующие циклическим координатам, как и в.§ 83 , мы имеем:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}=\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}}, \quad \frac{\partial T}{\partial q_{r}}=\frac{\partial R}{\partial q_{r}}
\]
si
\[
\dot{\chi}=-\frac{\partial R}{\partial \kappa}, \quad \dot{\chi}^{\prime}=-\frac{\partial R}{\partial \kappa^{\prime}}, \quad \dot{\chi}^{\prime \prime}=-\frac{\partial R}{\partial \kappa^{\prime \prime}}, \ldots
\]

Производя подстановку из (4) в уравнения Лагранжа, получим:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial R}{\partial q_{t}}=P_{r} \quad(r=1,2, \ldots, m) .
\]

Эта форма уравнений принадлежит Раусу.
Пример. Для волчка циклическими координатами являются \& и $\theta$. При юбозначениях (8) § 76 мы имеем:
\[
R=T-\mu \dot{\psi}-\dot{\psi}=\frac{1}{2} A^{\dot{\dot{\theta}^{2}}}-\frac{1}{2} \frac{(\mu-
u \cos \theta)^{3}}{\mathrm{~A} \sin ^{2} \theta}-\frac{1}{2} \frac{
u^{2}}{C} .
\]

Тогда уравнения (6) дают:
\[
A \ddot{\theta}+\frac{(\mu-
u \cos \theta)(
u-\mu \cos \theta)}{A \sin ^{3} \theta}=M g h \sin \theta .
\]

Исходя из этого уравнения мы можем легко исследовать малые колебания около прецессионного движения.

Другая форма уравнений, показывающая более отчетливо влияние циклических импульсов, принадлежит Кельвину. Как установлено выше, функция $R$ содержит члены трех типов, так:
\[
R=R_{2,0}-R_{1,1}+R_{0,2},
\]

где $R_{2,0}$ представляет однородную квадратичную функцию скоростей $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{m}$; количество $R_{0,2}$ представляет аналогичную функцию циклических импульсов $x$, $x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots$, а $R_{11}$ является билинейной функцией этих обеих групп переменных, именно:
\[
R_{11}=\alpha_{1} \dot{q}_{1}+\alpha_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+\alpha_{m} \dot{q}_{m}
\]
s.te
\[
\alpha_{r}=\beta_{r} x+\beta_{r}^{\prime} x^{\prime}+\beta_{r}^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\ldots .
\]

Формула
\[
T=R-x \frac{d R}{d \kappa}-x^{\prime} \frac{d R}{d \kappa^{\prime}}-x^{\prime \prime} \frac{d R}{d \kappa^{\prime \prime}}-\ldots,
\]

выведенная в § 83, после подстановки из (9) дает формулу
\[
T=R_{2,0}-R_{0,2},
\]

которую можно заранее написать в виде:
\[
T=\mathbb{I}+\mathrm{K} .
\]

Следовательно, положив $R_{0,2}^{-}=-\mathrm{K}$ и произведя подстановку из (9), мы получим:
\[
R=\mathfrak{T}-\mathrm{K}+\alpha_{1} \dot{q}_{1}+\alpha_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+\alpha_{m} \dot{q}_{m} .
\]

Теперь мы имеем:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{1}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial l_{r}}+\alpha_{r}\right)=\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial x_{r}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \alpha_{r}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial \alpha_{r}}{\partial q_{m}} \dot{q}_{m},
\]

и
\[
\frac{\partial R}{\partial q_{r}}=\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_{r}}-\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial \alpha_{1}}{\partial q_{r}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \alpha_{2}}{\partial q_{r}} \dot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial \alpha_{m}}{\partial q_{r}} \dot{q}_{m} .
\]

Следовательно, произведя подстановку в (6), мы получим типичное уравнение движения гироскопической системы в форме:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_{r}}+(r, 1) \dot{q}_{1}+(r, 2) \dot{q}_{2}+\ldots+(r, m) \dot{q}_{m}+\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial q_{r}}=P_{r},
\]

где
\[
(r, s)=\frac{\partial \alpha_{r}}{\partial q_{s}}-\frac{\partial x_{s}}{\partial q_{r}} .
\]

Эга форма принадлежит Кельзину ${ }^{1}$ ).
Следует заметить, что
\[
(r, r)=0, \quad(r, s)=-(s, r) .
\]

Следовательно, если в (17) мы положим последовательно $r=1,2, \ldots, m$ и умножим полученные уравнения соответственно на $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{m}$, то, как и при выводе формулы (11) § 77 , найдем:
\[
\frac{d}{d t}(\mathfrak{I}+\mathrm{K})=P_{1} \dot{q}_{1}+P_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+P_{m} \dot{q}_{m},
\]
1) Thomson and Tait, 2-е изд., § 319, пример G.

или в случае консервативной системы, на которую внешние силы н действуют:
\[
\mathfrak{T}+V+K=\text { const. }
\]

Это – уравнение энергии.
После определения $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ из (17) как функций от времени скорости, соответсгвующие циклическим координатам, можно найти если требуется, из соотношений (6) $\S 83$, которые на основании (13) и (10. (см. выше) дают
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\chi}=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial x}-\beta_{1} \dot{q}_{1}-\beta_{2} \dot{q}_{2}-\ldots-\beta_{m} \dot{q}_{m}, \\
\dot{\chi}^{\prime}=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial \chi^{\prime}}-\beta_{1}^{\prime} \dot{q}_{\mathrm{I}}-\beta_{2}^{\prime} \dot{q}_{2}-\ldots-\beta_{m}^{\prime} \dot{q}_{m} .
\end{array}\right\}
\]

В частном случае, когда все циклические импульсы $\%, x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots$ равны нулю, мы имеем: $\alpha_{r}=0, K=0$, и типичное уравнение (17) приведется к такому:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_{r}}=P_{r} .
\]

Форма его такая же, как и в § 7 ? , и таким образом система в отношении координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ ведет себя, подобно рассматриваемой там системе ациклического типа. Но теперь эти координаты не фиксируют положения каждой точки системы. Например, если система второй раз принимает данную конфигурацию, определяемую координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$, то циклические координаты $\chi, \chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}$, вообще говоря, не принимают своих первоначальньх значений.

Далее следует заметить, что члены в (17), линейные относительно $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, меняют свой знак вместе с $d t$, а остальные члены знака не меняют. Следовательно, движение гироскопической системы необратимо до тех пор, пока мы действительно не обратим циклические двнжения так же, как скорости $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{m}$, относящиеся к позиционным координатам. Например, как уже было замечено, прецессионное движение волчка необратимо, если ве изменить направление его вращения.