„Циклическая“ или „гироскопическая“ система характеризуется следующими свойствами. Во-первых, существуют определенные координаты, мы их обозначим через $\chi ,{\chi }^{\prime },{\chi }^{\prime \prime },\dots$, значения которых не вхрдят в выражение кинетической энергии, а входят лишь их производные $\dot{\chi },{\dot{\chi }}^{\prime },{\dot{\chi }}^{\prime \prime },\dots$ Во-вторых, нет сил, соответствующих этим координатам. Этот случай, например, имеет место, когда система заключает в себе гироскопы без трения, тогда рассматриваемыми координатами будут угловые координаты маховых колес относительно их рам (обойм).

Координаты такого типа называются „циклическими“. Остальные координаты системы, пусть это будут $q_1,q_2,\dots ,q_m$, называются „позиционными\»; во многих практических случаях только такие координаты и входят непосредственно.

Общая теория таких систем была развита Томсоном и Тэтом, а также Раусом; целью их исследований было получение уравнений движения в одних позиционных координатах. Так как циклические координаты и соответствующие скорости не должны входить в эти уравнения, то они иногда называются „игнорируемыми“ координатами, и излагаемый метод называется \»игнорацией “ или ${}_n$ игнорированием координат\» (Томсон и Тэт).

По предположению уравнения Лагранжа, соответствующие циклическим координатам, сводятся к таким:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\chi }}=0,\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{\chi }}^{\prime }}=0,\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{\chi }}^{\prime \prime }}=0,\dots ,$$

откуда
$$\frac{\partial T}{\partial \dot{\chi }}=\kappa ,\frac{\partial T}{\partial {\dot{\chi }}^{\prime }}={\kappa }^{\prime },\frac{\partial T}{\partial {\dot{\chi }}^{\prime \prime }}={\kappa }^{\prime \prime },\dots ,$$

где $x,x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$ — константы, а именно постоянные импульсы соответ* ствующих типов.

Положив
$$R=T-\dot{\psi }-{\dot{\psi }}^{\prime }{\dot{\psi }}^{\prime }-{\ast }^{\prime \prime }{\dot{\psi }}^{\prime \prime }-\dots ,$$

тде $R$ по предположению выражается через скорости ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$, соответствующие позиционным координатам, и через импульсы $x$, $x^{\prime }$, ${\ast }^{\prime \prime },\dots$, соответствующие циклическим координатам, как и в.§ 83 , мы имеем:
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}=\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_r},\frac{\partial T}{\partial q_r}=\frac{\partial R}{\partial q_r}$$
si
$$\dot{\chi }=-\frac{\partial R}{\partial \kappa },{\dot{\chi }}^{\prime }=-\frac{\partial R}{\partial {\kappa }^{\prime }},{\dot{\chi }}^{\prime \prime }=-\frac{\partial R}{\partial {\kappa }^{\prime \prime }},\dots$$

Производя подстановку из (4) в уравнения Лагранжа, получим:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_r}-\frac{\partial R}{\partial q_t}=P_r(r=1,2,\dots ,m).$$

Эта форма уравнений принадлежит Раусу.
Пример. Для волчка циклическими координатами являются \& и $\theta$. При юбозначениях (8) § 76 мы имеем:
$$R=T-\mu \dot{\psi }-\dot{\psi }=\frac{1}{2}{A}^{\dot{{\dot{\theta }}^2}}-\frac{1}{2}\frac{(\mu -u\cos \theta {)}^3}{\mathrm{A}{\sin }^2\theta }-\frac{1}{2}\frac{u^2}{C}.$$

Тогда уравнения (6) дают:
$$A\ddot{\theta }+\frac{(\mu -u\cos \theta )(u-\mu \cos \theta )}{A{\sin }^3\theta }=Mgh\sin \theta .$$

Исходя из этого уравнения мы можем легко исследовать малые колебания около прецессионного движения.

Другая форма уравнений, показывающая более отчетливо влияние циклических импульсов, принадлежит Кельвину. Как установлено выше, функция $R$ содержит члены трех типов, так:
$$R=R_{2,0}-R_{1,1}+R_{0,2},$$

где $R_{2,0}$ представляет однородную квадратичную функцию скоростей ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$; количество $R_{0,2}$ представляет аналогичную функцию циклических импульсов $x$, $x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$, а $R_{11}$ является билинейной функцией этих обеих групп переменных, именно:
$$R_{11}={\alpha }_1{\dot{q}}_1+{\alpha }_2{\dot{q}}_2+\dots +{\alpha }_m{\dot{q}}_m$$
s.te
$${\alpha }_r={\beta }_{r}x+{\beta }_r^{\prime }{x}^{\prime }+{\beta }_r^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }+\dots .$$

