Перейдем теперь к рассмотрению вынужденных колебаний системы, находящейся пбд действием заданных внешних сил $Q_{r}$; типичное уравнение будет иметь вид:
\[
a_{1 r} \ddot{q}_{1}+a_{2 r} \ddot{q}_{2}+\ldots+a_{n r} \ddot{q}_{n}+c_{1 r} q_{1}+c_{2 r} q_{2}+\ldots+c_{n r} q_{n}=Q_{r} .
\]

Наиболее важен случай, когда силы $Q_{\text {, изменяются по по постом }}$ гармоническому закону $\cos (\sigma t+3)$. Благодаря возможности сложения колебаний, мы мокем, основываясь на результатах рассмотрения этого элементарного случая, исследовать и наиболее общий случай при любом законе зависимости силы от времәни. С аналитической точки зрения проце всего принять, что $Q_{r}$ ивменяется пропорционально величине $e^{i s t}$ : компле ссным коэфициентом. Блағодаря линейности уравнений, множитель $e^{i s t}$, содержащий время, войдет во все члены, и его нет необходимости выписывать в явном виде.
Уравнение (1) примет теперь вид:
\[
\left(c_{1 r}-\sigma^{2} a_{1 r}\right) q_{1}+\left(c_{2 r}-\sigma^{2} a_{2 r}\right) q_{2}+\ldots+\left(c_{n r}-\sigma^{2} a_{n r}^{2}\right) q_{n}=Q_{r} .
\]

Решая эту систему уравнений, найдем:
\[
\Delta\left(\sigma^{2}\right) \cdot q_{r}=\alpha_{1 r} Q_{1}+\alpha_{2 r} Q_{2}+\ldots+\alpha_{n T} Q_{n},
\]

где $\Delta\left(\sigma^{2}\right)$ означает определитель из коэфициентов системы (2), а $\alpha_{1 r}$, $\alpha_{2 r}, \ldots, \alpha_{n r}$ — миноры элементов $r$-й строки. Каждая точка системы совершает вообще простое колебание с вынужденным периодом $\frac{2 \pi}{\sigma}$, и все точки проходят через свои положения равновесия одновременно. Когда $\sigma^{2}$ приближается к корню уравнения
\[
\Delta\left(\sigma^{2}\right)=0,
\]
т. е. когда период внешней силы приблизительно совпадает с одним из периодов собственных колебангй, амплитуда колебаний становится очень большой. Это и будет принципом \»резонанса “, имеющим большое значение в акустике и в динамике механизмов.

Так как определитель $\Delta\left(\sigma^{2}\right)$ является симметричным, то $\alpha_{r s}=\alpha_{s r}$. Следовательно, коэфициент перед $Q_{r}$ в выражении для $q_{8}$ тождественно равен. коэфициенту при $Q_{\varepsilon}$ в выражении для $q_{r}$. Это является основанием важной „теоремы взаимности\», формулированной Гельмгольцем и после него обобщенной ;Рэлеем. Эта теорема как и некоторые предыдущие теоремы, наиболее важное применение имеет для систем с бесконечным числом степеней свободы; а также в ӓкустике.

Конечно, решение (3) является лишь „частным интегралом“ системы уравнений (1). Для получения полного решения мы должны добавить еще выражения для свободных колебании (§90) с их $2 n$ произвольными постоянными. Это дает нам возможность удовлетворить любым начальным условиям, относящимся к перемещениям или к скоростям.

Если система отнесена к своим нормальным координатам ( $\$ 92$ ), то уравнения типа (2) заменятся уравнениями:
\[
\left(c-\sigma^{2} a\right) \theta=Q,\left(c^{\prime}-\sigma^{2} a^{\prime}\right) \theta^{\prime}=Q^{\prime},\left(c^{\prime \prime}-\sigma^{2} a^{\prime \prime}\right) \theta^{\prime \prime}=Q^{\prime \prime}, \ldots,
\]

при тех же обозначениях, как в указанном параграфе. Если значения $\sigma$ для нормальных колебаний обозначим через $\sigma_{0}, \sigma_{0}^{\prime}, \sigma_{0}^{\prime \prime}, \ldots$, а именно:
\[
\sigma_{0}^{2}=\frac{c}{a}, \sigma_{0}{ }^{2}=\frac{c^{\prime}}{a^{\prime}}, \sigma_{0}{ }^{\prime 2}=\frac{c^{\prime \prime}}{a^{\prime \prime}}, \ldots .
\]

то получим:
\[
\theta=\frac{Q}{c\left(1-\frac{\sigma^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\right)}, \quad \theta^{\prime}=\frac{Q^{\prime}}{c^{\prime}\left(1-\frac{\sigma^{2}}{\sigma_{0}^{\prime 2}}\right)}, \quad \theta^{\prime \prime}=\frac{Q^{\prime \prime}}{c\left(1-\frac{\sigma^{2}}{\sigma_{0}^{\prime \prime 2}}\right)} .
\]

Величины $\frac{Q}{c}, \frac{Q^{\prime}}{c^{\prime}}, \frac{Q^{\prime \prime}}{c^{\prime \prime}}, \ldots$ представляют статические перемещения, которые произвели бы постоянные силы соответствующих нормальных типов, равные мгновенным значениям этих сил в действительном движении. Их можно назвать \»равновесными значениями\» перемещений. Формулы показывают, что если период $\frac{2 \pi}{\sigma}$ вынужде іных колебаний в сравнении с периодами свободных колебаний велик, то практически система в любой момент времени находится в „статической“ конфигурации, соответствующен возмущающим силам. Это является как раз предположением, неявно введенным в бернуллиеву „статическую теорию\» приливов и отливов, но основное условие относительно периодов в случае приливов и отливов короткого периода (суточного и полусуточного) не выполняется.

Если частота вынужденных колебаний очень близка к одной из собственных частот, то амплитуда соогветствующей нормальной координаты стремится стать большой в сравнении с остальными, и, следовательно, вынужденное колебание системы приближается к нормальному.