Формула
$$T=R-x\frac{dR}{d\kappa }-x^{\prime }\frac{dR}{d{\kappa }^{\prime }}-x^{\prime \prime }\frac{dR}{d{\kappa }^{\prime \prime }}-\dots ,$$

выведенная в § 83, после подстановки из (9) дает формулу
$$T=R_{2,0}-R_{0,2},$$

которую можно заранее написать в виде:
$$T=\mathbb{I}+\mathrm{K}.$$

Следовательно, положив $R_{0,2}^{-}=-\mathrm{K}$ и произведя подстановку из (9), мы получим:
$$R=\mathfrak{T}-\mathrm{K}+{\alpha }_1{\dot{q}}_1+{\alpha }_2{\dot{q}}_2+\dots +{\alpha }_m{\dot{q}}_m.$$

Теперь мы имеем:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial l_r}+{\alpha }_r)=\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial {\dot{q}}_r}+\frac{\partial x_r}{\partial q_1}{\dot{q}}_1+\frac{\partial {\alpha }_r}{\partial q_2}{\dot{q}}_2+\dots +\frac{\partial {\alpha }_r}{\partial q_m}{\dot{q}}_m,$$

и
$$\frac{\partial R}{\partial q_r}=\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_r}-\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial {\dot{q}}_r}+\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial q_r}{\dot{q}}_1+\frac{\partial {\alpha }_2}{\partial q_r}{\dot{q}}_2+\dots +\frac{\partial {\alpha }_m}{\partial q_r}{\dot{q}}_m.$$

Следовательно, произведя подстановку в (6), мы получим типичное уравнение движения гироскопической системы в форме:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial {\dot{q}}_r}-\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_r}+(r,1){\dot{q}}_1+(r,2){\dot{q}}_2+\dots +(r,m){\dot{q}}_m+\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial q_r}=P_r,$$

где
$$(r,s)=\frac{\partial {\alpha }_r}{\partial q_s}-\frac{\partial x_s}{\partial q_r}.$$

Эга форма принадлежит Кельзину ${}^1$ ).
Следует заметить, что
$$(r,r)=0,(r,s)=-(s,r).$$

Следовательно, если в (17) мы положим последовательно $r=1,2,\dots ,m$ и умножим полученные уравнения соответственно на ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$, то, как и при выводе формулы (11) § 77 , найдем:
$$\frac{d}{dt}(\mathfrak{I}+\mathrm{K})=P_1{\dot{q}}_1+P_2{\dot{q}}_2+\dots +P_m{\dot{q}}_m,$$
1) Thomson and Tait, 2-е изд., § 319, пример G.

или в случае консервативной системы, на которую внешние силы н действуют:
$$\mathfrak{T}+V+K=\text{ const. }$$

Это — уравнение энергии.
После определения $q_1,q_2,\dots ,q_n$ из (17) как функций от времени скорости, соответсгвующие циклическим координатам, можно найти если требуется, из соотношений (6) $\mathrm{\S }83$, которые на основании (13) и (10. (см. выше) дают
$$\begin{array}{l}\dot{\chi }=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial x}-{\beta }_1{\dot{q}}_1-{\beta }_2{\dot{q}}_2-\dots -{\beta }_m{\dot{q}}_m,\\ {\dot{\chi }}^{\prime }=\frac{\partial \mathrm{K}}{\partial {\chi }^{\prime }}-{\beta }_1^{\prime }{\dot{q}}_{\mathrm{I}}-{\beta }_2^{\prime }{\dot{q}}_2-\dots -{\beta }_m^{\prime }{\dot{q}}_m.\end{array}\}$$

В частном случае, когда все циклические импульсы $\mathrm{\%},x^{\prime },x^{\prime \prime },\dots$ равны нулю, мы имеем: ${\alpha }_r=0,K=0$, и типичное уравнение (17) приведется к такому:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial {\dot{q}}_r}-\frac{\partial \mathfrak{T}}{\partial q_r}=P_r.$$

Форма его такая же, как и в § 7 ? , и таким образом система в отношении координат $q_1,q_2,\dots ,q_m$ ведет себя, подобно рассматриваемой там системе ациклического типа. Но теперь эти координаты не фиксируют положения каждой точки системы. Например, если система второй раз принимает данную конфигурацию, определяемую координатами $q_1,q_2,\dots ,q_m$, то циклические координаты $\chi ,{\chi }^{\prime },{\chi }^{\prime \prime }$, вообще говоря, не принимают своих первоначальньх значений.

Далее следует заметить, что члены в (17), линейные относительно ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$, меняют свой знак вместе с $dt$, а остальные члены знака не меняют. Следовательно, движение гироскопической системы необратимо до тех пор, пока мы действительно не обратим циклические двнжения так же, как скорости ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_m$, относящиеся к позиционным координатам. Например, как уже было замечено, прецессионное движение волчка необратимо, если ве изменить направление его вращения.